《高三数学二轮复习 第一部分 重点保分题 题型专题(二十)不等式选讲用书 理-人教版高三数学试题》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高三数学二轮复习 第一部分 重点保分题 题型专题(二十)不等式选讲用书 理-人教版高三数学试题(7页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、题型专题(二十)选修45(不等式选讲)师说考点含有绝对值的不等式的解法(1)|f(x)|a(a0)f(x)a或f(x)a;(2)|f(x)|0)af(x)2或k211,k的取值范围是k|k或k或k0.师说考点1含有绝对值的不等式的性质|a|b|ab|a|b|.2算术几何平均不等式定理1:设a,bR,则a2b22ab.当且仅当ab时,等号成立定理2:如果a、b为正数,则,当且仅当ab时,等号成立定理3:如果a、b、c为正数,则,当且仅当abc时,等号成立定理4:(一般形式的算术几何平均不等式)如果a1,a2,an为n个正数,则,当且仅当a1a2an时,等号成立典例(2016贵州模拟)已知函数f(
2、x)2|x1|x2|.(1)求f(x)的最小值m;(2)若a,b,c均为正实数,且满足abcm,求证:3.解(1)当x1时,f(x)2(x1)(x2)3x(3,);当1x2时,f(x)2(x1)(x2)x43,6);当x2时,f(x)2(x1)(x2)3x6,)综上,f(x)的最小值m3.(2)证明:a,b,c均为正实数,且满足abc3,因为(abc)22(abc)(当且仅当abc1时,取“”)所以abc,即3.证明不等式的3种基本方法(1)比较法有作差比较法和作商比较法两种(2)用综合法证明不等式时,主要是运用基本不等式证明,一方面要注意基本不等式成立的条件,另一方面要善于对式子进行恰当的转
3、化、变形(3)如果已知条件与待证明的结论直接联系不明显,可考虑用分析法 演练冲关(2016福建质检)已知函数f(x)|x1|.(1)求不等式f(x)f(a)f(b)解:(1)当x1时,原不等式可化为x12x2,解得x1;当1x时,原不等式可化为x12x2,解得x1,此时原不等式无解;当x时,原不等式可化为x11.综上,Mx|x1(2)证明:因为f(a)f(b)|a1|b1|a1(b1)|ab|,所以,要证f(ab)f(a)f(b),只需证|ab1|ab|,即证|ab1|2|ab|2,即证a2b22ab1a22abb2,即证a2b2a2b210,即证(a21)(b21)0.因为a,bM,所以a2
4、1,b21,所以(a21)(b21)0成立,所以原不等式成立1(2016广西质检)已知函数f(x)ax(a0)在(1,)上的最小值为15,函数g(x)|xa|x1|.(1)求实数a的值;(2)求函数g(x)的最小值解:(1)f(x)axa(x1)a,x1,a0,f(x)3a,即有3a15,解得a5.(2)由于|x5|x1|(x5)(x1)|4,当且仅当5x1时等号成立,g(x)|x5|x1|的最小值为4.2(2016全国甲卷)已知函数f(x),M为不等式f(x)2的解集(1)求M;(2)证明:当a,bM时,|ab|1ab|.解:(1)f(x)当x时,由f(x)2得2x1;当x时,f(x)2恒成
5、立;当x时,由f(x)2得2x2,解得x1.所以f(x)2的解集Mx|1x1(2)证明:由(1)知,当a,bM时,1a1,1b1,从而(ab)2(1ab)2a2b2a2b21(a21)(1b2)0.因此|ab|1ab|.3(2016贵阳模拟)设f(x)|x1|2|x1|的最大值为m.(1)求实数m的值;(2)若a、b、c(0,),且a22b2c2m,求abbc的最大值解:(1)当x1时,f(x)3x2;当1x1时,f(x)13x2;当x1时,f(x)x34.故当x1时,f(x)取得最大值m2.(2)a22b2c2(a2b2)(b2c2)2ab2bc2(abbc)当且仅当abc时,等号成立此时,
6、abbc取得最大值1.4(2016重庆模拟)设a,b,cR且abc1.(1)求证:2abbcca;(2)求证:2.证明:(1)因为1(abc)2a2b2c22ab2bc2ca4ab2bc2cac2,(当且仅当ab时等号成立)所以2abbcca(4ab2bc2cac2).(2)因为,所以()()a()bc2a2b2c2,当且仅当abc时等号成立5(2016郑州质检)已知函数f(x)|x6|mx|(mR)(1)当m3时,求不等式f(x)5的解集;(2)若不等式f(x)7对任意实数x恒成立,求m的取值范围解:(1)当m3时,f(x)5,即为|x6|3x|5,当x3时,得95,所以x3.故不等式f(x
7、)5的解集为x|x1(2)因为|x6|mx|x6mx|m6|,由题意得|m6|7,则7m67,解得13m1,故m的取值范围是13,16(2016西安质检)设函数f(x)|xa|,xR.(1)求证:当a时,不等式ln f(x)1成立;(2)关于x的不等式f(x)a在R上恒成立,求实数a的最大值解:(1)证明:由绝对值不等式的性质,f(x)3,故函数f(x)的最小值为3,从而f(x)3e,所以ln f(x)1成立(2)由绝对值不等式的性质得f(x)|xa|(xa)|,所以f(x)的最小值为,从而a,解得a.因此a的最大值为.7(2016兰州模拟)设函数f(x)|2x1|x2|.(1)解不等式f(x
8、)0;(2)若x0R,使得f(x0)2m20,即|2x1|x2|,即4x24x1x24x4,3x28x30,解得x3,所以不等式f(x)0的解集为.(2)f(x)|2x1|x2|故f(x)的最小值为f.因为x0R,使得f(x0)2m2,解得m,即所求实数m的取值范围为.8(2016石家庄模拟)已知函数f(x)|x|x1|.(1)若f(x)|m1|恒成立,求实数m的最大值M;(2)在(1)成立的条件下,正实数a,b满足a2b2M,证明:ab2ab.解:(1)由绝对值不等式的性质知f(x)|x|x1|xx1|1,f(x)min1,只需|m1|1,解得1m11,0m2,实数m的最大值M2.(2)证明:a2b22ab,且a2b22,ab1,1,当且仅当ab时取等号,又,当且仅当ab时取等号,由得,ab2ab.