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1、2023-2024学年广东省揭阳市高一下学期教学质量测试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知z=(3+i)(2i)，则z的虚部为()A. iB. 1C. 7iD. 72.已知由小到大排列的4个数据1，3，4，a的极差是它们中位数的2倍，则a=()A. 5B. 6C. 7D. 83.设xR，则“x=2”是“cosx=0”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.在平行四边形ABCD中，点E满足AE=13AC，则BE=()A. 23AB13ADB. AB13ADC. 23AB
2、+13ADD. AB+13AD5.已知函数y=x2+(1+m)x+2在区间(,4上单调递减，则实数m的取值范围是()A. (,9B. 3,+)C. (,5D. 7,+)6.中国南北朝时期数学家、天文学家祖冲之、祖暅父子总结了魏晋时期著名数学家刘徽的有关工作，提出“幂势既同，则积不容异”.“幂”是截面积，“势”是几何体的高.详细点说就是，夹在两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.上述原理在中国被称为祖暅原理.如图，一个上底面边长为1，下底面边长为2，高为3 3的正六棱台与一个不规则几何体满足“幂势既同”，则该不规则几何体
3、的体积为()A. 24B. 24 3C. 27 3D. 6327.已知m+em=e，n+3n=e，则()A. 1nmeB. 1mneC. 0nm1D. 0mn2的值域为(1,+)，则实数a的取值范围为14.一个三棱锥形木料PABC，其中底面ABC是A=90，AB=2dm的等腰直角三角形，PA底面ABC，二面角PBCA的大小为45，则三棱锥PABC的外接球表面积为dm2四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)记ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a2+b2ab=c2(1)求C;(2)若sinA=17，求sinB.16.(本
4、小题15分)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，PCD为等边三角形，平面PAC平面PCD，CD=2，AD=3(1)设G，H分别为PB，AC的中点，证明：GH/平面PAD;(2)求直线AD与平面PAC所成角的正切值17.(本小题15分)某校举办“奋进新征程，建功新时代”知识能力测评，共有1000名学生参加，随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成4组：60,70)，70,80)，80,90)，90,100，并整理得到如下频率分布直方图：(1)用分层随机抽样的方法从80,90)，90,100这两个区间共抽取5名学生，则每个区间分别应抽取多少人?(2)在(1)的条件下，该
5、校决定在这5名学生中随机抽取2名依次进行交流分享，求第二个交流分享的学生成绩在区间80,90)的概率;(3)现需根据学生成绩制定评价标准，评定成绩较高的前70%的学生为良好，请根据频率分布直方图估计良好的最低分数线.(精确到1)18.(本小题17分)已知f(x)=x2+1ax+b是定义域上的奇函数，且f(1)=2(1)求f(x)的解析式;(2)判断并用定义证明f(x)在区间(0,+)上的单调性;(3)设函数(x)=x2+1x22tf(x)(t0)，若对任意的x1，x212,1，|(x1)(x2)|154，求实数t的最小值19.(本小题17分)“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出的，该问题是
6、“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当ABC的三个内角均小于23时，使得AOB=BOC=COA=23的点O即为费马点;当ABC有一个内角大于或等于23时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：已知ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sin(A+3)=12(1)求A;(2)设点P为ABC的费马点，若PAPB+PBPC+PCPA=2 33，求b2+c2的最小值;(3)设点P为ABC的费马点，PB+PC=tPA，求实数t的取值范围参考答案1.B2.D3.A4.C5.A6.D7.C8.D9.AC10.BCD11.
7、ABD12.313.(1,+)14.1015.解：(1)由已知得a2+b2c2=ab，由余弦定理a2+b22abcosC=c2，则cosC=a2+b2c22ab=ab2ab=12又C(0,)，则C=3(2)sinA=17sinC，由正弦定理有ac，得AC=3，故cosA= 1sin2A= 1(17)2=4 37因为A+B+C=，所以sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=1712+4 37 32=131416.(I)证明：连接BD，易知ACBD=H，BH=DH，又由BG=PG，故GH/PD，又因为GH平面PAD，PD平面PAD，所以GH/平面PAD(II)证明：取棱PC
8、的中点N，连接DN，依题意，得DNPC，又因为平面PAC平面PCD，平面PAC平面PCD=PC，DN平面PCD所以DN平面PAC，连接AN，可知DAN为直线AD与平面PAC所成的角因为PCD为等边三角形，CD=2且N为PC的中点，所以DN= 3，又DNAN，在RtAND中，因为AD=3，所以NA= AD2DN2= 6，tanDAN=DNNA= 3 6= 22，所以直线AD与平面PAC所成角的正切值为 2217.解：(1)依题意，设区间80,90)中应抽取x人，区间90,100中应抽取y人，得成绩在区间80,90)中的学生人数为0.04510100=45;成绩在区间90,100中的学生人数为0.
9、0310100=30，所以545+30=x45=y30，解得x=3，y=2，所以区间80,90)中应抽取3人，区间90,100中应抽取2人(2)由(1)不妨记区间80,90)中3人为a，b，c，区间90,100中2人为m，n，则从中抽取2名学生(注意分先后)的基本事件为ab，ac，am，an，ba，bc，bm，bn，ca，cb，cm，cn，ma，mb，mc，mn，na，nb，nc，nm，共20个，其中第二个交流分享的学生成绩在区间80,90)(记为事件A)的基本事件为ab，ac，ba，bc，ca，cb，ma，mb，mc，na，nb，nc，共12个，故P(A)=1220=35，即第二个交流分享的
10、学生成绩在区间80,90)的概率为35(3)由频率分布直方图易得，成绩在区间90,100的频率为0.0310=0.3，成绩在区间80,100的频率为0.04510+0.3=0.75，所以成绩良好的最低分数线落在区间80,90)内，不妨记为x0，故(90x0)0.045+0.3=0.7，解得x081.11181，所以估计成绩良好的最低分数线为8118.解(1)：f(x)是奇函数，f(1)=2，f(1)=22a+b=22a+b=2，解得a=1b=0,f(x)=x+1x；(2)函数f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+)上单调递增，证明如下：取x1，x2(0,1)且x1x2，f(x1)f(x2)
11、=(x1+1x1)(x2+1x2)=(x1x2)(x1x21x1x2)，x1，x2(0,1)且x1x2，x1x20，0x1x21，即x1x210，即f(x1)f(x2)，函数f(x)在(0,1)上的单调递减，当x1，x2(1,+)，且x1x2时，f(x1)f(x2)=(x1+1x1)(x2+1x2)=(x1x2)(x1x21x1x2)，x1x21，所以x1x210，所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，所以f(x)在区间(1,+)上单调递增(3)由题意知(x)=x2+1x22t(x+1x)=(x+1x)22t(x+1x)2，令z=x+1x，则y=z22tz2由(2)可知函数z=x
12、+1x在区间12,1上单调递减，所以z2,52.因为函数y=z22tz2图象的对称轴方程为z=t0，所以函数y=z22tz2在区间2,52上单调递增当z=2时，y=z22tz2取得最小值，ymin=4t+2;当z=52时，y=z22tz2取得最大值，ymax=5t+174，所以(x)min=4t+2，(x)max=5t+174又因为对任意的x1，x212,1，|(x1)(x2)|154，所以(x)max(x)min154，即5t+174(4t+2)154，解得32t0，所以t的最小值是3219.解：(1)因为A(0,)，所以A+3(3,43).因为sin(A+3)=12，所以A+3=56，即A=2(2)由(1)知A=2，所以ABC的三个内角都小于23，则由费马点定义可知APB=BPC=APC=23，如图，设|PA|=x，|PB|=y，|PC|=z，由SAPB+SBPC+SAPC=SABC得12xy 32+12yz 32+12xz 32=
