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1、衢州市2024年6月高一年级教学质量检测试卷数学试题考生须知:1.全卷分试卷和答题卷.考试结束后,将答题卷上交.2.试卷共4页,有4大题,19小题.满分150分,考试时间120分钟.3.请将答案做在答题卷的相应位置上,写在试卷上无效.一、选择题:本题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目的要求.1. 已知集合,则( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据题意,利用交集的运算即可求出.【详解】因为集合,所以.故选:A.2. 已知复数满足,则复数的虚部为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据给定条件,利用复数的除法运算,
2、结合复数的意义求解即得.【详解】由,得,所以复数的虚部为.故选:C3. “”是“”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据终边相同的角的三角函数值相等,结合充分不必要条件的定义,即可得到答案;【详解】,当,“”是“”的充分不必要条件,故选:A4. 将10个数据按照从小到大的顺序排列如下:,若该组数据的分位数为22,则( )A. 19B. 20C. 21D. 22【答案】C【解析】【分析】由题意,结合百分位数的定义即可求解.【详解】,又该组数据的分位数为22,则,解得.故选:C5. 已知向量,且与的夹角为,则在方向上的
3、投影向量为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意,根据平面向量数量积的定义求出,结合投影向量的定义即可求解.【详解】由题意知,所以在上的投影向量为.故选:B6. 如图,是圆的直径,垂直于圆所在的平面,为圆周上不与点重合的点,于,于,则下列结论不正确的是( )A 平面平面B. 平面C. 平面D. 平面平面【答案】D【解析】【分析】根据线面垂直的判定定理,性质定理,结合面面垂直的判定定理得到结果.【详解】对于A,依题意有平面,平面,所以平面平面,A选项正确;对于B,平面,平面,则有,是圆的直径,为圆周上不与点重合的点,则有,平面,所以平面,B选项正确;对于C,平面,平面,又
4、于,平面,所以平面,平面,则,又于,平面,所以平面,C选项正确;对于D,平面平面,平面,于,若平面平面,则必有平面,而平面,则必有,因为平面,平面,则有,又平面,则必有,由于垂直于圆所在的平面,则,而于,则为中点,因为是圆的直径,为圆周上不与点重合的点,于,则不是中点(否则会得到,但这与矛盾),不成立,所以平面平面的结论不正确,即D选项错误.故选:D.7. 已知定义在上的偶函数满足:当时,且对一切恒成立,则实数的取值范围为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据题意,可得的解析式,分别求得当时,时,时,和的表达式,结合题意,即可求得的范围,综合即可得答案.【详解】由题意知:
5、,当时,所以,所以,因为,所以;当时,所以,所以,当时,所以,所以,综上. 实数的取值范围为.故选:D.【点睛】关键点点睛:根据题意求得的解析式,分类讨论,将和进行转化,考查分类讨论的思想,属中档题.8. 美国数学家Jack Kiefer于1953年提出0.618优选法,又称黄金分割法,是在优选时把尝试点放在黄金分割点上来寻找最优选择.我国著名数学家华罗庚于20世纪60、70年代对其进行简化、补充,并在我国进行推广,广泛应用于各个领域.黄金分割比,现给出三倍角公式,则与的关系式正确的为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意利用诱导公式,同角三角函数基本关系式,二倍角公式
6、可求进而解方程即可得解.【详解】因为,所以,又所以,化简得,可得,解得(负值舍去),所以.故选:B.二、选择题:本题共3个小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目的要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9. 在中,角的对边分别为,已知且,则下列结论正确的是( )A. B. 的取值范围为C. 的最大值为4D. 若为的中点,则的取值范围为【答案】AC【解析】【分析】A选项,利用正弦定理和余弦定理求出;B选项,由正弦定理得到,结合,得到答案;C选项,根据基本不等式和,求出的最大值;D选项,两边平方,结合求出,得到D错误.【详解】因为,由正弦定理得,由
7、余弦定理得,因为,故,A正确;B选项,由正弦定理得,故,因为,所以,故,B错误;C选项,由A得,其中,当且仅当时,等号成立,故,求出,当且仅当时,等号成立,C正确;D选项,若为的中点,则,其中,故,当且仅当时,等号成立,故,又,故,故,即的取值范围为,D错误.故选:AC10. 一学生在求解以下问题“已知函数的图象关于直线对称,关于中心对称,且,求的值”时,思路如下:令(,),由对称轴和对称中心可求得,再由对称轴求,对称中心求,根据以上信息可得( )A. B. C. D. 【答案】ABD【解析】【分析】根据已知条件可求得,结合周期的性质可求,可得结论.【详解】因为函数的图象关于中心对称,所以,函
8、数的图象关于直线对称,且,可得,解得,又因为的图象关于中心对称,关于直线对称,可得周期,所以,解得,又时,解得,又,可得,所以,所以,所以,.故选:ABD.11. 如图所示,在直三棱柱中,底面是等腰直角三角形,点为侧棱上的动点,为线段中点.则下列说法正确的是( )A. 存在点,使得平面B. 周长的最小值为C. 三棱锥的外接球的体积为D. 平面与平面的夹角正弦值的最小值为【答案】ACD【解析】【分析】根据线面垂直的判定定理与性质即可判断A;如图,确定三点共线时取得最小值,进而判断B;如图,确定球心和半径即可判断C;利用空间向量法求解面面角即可判断D.【详解】A:由题意知,又平面,所以平面,由平面
9、,得;当为的中点时,又四边形为正方形,为的中点,所以,由平面,所以平面,故A正确;B:将平面和平面沿铺成一个平面,如图,连接,交于,此时三点共线,取得最小值,即的周长取得最小值,又,所以的周长的最小值为,故B错误;C:易知中,取的中点,过作平面,如图,则三棱锥的外接球的球心必在上,且,所以球的半径为,其体积为,故C正确;D:易知两两垂直,建立如图空间直角坐标系,则,设,所以,易知为平面的一个法向量,设平面的一个法向量为,则,令,得,所以,所以,当且仅当时等号成立,设平面与平面所成角为,则,所以,故D正确.故选:ACD【点睛】方法点睛:解决与球相关的切、接问题,其通法是作出截面,将空间几何问题转
10、化为平面几何问题求解,其解题思维流程如下:(1)定球心:如果是内切球,球心到切点的距离相等且为球的半径;如果是外接球,球心到接点的距离相等且为半径;(2)作截面:选准最佳角度做出截面(要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系),达到空间问题平面化的目的;(3)求半径下结论:根据作出截面中的几何元素,建立关于球的半径的方程,并求解.三、填空题:本题共3个小题,每小题5分,共15分.12. 已知向量,若,则_.【答案】#【解析】【分析】根据向量垂直的数量积的坐标表示即可求值.【详解】因为,所以,所以,解得.故答案为:.13. 已知,且,则的最小值为_.【答案】#【解析】
11、【分析】利用,结合基本不等式可求其最小值.【详解】因为,所以,又因为,所以,所以,当且仅当,即时取等号.所以的最小值为.故答案为:.14. 已知定义在上的函数为奇函数,且函数在区间上单调递增,则的解集为_.【答案】【解析】【分析】由已知结合函数的对称性及单调性即可求解不等式.【详解】函数为奇函数,函数关于中心对称,所以,又在上单调递增,在单调递增,从而可化为,即故答案为四、解答题:本题共5个小题,共77分.解答应写出文字说明,证明过程或验算步骤.15. 已知函数.(1)求函数的最小正周期和对称中心;(2)求函数在上的值域.【答案】(1)最小正周期为,对称中心为 (2)【解析】【分析】(1)利用
12、辅助角公式可得,可求周期与对称中心;(2)由,可得,可求值域.【小问1详解】,由,得函数的最小正周期为,令,得,函数的对称中心为;【小问2详解】由(1)可得,函数的值域为.16. 如图,在四棱锥中,底面是边长为1的正方形,底面,是线段的中点. (1)求证:平面;(2)求三棱锥的体积;(3)求直线与底面所成角的正切值.【答案】(1)证明见解析 (2) (3)【解析】【分析】(1)连接交于,连接,先证明,再通过线面平行的判断定理即可;(2)先证明平面,即为三棱锥高,再通过三棱锥的体积公式计算即可;(3)取中点,连接,证明底面,即为直线与底面所成角的平面角,求解即可.【小问1详解】连接交于,连接,底
13、面是正方形,为中点,又是线段的中点,又平面,平面,平面.【小问2详解】因为底面,且底面,所以,又因为,且平面,所以平面.所以根据三棱锥的体积公式:.【小问3详解】取中点,连接,分别为,中点,又底面,底面,为直线与底面所成角的平面角,直线与底面所成角的正切值为. 17. 2023年起我国旅游按下重启键,寒冬有尽,春日可期,先后出现了“淄博烧烤”,“尔滨与小土豆”,“天水麻辣烫”等现象级爆款,之后各地文旅各出奇招,衢州文旅也在各大平台发布了衢州的宣传片:孔子,金庸,搁袋饼纷纷出场.现为进一步发展衢州文旅,提升衢州经济,在5月份对来衢旅游的部分游客发起满意度调查,从饮食、住宿,交通,服务等方面调查旅
14、客满意度,满意度采用百分制,统计的综合满意度绘制成如下频率分布直方图,图中.(1)求图中的值并估计满意度得分的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);(2)若有超过的人满意度在75分及以上,则认为该月文旅成绩合格.衢州市5月份文旅成绩合格了吗?(3)衢州文旅6月份继续对来衢旅游的游客发起满意度调查.现知6月1日-6月7日调查的4万份数据中其满意度的平均值为80,方差为75;6月8日-6月14日调查的6万份数据中满意度的平均值为90,方差为70.由这些数据计算6月1日6月14日的总样本的平均数与方差.【答案】(1),79.5 (2)合格 (3)平均值为86,方差为96【解析】【分析】(1)根据频率分布直方图的特征求出a,进而即可求出平均数;(2)先确定40%分位数的位置,再由频率分布直方图求出百分位数,即可下结论;(3)求出总样本平均数,根据方差的定义,即可求出总样本方差.【小问