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1、试卷第 1 页，共 11 页时练习：时练习：40min 完成时间：月月 日 天气：暑假作业暑假作业 08 全等三角形常见模型全等三角形常见模型一、平移模型一、平移模型沿一边所在直线平移可使两个三角形重合图示：常用解题思路：（1）在平移的直线上，根据线段的和（差）中点等得到对应边相等；（2）利用平行线的性质得到对应角相等二、轴对称模型二、轴对称模型所给图形沿某一直线折叠，直线两边的部分完全重合，图示：常用解题思路：（1）利用公共边、线段的和差等得到对应边相等；（2）利用对顶角、公共角、角的和差、垂直的定义等得到对应角相等三、旋转模型三、旋转模型1不共顶点：绕某一顶点旋转，再平移后两个三角形重合图
2、示：常用解题思路：（1）利用线段的和差、公共边等得到对应边相等；#QQABRwQwjmAwoI7giQh6QwEwzQox0BXSZSxuVRaCaw2eNwtADAA=#试卷第 2 页，共 11 页（2）利用平行线的性质得到对应角相等2共顶点：绕某一顶点旋转一定角度后两个三角形重合图示：常用解题思路：（1）利用线段的中点等得到对应边相等；（2）利用角的和差、对顶角、垂直的定义等得到对应角相等四、一线三等角模型四、一线三等角模型三等角(ABCPD=)在同一直线上(等角可以为锐角、钝角、直角特别地，等角为直角时，称为一线三垂直模型)图示：常用解题思路：（1）等角为锐角或钝角时，利用已知等角三角形
3、的内角和及外角等得到对应角相等；（2）等角为直角时，利用同角(等角)的余角相等得到对应角相等五、倍长中线模型五、倍长中线模型适用条件：已知条件中涉及“中点”、“中线”等问题已知：如图，在ABCV中，AD是BC边上的中线作法：如图，延长AD至点E，使DEAD=，连接CE结论：ABDECDVV(SAS)六、半角模型六、半角模型#QQABRwQwjmAwoI7giQh6QwEwzQox0BXSZSxuVRaCaw2eNwtADAA=#试卷第 3 页，共 11 页1等边三角形含半角已知：ABCV是等边三角形，120BDC=，BDCD=，60.EDF=结论：EFBECF=+，,=DEBDEFDFCDFE
4、=2正方形含半角已知：四边形ABCD是正方形，45EAF=结论：EFBEDF=+，,AFDAFEAEBAEF=3等腰直角三角形含半角已知：ABCV是等腰直角三角形，90BAC=，45DAE=结论：222DEBDCE=+七、手拉手模型七、手拉手模型已知：在ABCV和ADEV中，,ABAC ADAE=BACDAE=，连接,BD CE相交于P，连接AP结论 1：,ABDACE BDCE=VV，#QQABRwQwjmAwoI7giQh6QwEwzQox0BXSZSxuVRaCaw2eNwtADAA=#试卷第 4 页，共 11 页结论 2：BPCBAC=，结论 3：PA平分BPE八、截长补短模型八、截长
5、补短模型适用条件：已知条件或求证中涉及“角的平分线”、“线段的和差倍分”等问题已知：如图，在ABCV中，AD平分BAC1 截长法作法：如图，在AC上取一点E，使AEAB=，连接DE，结论：ABDAEDVV2补短法：作法：如图，延长AB至点E，使AEAC=，连接DE，结论：ACDAEDVV1如图，点D是ABCV的边BC上的中线，6AB=，4=AD，则AC的取值范围为（）A214ACB212ACC14ACD18AC，AD是中线，有下面四个结论：ABD与ACDV的面积相等；12ADABAC+；若点 P 是线段AD上的一个动点（点 P 不与点 A，D 重合），连接PBPC，则ABPV的面积比ACP的面
6、积大；点 P，Q 是 A，D 所在直线上的两个动点（点 P 与点 Q 不重合），若DPDQ=，连接PB，QC，则PBQC所有正确结论的序号是（）ABCD#QQABRwQwjmAwoI7giQh6QwEwzQox0BXSZSxuVRaCaw2eNwtADAA=#试卷第 6 页，共 11 页6两个大小不同的等腰直角三角板按图 1 所示摆放，将两个三角板抽象成如图 2 所示的ABCV和AED，其中90BACEAD=，点B、C、E依次在同一条直线上，连结CD若4BC=，2CE=，则DCE的面积是 7如图，D、E 分别是ABC外部的两点，连接AD，AE，有ABAD=，ACAE=，BADCAEa=连接CD
7、、BE交于点 F，则DFE的度数为 8四边形ABCD中，AC平分BAD，BCDC=，70B=，则D的度数是 9如图，在RtABC中，90ACB=，点 D，F 分别在ABAC，上，CFCB=，连接CD，将线段CD绕点 C 按顺时针方向旋转90后得CE，连接EF(1)求证：BCDFCEVV；(2)若直线EF交AB于点 G，直接写出AGE的度数10 如图，在ABCV中，90ACB=，ACBC=，BECE，于点EADCE，于点DBECV与CDAV全等吗？请说明理由#QQABRwQwjmAwoI7giQh6QwEwzQox0BXSZSxuVRaCaw2eNwtADAA=#试卷第 7 页，共 11 页 1
8、1如图所示，ABCD，BE，CE分别是ABC，BCD 的平分线，点 E 在AD上，求证：BCABCD=+12已知ABCV与DAEV都是等腰直角三角形，且90BACDAE=求证：(1)ABEACD；(2)DCBE13如图，在RtABC中，90BACABAC=，分别过点 B，C 作过点 A 的直线的垂线 BD，CE，垂足为 D，E若4cm3cmBDCE=，求 DE 的长 14如图，ACCE，ACE90，ABBD，EDBD，AB6cm，DE2cm，则 BD 等于（）#QQABRwQwjmAwoI7giQh6QwEwzQox0BXSZSxuVRaCaw2eNwtADAA=#试卷第 8 页，共 11 页
9、A6cmB8cmC10cmD4cm15 如图，已知 AD 是ABC 中 BC 边上的中线，AB5，AC3，则 AD 的取值范围是（）A2AD8B1AD4C2AD5D4AD816如图，在ABCV中，BAC和ABC的平分线AE，BF相交于点O，AE交BC于E，BF交AC于F过点O作ODBC于D，下列四个结论：1902AOBC=+；当60C=时，AFBEAB+=；若ODa=，2ABBCCAb+=，则ABCSab=V其中正确的是 （填写正确的序号）17如图，大小不同的两块三角板 ABCV和 DECV直角顶点重合在点 C处，ACBC=，DCEC=，连接AE、BD，点 A恰好在线段 BD上(1)找出图中的
10、全等三角形，并说明理由；(2)猜想 AE与 BD的位置关系，并说明理由18ABCV、DPC都是等边三角形#QQABRwQwjmAwoI7giQh6QwEwzQox0BXSZSxuVRaCaw2eNwtADAA=#试卷第 9 页，共 11 页(1)如图 1，求证：APBD=；(2)如图 2，点 P 在ABCV内，M为AC的中点，连PM、PA、PB，若PAPM，且2PBPM=求证：BPBD；判断PC与PA的数量关系并证明19（1）如图 1，在四边形ABCD中，ABAD=，90BD=，E、F 分别是边BC、CD上的点，若12EAFBAD=，可求得EF、BE、FD之间的数量关系为_（只思考解题思路，完
11、成填空即可，不必书写证明过程）（2）如图 2，在四边形ABCD中，ABAD=，180BADC+=，E、F 分别是边BC、CD延长线上的点，若12EAFBAD=，判断EF、BE、FD之间的数量关系还成立吗，若成立，请完成证明，若不成立，请说明理由20通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题：#QQABRwQwjmAwoI7giQh6QwEwzQox0BXSZSxuVRaCaw2eNwtADAA=#试卷第 10 页，共 11 页 (1)如图 1，90BAD=，ABAD=，过点 B 作BCAC于点 C，过点 D 作DEAC于点E由12290D+=+=，得1D=又90ACBAED=，可以推理得到AB
12、CDAE进而得到AC=_，BCAE=我们把这个数学模型称为“K 字”模型或“一线三等角”模型；(2)如图 2，90BADCAE=，ABAD=，ACAE=，连接,BC DE，且BCAF于点F，DE与直线AF交于点 G求证：点 G 是DE的中点；(3)如图 3，已知四边形ABCD和DEGF为正方形，AFD的面积为1S，DCE的面积为2S，1210SS+=求出1S的值（2023四川成都中考真题）21如图，已知ABCDEF，点 B，E，C，F 依次在同一条直线上若85BCCE=，则CF的长为 （2023重庆中考真题）22如图，在RtABC中，90BAC=o，ABAC=，点 D 为BC上一点，连接AD过
13、点 B作BEAD于点 E，过点 C 作CFAD交AD的延长线于点 F若4BE=，1CF=，则EF的长度为#QQABRwQwjmAwoI7giQh6QwEwzQox0BXSZSxuVRaCaw2eNwtADAA=#试卷第 11 页，共 11 页 （2022黑龙江牡丹江中考真题）23如图，CACD=，ACDBCE=，请添加一个条件 ，使ABCDECVV（2023西藏中考真题）24如图，已知ABDE=，ACDC=，CECB=求证：12=（2023四川乐山中考真题）25如图，AB和CD相交于点OACBD，点O为AB的中点，求证：ACBD=#QQABRwQwjmAwoI7giQh6QwEwzQox0BX
14、SZSxuVRaCaw2eNwtADAA=#QQABRwQwjmAwoI7giQh6QwEwzQox0BXSZSxuVRaCaw2eNwtADAA=#答案第 1 页，共 23 页1A【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形三边之间的关系，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形延长AD至E，使DEAD=，连接CE由SAS证明ABDECDVV，得6CEAB=，再根据三角形的三边关系即可求解【详解】解：延长AD至E，使DEAD=，连接CE则28AEAD=，AD是边BC上的中线，CDBD=，在ABD和ECDV中，ADEDADBEDCBDCD=，ABDECD SASVV，6CEAB=，在ACE中，
15、-+AEECACAEEC，即8686-+AC，214AC，故选：A2B【分析】将ADEV关于AE对称得到AFE，从而可得AFE的面积为 15，再根据对称的性质可得,45AFADEAF=，然后根据三角形全等的判定定理证出ACFABDVV，从而可得3,45,ACFABDCFBDACFABDSS=VV，最后根据ABD与AEC的面积之和等#QQABRwQwjmAwoI7giQh6QwEwzQox0BXSZSxuVRaCaw2eNwtADAA=#答案第 2 页，共 23 页于AFE与CEF的面积之和即可得【详解】解：如图，将ADEV关于 AE 对称得到AFE，则,45AFADEAF=，15AAFEDES
16、S=VV，454590CAFCADDAEEAF+=+=+=，18090BADCADBAACBCACB+=-=Q，CAFBAD=，在ACF和ABD中，ACABCAFBADAFAD=，()ACFABD SASVV，3,45,ACFABDCFBDACFABDSS=VV，90ACBACECFF=+=，即CEF是直角三角形，114 3622CEFSCE CF=V，15621ABDAECACFAECAFECEFSSSSSS+=+=+=+=VVVVVV，即ABD与AEC的面积之和为 21，故选：B【点睛】本题考查了轴对称的性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形和直角三角形是解题关键3互相平分【分析】由已知可推出 AE+EF=CF+EF，DEAC 于 E，BFAC 于 F 推出DEC=BFA=90，AB=CD，所以推出ABFCDE，则 DE=BF，所以证得DOEBOF，则得：OE=OF，OB=OD【详解】AE=CF，点 E，F 不重合，AE+EF=CF+EF，即 AF=CE，#QQABRwQwjmAwoI7giQh6QwEwzQox0BXSZSxuVRaCaw2eNwt
