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1、2023-2024学年福建省福州市六校高二(下)期末数学试卷一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知集合M=x|x23x40,N=x|y=ln(x1),则MN=()A. (1,4)B. 1,4)C. (1,4)D. 1,4)2.已知xR,则“x0”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.若a=( 3)23,b=log3e,c=(1e)13,则()A. cbaB. abcC. cabD. acb4.函数f(x)=x2cosxexex的图象大致为()A. B. C. D. 5.下列说法
2、中正确的是()设随机变量X服从二项分布B(6,12),则P(X=3)=516 已知随机变量X服从正态分布N(2,2)且P(X4)=0.9,则P(0X2)=0.4 2023年7月28日第31届成都大学生运动会在成都隆重开幕,将5名大运会志愿者分配到游泳、乒乓球、篮球和排球4个项目进行志愿者服务,每名志愿者只分配到1个项目,每个项目至少分配1名志愿者,则不同的分配方案共有180种;E(2X+3)=2E(X)+3,D(2X+3)=4D(X)A. B. C. D. 6.设甲袋中有3个红球和4个白球,乙袋中有1个红球和2个白球,现从甲袋中任取1球放入乙袋,再从乙袋中任取2球,记事件A=“从甲袋中任取1球
3、是红球”,事件B=“从乙袋中任取2球全是白球”,则下列说法正确的是()A. P(B)=914B. P(AB)=67C. P(A|B)=15D. 事件A与事件B相互独立7.已知定义域为R的偶函数满足f(2x)=f(x),当0x1时,f(x)=e1x1,则方程f(x)=1|x1|在区间3,5上所有解的和为()A. 8B. 7C. 6D. 58.已知函数f(x)=exex+2sinx,g(x)=2x+2,x0ex1,x0,若关于x的方程f(g(x)m=0有两个不等实根x1,x2,且x12n,则p:nN,n22nB. 若不等式ax2+bx+30的解集为x|1x0,b0,且a+4b=1,则1a+1b的最
4、小值为9D. 函数f(x)=ax1+1(a0且a1)的图象恒过定点(1,1)10.甲,乙,丙,丁,戊五人并排站成一排,下列说法正确的是()A. 如果甲,乙必须相邻且乙在甲的右边,那么不同的排法有24种B. 最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有42种C. 甲乙不相邻的排法种数为82种D. 甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有20种11.已知定义在R上的函数f(x),对任意x,yR有f(x+y)=f(x)+f(y),其中f(1)=12;当x0时,f(x)0,则()A. f(x)为R上的单调递增函数B. f(x)为奇函数C. 若函数f(x)为正比例函数,则函数g(x)=f(x)ex在x
5、=0处取极小值D. 若函数f(x)为正比例函数,则函数(x)=f(x)2sinx1有两个零点三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。12.在二项式(x12 x)7的展开式中x的系数为_13.已知函数y= x的图象与函数y=alnx的图象在公共点处有相同的切线,则公共点坐标为_14.已知函数f(x)=aex+lna+1(a0),若任意实数t1,不等式f(t)ln(t1)恒成立,则实数a的取值范围为_四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知a,b,c分别为ABC内角A,B,C的对边,a(sinB 3cosB)= 3(bc)(1)
6、求角A;(2)若ABC的面积为 3,周长为6,求a16.(本小题15分)某公司为监督检查下属的甲、乙两条生产线所生产产品的质量,分别从甲、乙两条生产线出库的产品中各随机抽取了100件产品,并对所抽取产品进行检验,检验后发现,甲生产线的合格品占八成、优等品占两成,乙生产线的合格品占九成、优等品占一成(合格品与优等品间无包含关系)(1)用分层随机抽样的方法从样品的优等品中抽取6件产品,在这6件产品中随机抽取2件,记这2件产品中来自甲生产线的产品个数有X个,求X的分布列与数学期望;(2)消费者对该公司产品的满意率为34,随机调研5位购买过该产品的消费者,记对该公司产品满意的人数有Y人,求至少有3人满
7、意的概率及Y的数学期望与方差17.(本小题15分)记Sn为等差数列an的前n项和,已知a3=5,S9=81,数列bn满足a1b1+a2b2+a3b3+anbn=(n1)3n+1+3(1)求数列an与数列bn的通项公式;(2)数列cn满足cn=bn,n为奇数1anan+2,n为偶数,求cn前2n项和T2n18.(本小题17分)“绿色出行,低碳环保”的理念已经深入人心,逐渐成为新的时尚.甲、乙、丙三人为响应“绿色出行,低碳环保”号召,他们计划每天选择“共享单车”或“地铁”两种出行方式中的一种.他们之间的出行互不影响,其中,甲每天选择“共享单车”的概率为12,乙每天选择“共享单车”的概率为23,丙在
8、每月第一天选择“共享单车”的概率为34,从第二天起,若前一天选择“共享单车”,后一天继续选择“共享单车”的概率为14,若前一天选择“地铁”,后一天继续选择“地铁”的概率为13,如此往复(1)求3月1日至少有一人选择“共享单车”出行的概率;(2)记甲、乙、丙三人中3月1日选择“共享单车”出行的人数为X,求X的分布、期望与方差;(3)求丙在3月份第n(n=1,2,31)天选择“共享单车”的概率Pn,并帮丙确定在3月份中选择“共享单车”的概率大于“地铁”的概率的天数19.(本小题17分)已知f(x)=exax1,aR,e是自然对数的底数(1)当a=1时,求函数y=f(x)的极值;(2)若关于x的方程
9、f(x)+1=0有两个不等实根,求a的取值范围;(3)当a0时,若满足f(x1)=f(x2)(x1x2),求证:x1+x22lna参考答案1.A2.A3.D4.A5.C6.C7.A8.B9.AC10.ABD11.AB12.351613.(e2,e)14.1e2,+)15.解:(1)因为asinB 3acosB= 3b 3c,所以sinAsinB 3sinAcosB= 3sinB 3sinC= 3sinB 3sin(A+B),又sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,所以sinAsinB+ 3cosAsinB= 3sinB,因为sinB0,所以sinA+ 3cosA= 3,即sin
10、(A+3)= 32,因为A(0,),可得A+3(3,43),所以A+3=23,即A=3;(2)因为SABC=12bcsinA= 34bc= 3,所以bc=4,又因为a+b+c=6,由余弦定理可得a2=b2+c22bccosA=(b+c)23bc=(6a)212,所以a=216.解:(1)由题知,在各随机抽取的100件产品中,甲、乙两条生产线的优等品分别有20件、10件,用分层随机抽样的方法从样品的优等品中抽取6件产品,其中从甲、乙两条生产线的样品中抽取的优等品分别有4件、2件,所以X的所有取值为0,1,2,且P(X=0)=C22Cn2=115P(X=1)=C21CC12=815P(X=2)=C
11、12C62=25,故X的分布列为: X012P11581525所以E(X)=0115+1815+225=43;(2)由题意知,YB(5,34),则P(Y=3)=C5(14)2(34)3=2701024=135512,P(Y=4)=C5114(34)4=4051024,P(Y=5)=(34)5=2431024,故P(Y3)=P(Y=3)+P(Y=4)+P(Y=5)=135512+4051024+2431024=459512,又因为YB(5,34),所以E(Y)=534=154,D(Y)=53414=151617.解:(1)设等差数列an的公差为d,a3=5,S9=81,a1+2d=59a1+98
12、2d=81,a1=1,d=2,an=2n1,a1b1+a2b2+a3b3+anbn=(n1)3n+1+3,a1b1+a2b2+an1bn1=(n2)3n+3(n2),由得anbn=(2n1)3n,bn=3n(n2),当n=1时,a1b1=3,b1=3,满足bn=3n,bn=3n;(2)由(1)得an=2n1,bn=3n,则cn=bn,n为奇数1anan+2,n为偶数=3n,n为奇数1(2n1)(2n+3),n为偶数,T2n=c1+c2+c3+c2n,T2n=(b1+b3+b2n1)+(1a2a4+1a4a6+1a2na2n+2),记T奇=b1+b3+b2n1,则T奇=3(132n)132=32
13、n+138,记T偶=1a2a4+1a4a6+1a2na2n+2,则T偶=12d(1a21a4)+(1a41a6)+(1a2n1a2n+2) =12d(1a21a2n+2)=14(1314n+3),T2n=32n+138+14(1314n+3)=39n8116n+1272418.解:(1)由题意可得3月1日至少有一人选择“共享单车”出行的概率为1(112)(123)(134)=2324;(2)由题意知,X的可能取值为0,1,2,3,则P(X=0)=121314=124,P(X=1)=121314+122314+121334=14,P(X=2)=122314+121334+122334=1124,P(X=3)=12233414,则X的分布列为:X0123P12414112414故E(X)=0124+114+21124+314=2312,D(X)=(02312)2124+(12312)214+(22312)21124+(32312)214=95144;(3)由题意得P1=34,则Pn=14Pn1+23(1Pn1)=512Pn1+23(n=2.3,.31),则Pn817=512(Pn1817)(n=2,3,31),又P1817=19680,故数列Pn817是以1968为首项,以512为公比的等比数列,所以Pn817=1968(512