《2023-2024学年江苏省南京二十九中高一(下)期末数学试卷(含答案)》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2023-2024学年江苏省南京二十九中高一(下)期末数学试卷(含答案)(9页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、2023-2024学年江苏省南京二十九中高一(下)期末数学试卷一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A=xN|2x32,B=1,3,5,7,则图中阴影部分所表示的集合为()A. 0,2,4B. 2,4C. 0,4D. 2,4,52.已知非零向量a,b,则ab是|a+b|=|ab|成立的()条件A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充要D. 既非充分又非必要3.将函数f(x)=sin2x的图象上所有的点向左平移6个单位长度,得到的图象所对应的函数的解析式为()A. y=sin(2x+6)B. y=sin(2x+3)C. y=s
2、in(2x6)D. y=sin(2x3)4.甲在微信群中发布5元“拼手气”红包一个,被乙、丙、丁三人依次抢完若三人均领到整数元,且每人至少领到1元,则乙获得“手气最佳”(即乙领取的钱数不少于丙、丁)的概率是()A. 12B. 13C. 14D. 165.已知tan=2,则sin(2)1sin(22)=()A. 12B. 12C. 2D. 26.如图所示,在ABC中,AN=14NC,P是BN上的一点,若AP=611AB+mAC,则实数m的值为()A. 1011B. 811C. 211D. 1117.已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长是2,点P是棱AD的中点,Q是正方体表面上的一动点,PQA
3、1C,则动点Q的轨迹长度是()A. 3B. 5C. 3 2D. 6 28.已知,(0,4),cos2sin2=17,且3sin=sin(2+),则+的值为()A. 12B. 6C. 4D. 3二、多选题:本题共3小题,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。9.已知事件A、B发生的概率分别为P(A)=13,P(B)=16,则()A. 若P(AB)=19,则事件A与B相互独立B. 若A与B相互独立,则P(AB)=49C. 若A与B互斥,则P(AB)=49D. 若B发生时A一定发生,则P(AB)=1310.已知a0,b0,且a+b=1,则下列不等式成立的是()A. ab14B. 4a+
4、9b25C. a+ b 2D. a2a11.用一个平行于正三棱锥底面的平面去截正三棱锥,我们把底面和截面之间那部分多面体叫做正三棱台.如图,在正三棱台ABCA1B1C1中,已知AB=2AA1=2A1B1=2,则()A. 正三棱台ABCA1B1C1的体积是 23B. 直线BC与平面ABC1所成的角为6C. 点A1到平面ABC1的距离为12D. 正三棱台ABCA1B1C1存在内切球,且内切球半径为 66三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。12.已知样本x1,x2,x3,xn方差s2=2,则样本2x1+1,2x2+1,2x3+1,2xn+1的方差为_13.已知函数f(x)=23|x32|
5、,0x3,sin(6x),3x15,若存在实数x1,x2,x3,x4.满足x1x2x3x4,且f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4),则(x1+x2)(x33)(x43)的取值范围是_14.欧拉(17071783),他是数学史上最多产的数学家之一,他发现并证明了欧拉公式ei=cos+isin,从而建立了三角函数和指数函数的关系,若将其中的取作就得到了欧拉恒等式ei+1=0,它是令人着迷的一个公式,它将数学里最重要的几个量联系起来,两个超越数自然对数的底数e,圆周率,两个单位虚数单位i和自然数单位1,以及被称为人类伟大发现之一的0,数学家评价它是“上帝创造的公式”,请你根据欧拉公式:ei
6、=cos+isin,将复数e3i+ei表示成a+bi(a,bR,i为虚数单位)的形式_;若zn=1,则z=zk(k=0,1,2,n1),这里zk=cos2kn+isin2kn(k=0,1,2,n1),称zk为1的一个n次单位根,简称单位根.类比立方差公式,我们可以获得x51=(x1)(x4+x3+x2+x1+1),复数z=e2i5,则(z2)(z22)(z32)(z42)的值是_四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)在平面直角坐标系中,已知点A(1,4),B(2,3),C(2,m)(1)若三点A,B,C共线,求实数m的值;(2)是否存
7、在实数m,使得AB在AC上的投影向量是113AC?若存在,请求出实数m的值,若不存在请说明理由16.(本小题15分)某高校承办了2024年上海帆船公开赛的志愿志选拔面试工作,现随机抽取了100名候选者的面试成绩并分成五组:第一组45,55),第二组55,65),第三组65,75),第四组75,85),第五组85,95,绘制成如图所示的频率分布直方图,已知第三、四、五组的频率之和为0.7,第一组和第五组的频率相同(1)求a、b的值,并估计这100名候选者面试成绩的平均数;(2)在第四、五两组志愿者中,按比例分层抽样抽取5人,然后再从这5人中选出2人,求选出的两个来自同一组概率17.(本小题15分
8、)如图,已知等腰梯形ABCD中(图1),AD/BC,AB=AD=12BC=2,E是BC的中点,AEBD=M,将BAE沿着AE翻折(图2),使得直线AB与CD不在同一个平面,得到四棱锥B1AECD (1)求直线DC与B1M所成的角的大小;(2)在线段B1C上是否存在点P,使得MP/平面B1AD,若存在,求出B1P:B1C的值;若不存在,请说明理由18.(本小题17分)已知函数f(x)=log2(2x+t)x(1)若f(2)0,求t的取值范围;(2)若f(x)=x有两个不相等的实根x1,x2,且x1x2 (i)求t的取值范围;(ii)证明:f(x1+1)+f(x21)119.(本小题17分)若AB
9、C内一点P满足PAB=PBC=PCA=,则称点P为ABC的布洛卡点,为ABC的布洛卡角.如图,已知ABC中,BC=a,AC=b,AB=c,点P为ABC的布洛卡点,为ABC的布洛卡角(1)若b=c,且满足PBPA= 3,求ABC的大小;若PCPB= 3,求布洛卡角的正切值;(2)若PB平分ABC,试问是否存在常实数t,使得b2=tac,若存在,求出常数t;若不存在,请说明理由参考答案1.A2.C3.B4.A5.A6.D7.D8.D9.AB10.BCD11.BCD12.813.(243,216)14.12+ 32i 3115.解:点A(1,4),B(2,3),C(2,m),则AB=(3,1),AC
10、=(1,m4),(1)三点A,B,C共线,则AB/AC,则1=3(m4),解得m=133;(2)ABAC=3+4m=1m,|AC|2=12+(m4)2,AB在AC上的投影向量是113AC,则ABAC|AC|2AC=113AC,即1m12+(m4)2=113,解得m=1或416.解:(1)因为第三、四、五组的频率之和为0.7,所以(0.045+0.020+a)10=0.7,解得a=0.005,所以前两组的频率之和为10.7=0.3,即(a+b)10=0.3,所以b=0.025;平均数为500.05+600.25+700.45+800.2+900.05=69.5,(2)第四、第五两组志愿者分别有2
11、0人,5人,故按照分层抽样抽得的第四组志愿者人数为4,分别设为a,b,c,d,第五组志愿者人数为1,设为e,这5人中选出2人,所有情况有10种情况,分别为:(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d).(b,e),(c,d),(c,e),(d,e),其中选出的两人来自同一组的有:(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d),共6种情况,故选出的两人来自同一组的概率为610=3517.解:(1)因为AD/BC,E是BC的中点,连接DE,所以AB=AD=BE=12BC=2,故四边形ABED是菱形,从而AEBD,所以BAE沿着AE翻折成B1AE后,
12、AEB1M,AEDM,又因为B1MDM=M,B1M,DM平面B1MD,所以AE平面B1MD,又B1D平面B1B1MD,所以AEB1D,所以直线AE与B1D所成的角的大小为90;(2)存在,理由如下:假设线段B1C上是存在点P,使得MP/平面B1AD,过点P作PQ/CD交B1D于Q,连接MP,AQ,如下图, 所以AM/CD/PQ,所以A,M,P,Q四点共面,又因为MP/平面B1AD,平面AMPQ平面B1AD=AQ,MP平面AMPQ,所以MP/AQ,过A,M,P,Q四点的平面唯一确定,所以四边形AMPQ为平行四边形,故AM=PQ=12CD,所以P为B1C的中点,故在线段B1C上存在点P,使得MP/
13、平面B1AD,且B1P:B1C=1:218.解:(1)由f(2)0可得log2(4+t)20,所以log2(4+t)04+t4,解得4t0)有两个不同的交点, 结合二次函数的性质可知,当m=12时,y=14,故t(14,0);证明:(ii)由(i)可知(2x)22xt=0,所以2x1+2x2=1,2x12x2=2x1+x2=t,且满足t(14,0),02x1122x21,即x11x20,f(x1+1)+f(x21)=log2(2(x1+1)+t)(x1+1)+log2(2(x21)+t)(x21) =log2(22x1+t)(122x2+t)(x1+x2)=log22x12x2+t(22x1+122x2)+t2log2(t) =log2t2+(1322x2)tlog2(t)=log2(322x21t),又(2x2)22x2=t,当1x20时,122x21,根据二次函数的性质可知,22x1+522x2112,所以f(x1+1)+f(x21)=log2(322x21+2x222x2) =log2(22x2+522x21)log212=119.解:(1)若b=c,即AB=AC,得ABC=ACB,点P满足PAB=PBC=PCA=,则PCB=PBA,在PCB与PBA中,PCB=PBA,PAB=PBC=,所以PCBPBA,则