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1、试卷第 1 页,共 11 页时练习:时练习:40min 完成时间:月月 日 天气:暑假作业暑假作业 08 全等三角形常见模型全等三角形常见模型一、平移模型一、平移模型沿一边所在直线平移可使两个三角形重合图示:常用解题思路:(1)在平移的直线上,根据线段的和(差)中点等得到对应边相等;(2)利用平行线的性质得到对应角相等二、轴对称模型二、轴对称模型所给图形沿某一直线折叠,直线两边的部分完全重合,图示:常用解题思路:(1)利用公共边、线段的和差等得到对应边相等;(2)利用对顶角、公共角、角的和差、垂直的定义等得到对应角相等三、旋转模型三、旋转模型1不共顶点:绕某一顶点旋转,再平移后两个三角形重合图
2、示:常用解题思路:(1)利用线段的和差、公共边等得到对应边相等;#QQABRwQwjmAwoI7giQh6QwEwzQox0BXSZSxuVRaCaw2eNwtADAA=#试卷第 2 页,共 11 页(2)利用平行线的性质得到对应角相等2共顶点:绕某一顶点旋转一定角度后两个三角形重合图示:常用解题思路:(1)利用线段的中点等得到对应边相等;(2)利用角的和差、对顶角、垂直的定义等得到对应角相等四、一线三等角模型四、一线三等角模型三等角(ABCPD=)在同一直线上(等角可以为锐角、钝角、直角特别地,等角为直角时,称为一线三垂直模型)图示:常用解题思路:(1)等角为锐角或钝角时,利用已知等角三角形
3、的内角和及外角等得到对应角相等;(2)等角为直角时,利用同角(等角)的余角相等得到对应角相等五、倍长中线模型五、倍长中线模型适用条件:已知条件中涉及“中点”、“中线”等问题已知:如图,在ABCV中,AD是BC边上的中线作法:如图,延长AD至点E,使DEAD=,连接CE结论:ABDECDVV(SAS)六、半角模型六、半角模型#QQABRwQwjmAwoI7giQh6QwEwzQox0BXSZSxuVRaCaw2eNwtADAA=#试卷第 3 页,共 11 页1等边三角形含半角已知:ABCV是等边三角形,120BDC=,BDCD=,60.EDF=结论:EFBECF=+,,=DEBDEFDFCDFE
4、=2正方形含半角已知:四边形ABCD是正方形,45EAF=结论:EFBEDF=+,,AFDAFEAEBAEF=3等腰直角三角形含半角已知:ABCV是等腰直角三角形,90BAC=,45DAE=结论:222DEBDCE=+七、手拉手模型七、手拉手模型已知:在ABCV和ADEV中,,ABAC ADAE=BACDAE=,连接,BD CE相交于P,连接AP结论 1:,ABDACE BDCE=VV,#QQABRwQwjmAwoI7giQh6QwEwzQox0BXSZSxuVRaCaw2eNwtADAA=#试卷第 4 页,共 11 页结论 2:BPCBAC=,结论 3:PA平分BPE八、截长补短模型八、截长
5、补短模型适用条件:已知条件或求证中涉及“角的平分线”、“线段的和差倍分”等问题已知:如图,在ABCV中,AD平分BAC1 截长法作法:如图,在AC上取一点E,使AEAB=,连接DE,结论:ABDAEDVV2补短法:作法:如图,延长AB至点E,使AEAC=,连接DE,结论:ACDAEDVV1如图,点D是ABCV的边BC上的中线,6AB=,4=AD,则AC的取值范围为()A214ACB212ACC14ACD18AC,AD是中线,有下面四个结论:ABD与ACDV的面积相等;12ADABAC+;若点 P 是线段AD上的一个动点(点 P 不与点 A,D 重合),连接PBPC,则ABPV的面积比ACP的面
6、积大;点 P,Q 是 A,D 所在直线上的两个动点(点 P 与点 Q 不重合),若DPDQ=,连接PB,QC,则PBQC所有正确结论的序号是()ABCD#QQABRwQwjmAwoI7giQh6QwEwzQox0BXSZSxuVRaCaw2eNwtADAA=#试卷第 6 页,共 11 页6两个大小不同的等腰直角三角板按图 1 所示摆放,将两个三角板抽象成如图 2 所示的ABCV和AED,其中90BACEAD=,点B、C、E依次在同一条直线上,连结CD若4BC=,2CE=,则DCE的面积是 7如图,D、E 分别是ABC外部的两点,连接AD,AE,有ABAD=,ACAE=,BADCAEa=连接CD
7、、BE交于点 F,则DFE的度数为 8四边形ABCD中,AC平分BAD,BCDC=,70B=,则D的度数是 9如图,在RtABC中,90ACB=,点 D,F 分别在ABAC,上,CFCB=,连接CD,将线段CD绕点 C 按顺时针方向旋转90后得CE,连接EF(1)求证:BCDFCEVV;(2)若直线EF交AB于点 G,直接写出AGE的度数10 如图,在ABCV中,90ACB=,ACBC=,BECE,于点EADCE,于点DBECV与CDAV全等吗?请说明理由#QQABRwQwjmAwoI7giQh6QwEwzQox0BXSZSxuVRaCaw2eNwtADAA=#试卷第 7 页,共 11 页 1
8、1如图所示,ABCD,BE,CE分别是ABC,BCD 的平分线,点 E 在AD上,求证:BCABCD=+12已知ABCV与DAEV都是等腰直角三角形,且90BACDAE=求证:(1)ABEACD;(2)DCBE13如图,在RtABC中,90BACABAC=,分别过点 B,C 作过点 A 的直线的垂线 BD,CE,垂足为 D,E若4cm3cmBDCE=,求 DE 的长 14如图,ACCE,ACE90,ABBD,EDBD,AB6cm,DE2cm,则 BD 等于()#QQABRwQwjmAwoI7giQh6QwEwzQox0BXSZSxuVRaCaw2eNwtADAA=#试卷第 8 页,共 11 页
9、A6cmB8cmC10cmD4cm15 如图,已知 AD 是ABC 中 BC 边上的中线,AB5,AC3,则 AD 的取值范围是()A2AD8B1AD4C2AD5D4AD816如图,在ABCV中,BAC和ABC的平分线AE,BF相交于点O,AE交BC于E,BF交AC于F过点O作ODBC于D,下列四个结论:1902AOBC=+;当60C=时,AFBEAB+=;若ODa=,2ABBCCAb+=,则ABCSab=V其中正确的是 (填写正确的序号)17如图,大小不同的两块三角板 ABCV和 DECV直角顶点重合在点 C处,ACBC=,DCEC=,连接AE、BD,点 A恰好在线段 BD上(1)找出图中的
10、全等三角形,并说明理由;(2)猜想 AE与 BD的位置关系,并说明理由18ABCV、DPC都是等边三角形#QQABRwQwjmAwoI7giQh6QwEwzQox0BXSZSxuVRaCaw2eNwtADAA=#试卷第 9 页,共 11 页(1)如图 1,求证:APBD=;(2)如图 2,点 P 在ABCV内,M为AC的中点,连PM、PA、PB,若PAPM,且2PBPM=求证:BPBD;判断PC与PA的数量关系并证明19(1)如图 1,在四边形ABCD中,ABAD=,90BD=,E、F 分别是边BC、CD上的点,若12EAFBAD=,可求得EF、BE、FD之间的数量关系为_(只思考解题思路,完
11、成填空即可,不必书写证明过程)(2)如图 2,在四边形ABCD中,ABAD=,180BADC+=,E、F 分别是边BC、CD延长线上的点,若12EAFBAD=,判断EF、BE、FD之间的数量关系还成立吗,若成立,请完成证明,若不成立,请说明理由20通过对如图数学模型的研究学习,解决下列问题:#QQABRwQwjmAwoI7giQh6QwEwzQox0BXSZSxuVRaCaw2eNwtADAA=#试卷第 10 页,共 11 页 (1)如图 1,90BAD=,ABAD=,过点 B 作BCAC于点 C,过点 D 作DEAC于点E由12290D+=+=,得1D=又90ACBAED=,可以推理得到AB
12、CDAE进而得到AC=_,BCAE=我们把这个数学模型称为“K 字”模型或“一线三等角”模型;(2)如图 2,90BADCAE=,ABAD=,ACAE=,连接,BC DE,且BCAF于点F,DE与直线AF交于点 G求证:点 G 是DE的中点;(3)如图 3,已知四边形ABCD和DEGF为正方形,AFD的面积为1S,DCE的面积为2S,1210SS+=求出1S的值(2023四川成都中考真题)21如图,已知ABCDEF,点 B,E,C,F 依次在同一条直线上若85BCCE=,则CF的长为 (2023重庆中考真题)22如图,在RtABC中,90BAC=o,ABAC=,点 D 为BC上一点,连接AD过
13、点 B作BEAD于点 E,过点 C 作CFAD交AD的延长线于点 F若4BE=,1CF=,则EF的长度为#QQABRwQwjmAwoI7giQh6QwEwzQox0BXSZSxuVRaCaw2eNwtADAA=#试卷第 11 页,共 11 页 (2022黑龙江牡丹江中考真题)23如图,CACD=,ACDBCE=,请添加一个条件 ,使ABCDECVV(2023西藏中考真题)24如图,已知ABDE=,ACDC=,CECB=求证:12=(2023四川乐山中考真题)25如图,AB和CD相交于点OACBD,点O为AB的中点,求证:ACBD=#QQABRwQwjmAwoI7giQh6QwEwzQox0BX
14、SZSxuVRaCaw2eNwtADAA=#QQABRwQwjmAwoI7giQh6QwEwzQox0BXSZSxuVRaCaw2eNwtADAA=#答案第 1 页,共 23 页1A【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形三边之间的关系,解题的关键是作辅助线,构造全等三角形延长AD至E,使DEAD=,连接CE由SAS证明ABDECDVV,得6CEAB=,再根据三角形的三边关系即可求解【详解】解:延长AD至E,使DEAD=,连接CE则28AEAD=,AD是边BC上的中线,CDBD=,在ABD和ECDV中,ADEDADBEDCBDCD=,ABDECD SASVV,6CEAB=,在ACE中,
15、-+AEECACAEEC,即8686-+AC,214AC,故选:A2B【分析】将ADEV关于AE对称得到AFE,从而可得AFE的面积为 15,再根据对称的性质可得,45AFADEAF=,然后根据三角形全等的判定定理证出ACFABDVV,从而可得3,45,ACFABDCFBDACFABDSS=VV,最后根据ABD与AEC的面积之和等#QQABRwQwjmAwoI7giQh6QwEwzQox0BXSZSxuVRaCaw2eNwtADAA=#答案第 2 页,共 23 页于AFE与CEF的面积之和即可得【详解】解:如图,将ADEV关于 AE 对称得到AFE,则,45AFADEAF=,15AAFEDES
16、S=VV,454590CAFCADDAEEAF+=+=+=,18090BADCADBAACBCACB+=-=Q,CAFBAD=,在ACF和ABD中,ACABCAFBADAFAD=,()ACFABD SASVV,3,45,ACFABDCFBDACFABDSS=VV,90ACBACECFF=+=,即CEF是直角三角形,114 3622CEFSCE CF=V,15621ABDAECACFAECAFECEFSSSSSS+=+=+=+=VVVVVV,即ABD与AEC的面积之和为 21,故选:B【点睛】本题考查了轴对称的性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点,通过作辅助线,构造全等三角形和直角三角形是解题关键3互相平分【分析】由已知可推出 AE+EF=CF+EF,DEAC 于 E,BFAC 于 F 推出DEC=BFA=90,AB=CD,所以推出ABFCDE,则 DE=BF,所以证得DOEBOF,则得:OE=OF,OB=OD【详解】AE=CF,点 E,F 不重合,AE+EF=CF+EF,即 AF=CE,#QQABRwQwjmAwoI7giQh6QwEwzQox0BXSZSxuVRaCaw2eNwt