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1、2023学年第二学期高一年级四校联考数学试题考生须知：1.本卷满分150分，考试时间120分钟；2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场、座位号及准考证号（填涂）；3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）1. 已知复数（为虚数单位），则的虚部为（ ）A. B. C. D. 2. 已知向量，若与共线，则（ ）A. B. 4C. D. 或43. 如图，的斜二测直观图为等腰直角三角形，其中，则的面积为（ ） A. B. C. 6D. 4. 某同学坚持夜跑锻炼身体，他用手机记录了连续周每周的跑
2、步总里程（单位：千米），其数据分别为17，21，15，8，9，13，11，10，20，6，则这组数据的分位数是（ ）A. 12B. 16C. 17D. 18.55. 已知，分别是三内角，的对边，则“”是“为直角三角形”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6. 某同学有一个形如圆台的水杯如图所示，已知圆台形水杯的母线长为6cm，上下底面圆的半径分别为4cm和2cm.为了防烫和防滑，水杯配有一个杯套，包裹水杯高度以下的外壁和杯底，如图中阴影部分所示，则杯套的表面积为（不考虑水杯材质和杯套的厚度）（ ）A. B. C. D. 7. 如图，平行四边形
3、中，.现将沿起，使二面角大小为120，则折起后得到的三棱锥外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 正方形边长为1，平面内一点满足，满足点的轨迹分别与，交于，两点，令，分别为和方向上的单位向量，为任意实数，则的最小值为（ ）A 3B. C. D. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9. 设是不同的直线，是不同的平面，则下列说法不正确的是（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则10. 已知，且，则下列说法正确是（ ）A. 有最小值B. 有最小值C. 有最小值D
4、. 有最小值11. 如图，点是棱长为2的正方体的表面上一个动点，是线段的中点，则（ ） A. 存点使得B. 若点满足，则动点的轨迹长度为C. 若点满足平面时，动点的轨迹是正六边形D. 当点在侧面上运动，且满足时，二面角的最大值为60三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12. 已知向量满足，则向量在上的投影向量为_.13. 若，则的最大值为_.14. 在中，的外接圆为圆O，P为圆O上的点，则的取值范围是_.四、解答题（本题共5题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15. 文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城
5、市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，得到如图所示的频率分布直方图.（1）求频率分布直方图中的值；（2）求样本成绩的第75百分位数；（3）已知落在的平均成绩是56，方差是7，落在的平均成绩为65，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差.16. 如图，在直三棱柱中，四边形为正方形.（1）求证：平面平面；（2）求二面角的余弦值.17. 请从；这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答（如未作出选择，则按照选择评分.选择的编号请填写到答题卡对应位置上）在中，分别是角，的对边，若_，（1）求角大小；（2）若，为边上一点，求的面积.18. 在菱形中，以为轴将菱形翻折到菱形，使得平面平面，点为边的中点，连接.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.19. 如图，是一座“双塔钢结构自锚式悬索桥”，悬索的形状是平面几何中的悬链线，悬链线方程为（为参数，），当时，该方程就是双曲余弦函数，类似的有双曲正弦函数.（1）类比正弦函数的二倍角公式，请写出双曲正弦函数的一个正确的结论：_.（用，表示）（2），不等式恒成立，求实数的取值范围；（3）设，证明：有唯一的正零点，并比较和的大小.
