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1、2023学年第二学期高一年级四校联考数学试题考生须知:1.本卷满分150分,考试时间120分钟;2.答题前,在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场、座位号及准考证号(填涂);3.所有答案必须写在答题卷上,写在试卷上无效;一、选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分,每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1. 已知复数(为虚数单位),则的虚部为( )A. B. C. D. 2. 已知向量,若与共线,则( )A. B. 4C. D. 或43. 如图,的斜二测直观图为等腰直角三角形,其中,则的面积为( ) A. B. C. 6D. 4. 某同学坚持夜跑锻炼身体,他用手机记录了连续周每周的跑
2、步总里程(单位:千米),其数据分别为17,21,15,8,9,13,11,10,20,6,则这组数据的分位数是( )A. 12B. 16C. 17D. 18.55. 已知,分别是三内角,的对边,则“”是“为直角三角形”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6. 某同学有一个形如圆台的水杯如图所示,已知圆台形水杯的母线长为6cm,上下底面圆的半径分别为4cm和2cm.为了防烫和防滑,水杯配有一个杯套,包裹水杯高度以下的外壁和杯底,如图中阴影部分所示,则杯套的表面积为(不考虑水杯材质和杯套的厚度)( )A. B. C. D. 7. 如图,平行四边形
3、中,.现将沿起,使二面角大小为120,则折起后得到的三棱锥外接球的表面积为( ) A. B. C. D. 8. 正方形边长为1,平面内一点满足,满足点的轨迹分别与,交于,两点,令,分别为和方向上的单位向量,为任意实数,则的最小值为( )A 3B. C. D. 二、选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)9. 设是不同的直线,是不同的平面,则下列说法不正确的是( )A. 若,则B. 若,则C. 若,则D. 若,则10. 已知,且,则下列说法正确是( )A. 有最小值B. 有最小值C. 有最小值D
4、. 有最小值11. 如图,点是棱长为2的正方体的表面上一个动点,是线段的中点,则( ) A. 存点使得B. 若点满足,则动点的轨迹长度为C. 若点满足平面时,动点的轨迹是正六边形D. 当点在侧面上运动,且满足时,二面角的最大值为60三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)12. 已知向量满足,则向量在上的投影向量为_.13. 若,则的最大值为_.14. 在中,的外接圆为圆O,P为圆O上的点,则的取值范围是_.四、解答题(本题共5题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15. 文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号,作为普通市民,既是文明城市的最大受益者,更是文明城
5、市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识,举办了“创建文明城市”知识竞赛,从所有答卷中随机抽取100份作为样本,将样本的成绩(满分100分,成绩均为不低于40分的整数)分成六段:,得到如图所示的频率分布直方图.(1)求频率分布直方图中的值;(2)求样本成绩的第75百分位数;(3)已知落在的平均成绩是56,方差是7,落在的平均成绩为65,方差是4,求两组成绩的总平均数和总方差.16. 如图,在直三棱柱中,四边形为正方形.(1)求证:平面平面;(2)求二面角的余弦值.17. 请从;这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并加以解答(如未作出选择,则按照选择评分.选择的编号请填写到答题卡对应位置上)在中,分别是角,的对边,若_,(1)求角大小;(2)若,为边上一点,求的面积.18. 在菱形中,以为轴将菱形翻折到菱形,使得平面平面,点为边的中点,连接.(1)求证:平面;(2)求直线与平面所成角的正弦值.19. 如图,是一座“双塔钢结构自锚式悬索桥”,悬索的形状是平面几何中的悬链线,悬链线方程为(为参数,),当时,该方程就是双曲余弦函数,类似的有双曲正弦函数.(1)类比正弦函数的二倍角公式,请写出双曲正弦函数的一个正确的结论:_.(用,表示)(2),不等式恒成立,求实数的取值范围;(3)设,证明:有唯一的正零点,并比较和的大小.