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1、湖北省荆州市公安县第三中学2023-2024学年高一上学期11月月考数学试卷学校:_姓名:_班级:_考号:_一、选择题1设集合,若,则实数a的取值范围是( )A.B.C.D.2设函数在区间的最大值是M,最小值为m,则( )A.0B.2C.1D.33已知,则下列关系式正确的是( )A.B.C.D.4已知区间,则下列是“对任意的,”的必要不充分条件的是( )A.B.C.D.5设集合,则为( )A.B.C.D.6已知是定义在R上的且以2为周期的偶函数,当时,如果直线与曲线恰有两个不同的交点,则实数a的值为( )A.B.或C.0D.或7若实数x,y满足约束条件,则的取值范围为( )A.B.C.D.8已
2、知函数是定义在R上的偶函数,且对任意的,都有,当时,.若函数在内恰有2个不同的零点,则实数k的取值范围是( )A.B.C.D.9已知集合,若实数,满足:对任意的,都有,则称是集合M的“和谐实数对”,则以下集合中,存在“和谐实数对”的是( )A.B.C.D.10定义在R上的函数,若在区间上为增函数,且存在,使得.则下列不等式不一定成立的是( )A.B.C.D.二、多项选择题11下列说法正确的有( )A.若,则的最大值是B.若x,y,z都是正数,且,则的最小值是3C.若,则的最小值是2D.若实数x,y满足,则的最大值是12若函数的定义域为,值域也为,则称为的“保值区间”.下列结论正确的是( )A.
3、函数不存在保值区间B.函数存在保值区间C.若函数存在保值区间,则D.若函数存在保值区间,则三、填空题13设集合,则集合M的非空真子集个数为_.14对一切实数x,令为不大于x的最大整数.例,.若,则实数x的取值范围是_.15二次函数恒有两个零点、,不等式恒成立,则实数l的最大值为_.四、双空题16设实数x、y满足,则的最大值为_,的最小值_.五、解答题17已知集合,集合.(1)若,求;(2)若,求实数a的取值范围.18已知函数为幂函数,且在上单调递增.(1)求m的值,并写出的解析式;(2)令,求的值域.19已知(1)若实数,证明:存在,使得恒成立(2)若对任意,恒成立,求实数a的取值范围.20已
4、知函数.(1)用定义证明函数在区间上单调递增;(2)对任意都有成立,求实数m的取值范围.21第24届冬奥会计划于2022年2月4日在北京召开,随着冬奥会的临近,中国冰雪运动也快速发展,民众参与冰雪运动的热情不断高涨.盛会的举行不仅带动冰雪活动,更推动冰雪产业快速发展.某冰雪产业器材厂商,生产某种产品的年固定成本为200万元,每生产x千件,需另投入成本为万元,其中与x之间的关系为:,通过市场分析,当每千件产品售价为40万元时,该厂年内生产的商品能全部销售完.(1)写出年利润L(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式;(2)年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大?22设函数,a,b
5、,为的导函数.(1)若,求a的值;(2)若,且和的零点均在集合中,求的极小值.参考答案1答案:D解析:或.因为集合,所以.故选:D.2答案:B解析:令,则函数为奇函数,在区间上的最大值与最小值之和为0,即,.故选:B.3答案:A解析:对于A、B:,故A正确,B错误;对于C:当,时,故C错误;对于D:当,时,故D错误;故选:A.4答案:B解析:由“对任意的,”,得,即,则原题等价于探求“”的必要不充分条件,A选项“”为“”的充要条件,故A错误;B选项“”为“”的必要不充分条件,故B正确;C选项“”为“”的既不充分也不必要条件,故C错误;D选项“”为“”的既不充分也不必要条件,故D错误;故选:B.
6、5答案:A解析:因为,所以,故选:A.6答案:D解析:当时,所以,因为是偶函数,所以,即,所以,同理可得,作出函数的图象如图所示:在一个周期上,当时,直线与曲线恰有两个不同的交点;当时,直线与曲线相切,并和曲线在上的图象有一个交点.因为函数的最小正周期为2,所以实数a的值是或(),故选D.7答案:D解析:画出满足条件的平面区域,如图所示,作出直线并平移.易知目标函数在点A处取得最小值,没有最大值.联立,解得.此时,所以的取值范围为.故选:D.8答案:A解析:已知对任意的,都有,当时,且函数是定义在R上的偶函数,所以画出函数的图象,如图所示:若函数在内恰有2个不同的零点,又,已有一个交点,则转化
7、为在内恰有1个零点,即在内恰有1个交点,由图可知,当过点时,当与相切原点时,则此时,当过点时,故实数k的取值范围是.故选A.9答案:C解析:可知,所有满足题意的有序实数对所构成的集合为,将其看作点的集合,为中心在原点,为顶点的正方形及其内部,A,B,D选项分别表示直线,圆,双曲线,与该正方形及其内部无公共点,选项C为抛物线,有公共点,故选C.10答案:D解析:由条件可得函数关于直线对称;在上单调递增,且在时使得;又,所以选项B成立;,比离对称轴远,可得,选项A成立;,可知比离对称轴远,选项C成立;,符号不定,无法比较大小,不一定成立.故选:D.11答案:ABD解析:对于A,因为,所以,所以,所
8、以,当且仅当,即时等号成立,所以的最大值为,故A正确;对于B,因为x,y,z都是正数,且,所以,所以,当且仅当,即,即时等号成立,所以的最小值为3,故B正确;对于C,因为,所,即(当且仅当时等号成立),因为,所以,所以,所以,解得(舍去)或,当且仅当,时等号成立,所以的最小值为4,故C错误;对于D,设,当且仅当,即时,取等号,则的最大值为,故D正确.故选:ABD.12答案:ACD解析:对于A,在和上单调递增,令,得,故不存在保值区间,故A正确,对于B,当时,当时,在单调递减,在单调递增,若存在保值区间,若,令得x无解,若,则,作差后化简得或,不合题意,故不存在保值区间,故B错误,对于C,若存在
9、保值区间,而在上单调递增,故,得,故C正确,对于D,函数在上单调递减,若存在保值区间,则,作差得,得,则原式等价于在上有两解,令,则在上有两解,而在上单调递减,在上单调递增,当时,故,故D正确,故选:ACD.13答案:6解析:因为有3个元素,所以集合M的非空真子集个数为个.故答案为:6.14答案:解析:根据题意可得:,则或,或.故答案为:.15答案:解析:由恒有两个零点,则,令,而,若,当时,有;当时,有;综上,要使恒成立,则,故l的最大值为.故答案为:.16答案:;解析:依题意,则有,解得,当且仅当时取“=”,由解得或,所以当,时,取得最大值;当x、时,当且仅当时取“=”,因此,当且仅当时取
10、“=”,于是得,解得,由解得或,所以当,或,时,取得最小值.故答案为:;.17答案:(1)(2)解析:(1)因为,且,所以,即是方程的根,所以,得,则,所以.(2)因为,所以,对于方程,当即时,满足,当即或时,因为,所以或或,当时,得,当时,无解,当时,无解,综上所述,.18答案:(1),(2)解析:(1)因为为幂函数,且在上单调递增,则,解得,所以,.(2),.当时,在上单调递减,所以,此时;当时,设,可得,此时,综上,的值域为.19答案:(1)证明见解析(2)解析:(1)当时,所以存在,使得恒成立.(2)当时,对任意恒成立.因为,设,则有,又,所以,所以在上单调递增,且有最小值.当时,即,
11、所以在上单调递增且恒成立,即成立;当时,当时,使,则在上单调递减,在上单调递增,所以,不符合题意,所以不成立;综上所述:.20答案:(1)证明见解析(2)解析:(1)任取,且,因为,所以,所以,即.所以在上为单调递增.(2)任意都有成立,即.由(1)知在上为增函数,所以时,.所以实数m的取值范围是.21答案:(1)(2)年产量为72千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大为360万元解析:(1)当,时,;当,时,所以.(2)当,时,对称轴为,所以当时,取得最大值;当,时,当且仅当,即时取等号.所以取得最大值,综上所述,当时,取得最大值即年产量为72千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大为360万元.22答案:(1)(2)解析:(1)因为,所以.因为,所以,解得.(2)因为,所以,从而.令,得或.因为a,b,都在集合中,且,所以,.此时,.令,得或.列表如下:x-31+0-0+极大值极小值所以的极小值为.