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1、2023-2024学年四川省乐山市峨眉二中高一(下)期末数学试卷一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。1.若复数z满足iz=68i,则|z|=()A. 8B. 10C. 14D. 252.已知点A(1,1),B(4,2)和向量a=(4,m),若a/AB,则实数m的值为()A. 43B. 34C. 43D. 343.某企业利用随机数表对生产的60个太阳能面板进行抽样测试,先将60个太阳能面板进行编号,01,02,59,60.从中抽取12个样本,如表提供随机数表的第6行至第8行,若从表中第7行第9列开始向右读取数据,则得到的第6个样本编号是
2、() 122343567732211834297864540732524206443835789056422530073286234558890723189608048442125331345786073634899483753256780843678953557722535578324577892345A. 07B. 18C. 23D. 084.如图,正三棱台ABCA1B1C1的下底面边长为12,上底面边长和侧棱长均为6,则棱台的高为()A. 2 63B. 3 3C. 2 6D. 2 35.如图,在圆C中,A,B是圆上不同的两点,若|AB|=6,则ACAB=()A. 12B. 15C. 16
3、D. 186.已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1,O2,过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为4的正方形,则该圆柱的表面积为()A. 6 2B. 6C. 4 2D. 47.在ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,ABC的面积为 32,b=1,A=60,则2b+3c2sinB+3sinC=()A. 4B. 3C. 2D. 18.如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,侧棱长为2,ACBC,AC=BC=1,点D在上底面A1B1C1(包含边界)上运动,则三棱锥DABC外接球半径的取值范围为()A. 1, 62B. 98, 62C. 98,32D. 54,32二、多选题:本题共3小题,
4、共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。9.某校为更好地支持学生的个性化发展,开设了学科拓展类、创新素质类、兴趣爱好类三种类型的校本课程,每位学生从中选择一门课程学习.现对该校4000名学生的选课情况进行了统计,如图,并用分层抽样的方法从中抽取2%的学生对其所选课程进行了满意率调查,如图.下列说法正确的是()A. 抽取的样本容量为4000B. 该校学生中对兴趣爱好类课程满意的人数约为700C. 若抽取的学生中对创新素质类课程满意的人数为24,则a=70D. 该校学生中选择学科拓展类课程的人数为100010.在平面中,设Ox,Oy是平面内相交成角的两条数轴,e1,e2分别是与x轴,y
5、轴正方向同向的单位向量,若向量OP=xe1+ye2,则把有序数对(x,y)叫做向量OP在坐标系xOy中的坐标,记作OP=(x,y).若在坐标系xOy中,e1,e2=23,向量a=(2,1),则下列结论正确的是()A. |a|= 3B. 若b=(x,y),则ab的充要条件为2x+y=0C. 若b=(x,3),且a与b的夹角为锐角,则实数x的取值范围为(0,6)(6,+)D. 若b=(1,2),则a+b与b的夹角为611.如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F,G,H分别是棱A1B1,A1D1,C1D1,CD的中点,P是线段BG上一动点,则下列结论正确的是()A. 平面FGH平面AEFB
6、. 平面EGB将正方体分成的两个部分的体积比为1:3C. D1GB是异面直线BG与AB所成的角D. 三棱锥APEF的体积为定值三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。12.设z的共轭复数是z,若zz=4i,zz=4,则z= _13.已知样本9,10,11,x,y的平均数是10,3x2y=5,则样本的方差为_14.设为两个非零向量a,b的夹角,且=6,已知对任意实数t,|b+ta|的最小值为2,则|b|= _四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知|a|= 2,|b|=1,a与b的夹角为45(1)求b在a方向上的投影向量;(2
7、)求|2a+b|的值16.(本小题15分)如图,在四棱锥PABCD中,四边形ABCD是矩形,平面PAB平面ABCD,E,F分别为BC,AP的中点,且AD=AP=PB= 22AB=2(1)求证:BPDF;(2)求三棱锥PDEF的体积;(3)求直线EF与平面ABCD所成角的正弦值17.(本小题15分)某中学为了解学生每天进行户外锻炼的时长,体育教研组在高一年级随机调查了500位学生,得到如下的样本数据的频率分布直方图(1)求m的值,并估计抽查的学生中每天户外锻炼时长在30min60min的人数;(2)用样本估计总体,估计高一年级学生每天进行户外锻炼的平均时长(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表
8、);(3)求高一年级学生每天进行户外锻炼的时长的上四分位数18.(本小题17分)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,请从下列条件中选择一个条件作答:(注:如果选择多个条件分别作答,则按第一个解答计分) acosB+bsinA2=c b2=2 33SABC+abcosC 2asinA=(2bc)sinB+(2cb)sinC (1)求A的大小;(2)若ABC为锐角三角形,求2c+bb的取值范围19.(本小题17分)如图,在四面体ABCD中,ABC是边长为2的等边三角形,BCD是直角三角形,点D为直角顶点.E,F,G,H分别是线段AB,AC,CD,DB上的动点,且四边形EFGH为平行四
9、边形,设CBD=()求证:BC/平面EFGH;()若二面角ABCD的大小为60,AE=2EB,则为何值时,四边形EFGH的面积最小,并求出最小值;()当平面EFGH平面BCD时,求四面体ABCD体积的最大值参考答案1.B2.C3.D4.C5.D6.B7.C8.B9.BD10.ACD11.ABD12.2i13.414.415.解:(1)|a|= 2,|b|=1,a与b的夹角为45,则b在a方向上的投影向量为ab|a|2a= 21 222a=12a;(2)|a|= 2,|b|=1,a与b的夹角为45,则|2a+b|= (2a+b)2= 4a2+4ab+b2= 8+4 21 22+1= 1316.(
10、1)证明:因为四边形ABCD是矩形,所以DAAB,又因为平面PAB平面ABCD,平面ABCD平面ABP=AB,所以DA平面ABP,所以DABP,因为AP=BP=2,AB=2 2,所以AP2+BP2=AB2,所以BPAP,因为DAAP=A,所以BP平面DAP,因为DF平面DAP,所以BPDF;(2)解:因为四边形ABCD是矩形,所以ADAB,AD/BC,因为AD平面PAD,BC平面PAD,所以BC/平面PAD,所以点E到平面PAD的距离等于点B到平面PAD的距离,由(1)得DA平面ABP,BP平面DAP,而SPDF=12PFAD=1212=1,所以三棱锥PDEF的体积VPDEF=13SPDFBP
11、=1312=23;(3)解:过点F作FMAB于点M,连接ME, 因为平面ABCD平面ABP,平面ABCD平面ABP=AB,所以FM平面ABCD,所以FEM为直线EF与平面ABCD所成角,由已知可得FM= 22,BF= 5,由BEBF得EF= 6,所以在RtFME中,sinFEM=FMBM= 22 6= 36,故直线EF与平面ABCD所成角的正弦值为 3617.解:(1)根据频率分布直方图的性质可得0.04+0.14+10m+0.22+0.20+10m+0.08=1,解得m=0.016,500(0.22+0.20+0.16)=290人,估计每天户外锻炼时长在30min60min的人数为290人(
12、2)由题意知,估计高一年级学生每天进行户外锻炼的平均时长为:50.04+150.14+250.16+350.22+450.20+550.16+650.08=37(min)(3)0.04+0.14+0.16+0.22=0.560.75,高一年级学生每天进行户外锻炼的时长的上四分位数,即75%分位数在40,50之间,设高一年级学生每天进行户外锻炼的时长的75%分位数为x,则0.56+0.020(x40)=0.75,解得x=49.5,高一年级学生每天进行户外锻炼的时长的上四分位数是49.518.解:(1)选:因为acosB+bsinA2=c,由正弦定理得,sinAcosB+sinBsinA2=sin
13、C=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,所以sinBsinA2=cosAsinB,sinB0,可得sinA2=cosA=12sin2A2,解得sinA2=12或sinA2=1(舍去),因为A(0,),A2(0,2),可得A2=6,所以A=3;选:因为b2=2 33S+abcosC=2 3312absinC+abcosC,所以b= 33asinC+acosC,由正弦定理可得sinB= 33sinAsinC+sinAcosC,又sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,所以cosAsinC= 33sinAsinC,因为sinC0,所以tanA= 3,又A(0
14、,),所以A=3;选:结合正弦定理,得2a2=(2bc)b+(2cb)c,即a2=b2+c2bc,又由余弦定理得a2=b2+c22bccosA,所以bc=2bccosA,即cosA=12,又0A,所以A=3;(2)由(1)可得B+C=23,所以C=23B,所以cb=sinCsinB=sin(23B)sinB= 32cosB+12sinBsinB= 321tanB+12,因为ABC为锐角三角形,所以0B2023B26B2,所以1tanB(0, 3),所以 321tanB+12(12,2),即cb的取值范围为(12,2),所以2c+bb=2cb+1(2,5)19.解:()证明:四边形EFGH为平行四边形,EF/GH,EF平面ABC,GH平面ABC,GH/平面A