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1、衢州市2024年6月高一年级教学质量检测试卷数学试题考生须知：1.全卷分试卷和答题卷.考试结束后，将答题卷上交.2.试卷共4页，有4大题，19小题.满分150分，考试时间120分钟.3.请将答案做在答题卷的相应位置上，写在试卷上无效.一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目的要求.1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据题意，利用交集的运算即可求出.【详解】因为集合，所以.故选：A.2. 已知复数满足，则复数的虚部为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，利用复数的除法运算，
2、结合复数的意义求解即得.【详解】由，得，所以复数的虚部为.故选：C3. “”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据终边相同的角的三角函数值相等，结合充分不必要条件的定义，即可得到答案；【详解】，当，“”是“”的充分不必要条件，故选：A4. 将10个数据按照从小到大的顺序排列如下：，若该组数据的分位数为22，则（ ）A. 19B. 20C. 21D. 22【答案】C【解析】【分析】由题意，结合百分位数的定义即可求解.【详解】，又该组数据的分位数为22，则，解得.故选：C5. 已知向量，且与的夹角为，则在方向上的
3、投影向量为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意，根据平面向量数量积的定义求出，结合投影向量的定义即可求解.【详解】由题意知，所以在上的投影向量为.故选：B6. 如图，是圆的直径，垂直于圆所在的平面，为圆周上不与点重合的点，于，于，则下列结论不正确的是（ ）A 平面平面B. 平面C. 平面D. 平面平面【答案】D【解析】【分析】根据线面垂直的判定定理，性质定理，结合面面垂直的判定定理得到结果.【详解】对于A，依题意有平面，平面，所以平面平面，A选项正确；对于B，平面，平面，则有，是圆的直径，为圆周上不与点重合的点，则有，平面，所以平面，B选项正确；对于C，平面，平面，又
4、于，平面，所以平面，平面，则，又于，平面，所以平面，C选项正确；对于D，平面平面，平面，于，若平面平面，则必有平面，而平面，则必有，因为平面，平面，则有，又平面，则必有，由于垂直于圆所在的平面，则，而于，则为中点，因为是圆的直径，为圆周上不与点重合的点，于，则不是中点（否则会得到，但这与矛盾），不成立，所以平面平面的结论不正确，即D选项错误.故选：D.7. 已知定义在上的偶函数满足：当时，且对一切恒成立，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据题意，可得的解析式，分别求得当时，时，时，和的表达式，结合题意，即可求得的范围，综合即可得答案.【详解】由题意知：
5、,当时，所以，所以，因为，所以；当时，所以，所以，当时，所以，所以，综上. 实数的取值范围为.故选：D.【点睛】关键点点睛：根据题意求得的解析式，分类讨论，将和进行转化，考查分类讨论的思想，属中档题.8. 美国数学家Jack Kiefer于1953年提出0.618优选法，又称黄金分割法，是在优选时把尝试点放在黄金分割点上来寻找最优选择.我国著名数学家华罗庚于20世纪60、70年代对其进行简化、补充，并在我国进行推广，广泛应用于各个领域.黄金分割比，现给出三倍角公式，则与的关系式正确的为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意利用诱导公式，同角三角函数基本关系式，二倍角公式
6、可求进而解方程即可得解.【详解】因为，所以，又所以，化简得，可得，解得（负值舍去），所以.故选：B.二、选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 在中，角的对边分别为，已知且，则下列结论正确的是（ ）A. B. 的取值范围为C. 的最大值为4D. 若为的中点，则的取值范围为【答案】AC【解析】【分析】A选项，利用正弦定理和余弦定理求出；B选项，由正弦定理得到，结合，得到答案；C选项，根据基本不等式和，求出的最大值；D选项，两边平方，结合求出，得到D错误.【详解】因为，由正弦定理得，由
7、余弦定理得，因为，故，A正确；B选项，由正弦定理得，故，因为，所以，故，B错误；C选项，由A得，其中，当且仅当时，等号成立，故，求出，当且仅当时，等号成立，C正确；D选项，若为的中点，则，其中，故，当且仅当时，等号成立，故，又，故，故，即的取值范围为，D错误.故选：AC10. 一学生在求解以下问题“已知函数的图象关于直线对称，关于中心对称，且，求的值”时，思路如下：令（，），由对称轴和对称中心可求得，再由对称轴求，对称中心求，根据以上信息可得（ ）A. B. C. D. 【答案】ABD【解析】【分析】根据已知条件可求得，结合周期的性质可求，可得结论.【详解】因为函数的图象关于中心对称，所以，函
8、数的图象关于直线对称，且，可得，解得，又因为的图象关于中心对称，关于直线对称，可得周期，所以，解得，又时，解得，又，可得，所以，所以，所以，.故选：ABD.11. 如图所示，在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，点为侧棱上的动点，为线段中点.则下列说法正确的是（ ）A. 存在点，使得平面B. 周长的最小值为C. 三棱锥的外接球的体积为D. 平面与平面的夹角正弦值的最小值为【答案】ACD【解析】【分析】根据线面垂直的判定定理与性质即可判断A；如图，确定三点共线时取得最小值，进而判断B；如图，确定球心和半径即可判断C；利用空间向量法求解面面角即可判断D.【详解】A：由题意知，又平面，所以平面，由平面
9、，得；当为的中点时，又四边形为正方形，为的中点，所以，由平面，所以平面，故A正确；B：将平面和平面沿铺成一个平面，如图，连接，交于，此时三点共线，取得最小值，即的周长取得最小值，又，所以的周长的最小值为，故B错误；C：易知中，取的中点，过作平面，如图，则三棱锥的外接球的球心必在上，且，所以球的半径为，其体积为，故C正确；D：易知两两垂直，建立如图空间直角坐标系，则，设，所以，易知为平面的一个法向量，设平面的一个法向量为，则，令，得，所以，所以，当且仅当时等号成立，设平面与平面所成角为，则，所以，故D正确.故选：ACD【点睛】方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转
10、化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下：（1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；（2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的；（3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解.三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.12. 已知向量，若，则_.【答案】#【解析】【分析】根据向量垂直的数量积的坐标表示即可求值.【详解】因为，所以，所以，解得.故答案为：.13. 已知，且，则的最小值为_.【答案】#【解析】
11、【分析】利用，结合基本不等式可求其最小值.【详解】因为，所以，又因为，所以，所以，当且仅当，即时取等号.所以的最小值为.故答案为：.14. 已知定义在上的函数为奇函数，且函数在区间上单调递增，则的解集为_.【答案】【解析】【分析】由已知结合函数的对称性及单调性即可求解不等式.【详解】函数为奇函数，函数关于中心对称，所以，又在上单调递增，在单调递增，从而可化为,即故答案为四、解答题：本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤.15. 已知函数.（1）求函数的最小正周期和对称中心；（2）求函数在上的值域.【答案】（1）最小正周期为，对称中心为 （2）【解析】【分析】（1）利用
12、辅助角公式可得，可求周期与对称中心；（2）由，可得，可求值域.【小问1详解】，由，得函数的最小正周期为，令，得，函数的对称中心为；【小问2详解】由（1）可得，函数的值域为.16. 如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，底面，是线段的中点. （1）求证：平面；（2）求三棱锥的体积；（3）求直线与底面所成角的正切值.【答案】（1）证明见解析 （2） （3）【解析】【分析】（1）连接交于，连接，先证明，再通过线面平行的判断定理即可；（2）先证明平面，即为三棱锥高，再通过三棱锥的体积公式计算即可；（3）取中点，连接，证明底面，即为直线与底面所成角的平面角，求解即可.【小问1详解】连接交于，连接，底
13、面是正方形，为中点，又是线段的中点，又平面，平面，平面.【小问2详解】因为底面，且底面，所以，又因为，且平面,所以平面.所以根据三棱锥的体积公式：.【小问3详解】取中点，连接，分别为，中点，又底面，底面，为直线与底面所成角的平面角，直线与底面所成角的正切值为. 17. 2023年起我国旅游按下重启键，寒冬有尽，春日可期，先后出现了“淄博烧烤”，“尔滨与小土豆”，“天水麻辣烫”等现象级爆款，之后各地文旅各出奇招，衢州文旅也在各大平台发布了衢州的宣传片：孔子，金庸，搁袋饼纷纷出场.现为进一步发展衢州文旅，提升衢州经济，在5月份对来衢旅游的部分游客发起满意度调查，从饮食、住宿，交通，服务等方面调查旅
14、客满意度，满意度采用百分制，统计的综合满意度绘制成如下频率分布直方图，图中.（1）求图中的值并估计满意度得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）若有超过的人满意度在75分及以上，则认为该月文旅成绩合格.衢州市5月份文旅成绩合格了吗？（3）衢州文旅6月份继续对来衢旅游的游客发起满意度调查.现知6月1日-6月7日调查的4万份数据中其满意度的平均值为80，方差为75；6月8日-6月14日调查的6万份数据中满意度的平均值为90，方差为70.由这些数据计算6月1日6月14日的总样本的平均数与方差.【答案】（1），79.5 （2）合格 （3）平均值为86，方差为96【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图的特征求出a，进而即可求出平均数；（2）先确定40%分位数的位置，再由频率分布直方图求出百分位数，即可下结论；（3）求出总样本平均数，根据方差的定义，即可求出总样本方差.【小问
