《高三数学二轮复习 第一部分 重点保分题 题型专题(十二)三角恒等变换与解三角形用书 理-人教版高三数学试题》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高三数学二轮复习 第一部分 重点保分题 题型专题(十二)三角恒等变换与解三角形用书 理-人教版高三数学试题(13页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、题型专题(十二)三角恒等变换与解三角形 师说考点1两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin()sin cos cos sin .(2)cos()cos cos sin sin .(3)tan().2二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin 22sin cos .(2)cos 2cos2sin22cos2112sin2.(3)tan 2.典例(1)(2016全国乙卷)已知是第四象限角,且sin(),则tan_解析由题意知sin,是第四象限角,所以cos0,所以cos .tantan.答案(2)(2016河南六市联考)已知cossin ,则sin的值是_解析由cossin ,可得cos sin
2、 sin ,即sin cos ,sin,sin,sinsin.答案三角恒等变换的“4大策略”(1)常值代换:特别是“1”的代换,1sin2cos2tan 45等;(2)项的分拆与角的配凑:如sin22cos2(sin2cos2)cos2,()等;(3)降次与升次:正用二倍角公式升次,逆用二倍角公式降次;(4)弦、切互化:一般是切化弦 演练冲关1(2016贵阳模拟)已知,sin ,则tan()A B. C. D解析:选C因为,所以cos ,所以tan ,所以tan.2(2016东北四市联考)已知sincos,则cos 2()A1 B1 C. D0解析:选Dsincos,cos sin cos s
3、in ,即sin ()cos ,tan 1,cos 2cos2sin20.师说考点1正弦定理及其变形在ABC中,2R(R为ABC的外接圆半径)变形:a2Rsin A,sin A,abcsin Asin Bsin C等2余弦定理及其变形在ABC中,a2b2c22bccos A.变形:b2c2a22bccos A,cos A.3三角形面积公式SABCabsin Cbcsin Aacsin B.典例(1)(2016全国甲卷)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos A,cos C,a1,则b_.解析因为A,C为ABC的内角,且cos A,cos C,所以sin A,sin C,所以si
4、n Bsin(AC)sin(AC)sin Acos Ccos Asin C.又a1,所以由正弦定理得b.答案(2)(2016全国乙卷)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cos C(acos Bbcos A)c.求C;若c,ABC的面积为,求ABC的周长解由已知及正弦定理得2cos C(sin Acos Bsin Bcos A)sin C,即2cos Csin(AB)sin C,故2sin Ccos Csin C.可得cos C,所以C.由已知得absin C.又C,所以ab6.由已知及余弦定理得a2b22abcos C7,故a2b213,从而(ab)225.所以ABC的周长为
5、5.正、余弦定理的适用条件(1)“已知两角和一边”或“已知两边和其中一边的对角”应采用正弦定理(2)“已知两边和这两边的夹角”或“已知三角形的三边”应采用余弦定理注意应用定理要注意“三统一”,即“统一角、统一函数、统一结构” 演练冲关1(2016郑州模拟)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若,则cos B()A B. C D.解析:选B由正弦定理知1,即tan B,所以B,所以cos Bcos,故选B.2(2016福建质检)在ABC中,B,AB2,D为AB中点,BCD的面积为,则AC等于()A2 B. C. D.解析:选B因为SBCDBDBCsin B1BCsin,所以BC3.
6、由余弦定理得AC249223cos7,所以AC,故选B.3(2016河北三市联考)在ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且asin Bbsin.(1)求A;(2)若ABC的面积Sc2,求sin C的值解:(1)asin Bbsin,由正弦定理得sin Asin,即sin Asin Acos A,化简得tan A,A(0,),A.(2)A,sin A,由Sc2bcsin Abc,得bc,a2b2c22bccos A7c2,则ac,由正弦定理得sin C.师说考点解三角形实际问题的常考类型及解题思路(1)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量全部集中在一个三角形中,可用正弦定理或余弦定理
7、求解;(2)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形,这时需作出这些三角形,先解够条件的三角形,然后逐步求解其他三角形,有时需设出未知量,从几个三角形中列出方程(组),解方程(组)得出所要求的解典例(2016河南六市联考)如图,在一条海防警戒线上的点A,B,C处各有一个水声监测点,B,C两点到A的距离分别为20千米和50千米,某时刻,B收到发自静止目标P的一个声波信号,8秒后A,C同时接收到该声波信号,已知声波在水中的传播速度是1.5千米/秒(1)设A到P的距离为x千米,用x表示B,C到P的距离,并求x的值;(2)求P到海防警戒线AC的距离解(1)依题意,有PAPCx,P
8、Bx1.58x12.在PAB中,AB20,cosPAB,同理,在PAC中,AC50,cosPAC.cosPABcosPAC,解得x31.(2)作PDAC于点D,在ADP中,由cosPAD,得sinPAD,PDPAsinPAD314.故静止目标P到海防警戒线AC的距离为4千米解三角形中实际问题的4个步骤(1)分析题意,准确理解题意,分清已知与所求,尤其要理解题中的有关名词、术语,如坡度、仰角、俯角、方位角等;(2)根据题意画出示意图,并将已知条件在图形中标出;(3)将所求解的问题归结到一个或几个三角形中,通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解;(4)检验解出的结果是否具有实际意义,对结
9、果进行取舍,得出正确答案 演练冲关1(2016武昌区调研)据气象部门预报,在距离某码头正西方向400 km处的热带风暴中心正以20 km/h的速度向东北方向移动,距风暴中心300 km以内的地区为危险区,则该码头处于危险区内的时间为()A9 h B10 h C11 h D12 h解析:选B记码头为点O,热带风暴中心的位置为点A,t小时后热带风暴到达B点位置,在OAB中,OA400,AB20t,OAB45,根据余弦定理得4002400t2220t4003002,即t220t1750,解得105t105,所以所求时间为10510510(h),故选B.2.(2016湖北七市联考)如图,为了估测某塔的
10、高度,在同一水平面的A,B两点处进行测量,在点A处测得塔顶C在西偏北20的方向上,仰角为60;在点B处测得塔顶C在东偏北40的方向上,仰角为30.若A,B两点相距130 m,则塔的高度CD_m.解析:分析题意可知,设CDh,则AD,BDh,在ADB中,ADB1802040120,由余弦定理AB2BD2AD22BDADcos 120,可得13023h22h,解得h10,故塔的高度为10 m.答案:10解三角形与其他知识的交汇解三角形问题一直是近几年高考的重点,主要考查以斜三角形为背景求三角形的基本量、面积或判断三角形的形状,解三角形与平面向量、不等式求最值、三角函数性质、三角恒等变换交汇命题成为
11、高考的热点典例(2016山东高考)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知2(tan Atan B).(1)证明:ab2c;(2)求cos C的最小值解(1)证明:由题意知2,化简得2(sin Acos Bsin Bcos A)sin Asin B,即2sin(AB)sin Asin B.因为ABC,所以sin Asin B2sin C,由正弦定理得ab2c.(2)由(1)知c,所以cos C,当且仅当ab时,等号成立,故cos C的最小值为.(1)本题是三角恒等变换、解三角形与基本不等式的交汇问题(2)解答此类问题的一般思路是利用三角恒等变换对所给条件进行转化,再结合正余弦定理,
12、转化到边的关系,利用基本不等式求解 演练冲关1在ABC中,若sin Csin Asin B0,则ABC的形状为()A等边三角形 B钝角三角形C直角三角形 D等腰直角三角形解析:选A设角A,B,C的对边分别是a,b,c,由,可知P为BC的中点结合题意及正弦定理可得cab0,故c()ab(ac) (cb) 0,而与为不共线向量,所以accb0,故abc.故选A.2(2016河北五校联考)已知锐角ABC中内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a2b 26abcos C,且sin2C2sin Asin B.(1)求角C的值;(2)设函数f(x)cos x(0),且f(x)图象上相邻两最高点间的距离为,
13、求f(A)的取值范围解:(1)因为a2b26abcos C,由余弦定理知a2b2c22 abcos C,所以cos C,又sin2C2sin Asin B,则由正弦定理得c22ab,所以cos C,又因为C(0,),所以C.(2)f(x)cos xsin xcos x,由已知可得,所以2,则f(A),因为C,所以BA,因为0A,0B,所以A,所以02A,所以f(A)的取值范围是(0, 一、选择题1(2016武昌区调研)已知cos(),且为第三象限角,则tan 2的值等于()A. B C. D解析:选C因为cos ,且为第三象限角,所以sin ,tan ,tan 2,故选C.2(2016全国甲卷)若cos,则si