《2023-2024学年广东省揭阳市高一下学期教学质量测试数学试卷(含答案)》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2023-2024学年广东省揭阳市高一下学期教学质量测试数学试卷(含答案)(9页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、2023-2024学年广东省揭阳市高一下学期教学质量测试数学试卷一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知z=(3+i)(2i),则z的虚部为()A. iB. 1C. 7iD. 72.已知由小到大排列的4个数据1,3,4,a的极差是它们中位数的2倍,则a=()A. 5B. 6C. 7D. 83.设xR,则“x=2”是“cosx=0”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.在平行四边形ABCD中,点E满足AE=13AC,则BE=()A. 23AB13ADB. AB13ADC. 23AB
2、+13ADD. AB+13AD5.已知函数y=x2+(1+m)x+2在区间(,4上单调递减,则实数m的取值范围是()A. (,9B. 3,+)C. (,5D. 7,+)6.中国南北朝时期数学家、天文学家祖冲之、祖暅父子总结了魏晋时期著名数学家刘徽的有关工作,提出“幂势既同,则积不容异”.“幂”是截面积,“势”是几何体的高.详细点说就是,夹在两个平行平面之间的两个几何体,被任一平行于这两个平面的平面所截,如果两个截面的面积相等,则这两个几何体的体积相等.上述原理在中国被称为祖暅原理.如图,一个上底面边长为1,下底面边长为2,高为3 3的正六棱台与一个不规则几何体满足“幂势既同”,则该不规则几何体
3、的体积为()A. 24B. 24 3C. 27 3D. 6327.已知m+em=e,n+3n=e,则()A. 1nmeB. 1mneC. 0nm1D. 0mn2的值域为(1,+),则实数a的取值范围为14.一个三棱锥形木料PABC,其中底面ABC是A=90,AB=2dm的等腰直角三角形,PA底面ABC,二面角PBCA的大小为45,则三棱锥PABC的外接球表面积为dm2四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)记ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a2+b2ab=c2(1)求C;(2)若sinA=17,求sinB.16.(本
4、小题15分)如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD为平行四边形,PCD为等边三角形,平面PAC平面PCD,CD=2,AD=3(1)设G,H分别为PB,AC的中点,证明:GH/平面PAD;(2)求直线AD与平面PAC所成角的正切值17.(本小题15分)某校举办“奋进新征程,建功新时代”知识能力测评,共有1000名学生参加,随机抽取了100名学生,记录他们的分数,将数据分成4组:60,70),70,80),80,90),90,100,并整理得到如下频率分布直方图:(1)用分层随机抽样的方法从80,90),90,100这两个区间共抽取5名学生,则每个区间分别应抽取多少人?(2)在(1)的条件下,该
5、校决定在这5名学生中随机抽取2名依次进行交流分享,求第二个交流分享的学生成绩在区间80,90)的概率;(3)现需根据学生成绩制定评价标准,评定成绩较高的前70%的学生为良好,请根据频率分布直方图估计良好的最低分数线.(精确到1)18.(本小题17分)已知f(x)=x2+1ax+b是定义域上的奇函数,且f(1)=2(1)求f(x)的解析式;(2)判断并用定义证明f(x)在区间(0,+)上的单调性;(3)设函数(x)=x2+1x22tf(x)(t0),若对任意的x1,x212,1,|(x1)(x2)|154,求实数t的最小值19.(本小题17分)“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出的,该问题是
6、“在一个三角形内求作一点,使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答,当ABC的三个内角均小于23时,使得AOB=BOC=COA=23的点O即为费马点;当ABC有一个内角大于或等于23时,最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题:已知ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且sin(A+3)=12(1)求A;(2)设点P为ABC的费马点,若PAPB+PBPC+PCPA=2 33,求b2+c2的最小值;(3)设点P为ABC的费马点,PB+PC=tPA,求实数t的取值范围参考答案1.B2.D3.A4.C5.A6.D7.C8.D9.AC10.BCD11.
7、ABD12.313.(1,+)14.1015.解:(1)由已知得a2+b2c2=ab,由余弦定理a2+b22abcosC=c2,则cosC=a2+b2c22ab=ab2ab=12又C(0,),则C=3(2)sinA=17sinC,由正弦定理有ac,得AC=3,故cosA= 1sin2A= 1(17)2=4 37因为A+B+C=,所以sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=1712+4 37 32=131416.(I)证明:连接BD,易知ACBD=H,BH=DH,又由BG=PG,故GH/PD,又因为GH平面PAD,PD平面PAD,所以GH/平面PAD(II)证明:取棱PC
8、的中点N,连接DN,依题意,得DNPC,又因为平面PAC平面PCD,平面PAC平面PCD=PC,DN平面PCD所以DN平面PAC,连接AN,可知DAN为直线AD与平面PAC所成的角因为PCD为等边三角形,CD=2且N为PC的中点,所以DN= 3,又DNAN,在RtAND中,因为AD=3,所以NA= AD2DN2= 6,tanDAN=DNNA= 3 6= 22,所以直线AD与平面PAC所成角的正切值为 2217.解:(1)依题意,设区间80,90)中应抽取x人,区间90,100中应抽取y人,得成绩在区间80,90)中的学生人数为0.04510100=45;成绩在区间90,100中的学生人数为0.
9、0310100=30,所以545+30=x45=y30,解得x=3,y=2,所以区间80,90)中应抽取3人,区间90,100中应抽取2人(2)由(1)不妨记区间80,90)中3人为a,b,c,区间90,100中2人为m,n,则从中抽取2名学生(注意分先后)的基本事件为ab,ac,am,an,ba,bc,bm,bn,ca,cb,cm,cn,ma,mb,mc,mn,na,nb,nc,nm,共20个,其中第二个交流分享的学生成绩在区间80,90)(记为事件A)的基本事件为ab,ac,ba,bc,ca,cb,ma,mb,mc,na,nb,nc,共12个,故P(A)=1220=35,即第二个交流分享的
10、学生成绩在区间80,90)的概率为35(3)由频率分布直方图易得,成绩在区间90,100的频率为0.0310=0.3,成绩在区间80,100的频率为0.04510+0.3=0.75,所以成绩良好的最低分数线落在区间80,90)内,不妨记为x0,故(90x0)0.045+0.3=0.7,解得x081.11181,所以估计成绩良好的最低分数线为8118.解(1):f(x)是奇函数,f(1)=2,f(1)=22a+b=22a+b=2,解得a=1b=0,f(x)=x+1x;(2)函数f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+)上单调递增,证明如下:取x1,x2(0,1)且x1x2,f(x1)f(x2)
11、=(x1+1x1)(x2+1x2)=(x1x2)(x1x21x1x2),x1,x2(0,1)且x1x2,x1x20,0x1x21,即x1x210,即f(x1)f(x2),函数f(x)在(0,1)上的单调递减,当x1,x2(1,+),且x1x2时,f(x1)f(x2)=(x1+1x1)(x2+1x2)=(x1x2)(x1x21x1x2),x1x21,所以x1x210,所以f(x1)f(x2)0,即f(x1)f(x2),所以f(x)在区间(1,+)上单调递增(3)由题意知(x)=x2+1x22t(x+1x)=(x+1x)22t(x+1x)2,令z=x+1x,则y=z22tz2由(2)可知函数z=x
12、+1x在区间12,1上单调递减,所以z2,52.因为函数y=z22tz2图象的对称轴方程为z=t0,所以函数y=z22tz2在区间2,52上单调递增当z=2时,y=z22tz2取得最小值,ymin=4t+2;当z=52时,y=z22tz2取得最大值,ymax=5t+174,所以(x)min=4t+2,(x)max=5t+174又因为对任意的x1,x212,1,|(x1)(x2)|154,所以(x)max(x)min154,即5t+174(4t+2)154,解得32t0,所以t的最小值是3219.解:(1)因为A(0,),所以A+3(3,43).因为sin(A+3)=12,所以A+3=56,即A=2(2)由(1)知A=2,所以ABC的三个内角都小于23,则由费马点定义可知APB=BPC=APC=23,如图,设|PA|=x,|PB|=y,|PC|=z,由SAPB+SBPC+SAPC=SABC得12xy 32+12yz 32+12xz 32=