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1、考点31 空间几何体的结构及其三视图和直观图、空间几何体的表面积与体积4.(2022新高考卷T4)南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题,其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔148.5 m时,相应水面的面积为140.0 km2;水位为海拔157.5 m时,相应水面的面积为180.0 km2.将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台,则该水库水位从海拔148.5 m上升到157.5 m时,增加的水量约为(72.65)()A.1.0109 m3 B.1.2109 m3 C.1.4109 m3 D.1.6109 m3【命题意图】本题以实际问题为载体考查棱台的体积公式,考查运算求解能力.
2、【解析】选C.依题意可知棱台的高为MN=157.5-148.5=9(m),所以增加的水量即为棱台的体积V.棱台上底面积S=140.0 km2=140106m2,下底面积S=180.0 km2=180106m2,所以V=13h(S+S+SS)=139(140106+180106+1401801012)=3(320+607)106(96+182.65)107=1.4371091.4109(m3).8.(2022新高考卷T8)已知正四棱锥的侧棱长为l,其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36,且3l33,则该正四棱锥体积的取值范围是()A.18,814 B.274,814 C.274,643 D.
3、18,27【命题意图】本题主要考查了正四棱锥的外接球问题,考查了利用导数研究函数的最值.【解析】选C.因为球的体积为36,所以球的半径R=3,设正四棱锥的底面边长为2a,高为h,则l2=2a2+h2,32=2a2+(h-3)2,所以6h=l2,2a2=l2-h2,所以正四棱锥的体积V=13Sh=134a2h=23l2-l436l26=19l4-l636,所以V=194l3-l56=19l324l26,当3l0,当26l33时,V0,所以当l=26时,正四棱锥的体积V取最大值,最大值为643,又l=3时,V=274,l=33时,V=814,所以正四棱锥的体积V的最小值为274,所以该正四棱锥体积
4、的取值范围是274,643.7.(2022新高考卷)已知正三棱台的高为1,上、下底面边长分别为33和43,其顶点都在同一球面上,则该球的表面积为()A.100 B.128 C.144 D.192【命题意图】本题考查球的表面积求解,同时还涉及了正弦定理的运用,考查了运算求解能力,对空间想象能力要求较高.【解析】选A.设正三棱台上、下底面所在圆面的半径分别为r1,r2,所以2r1=33sin60,2r2=43sin60,即r1=3,r2=4,设球心到上、下底面的距离分别为d1,d2,球的半径为R,所以d1=R2-9,d2=R2-16,故|d1-d2|=1或d1+d2=1,即|R2-9-R2-16|
5、=1或R2-9+R2-16=1,解得R2=25符合题意,所以球的表面积为S=4R2=100.4.(2022全国甲卷文科)(同2022全国甲卷理科T4)如图,网格纸上绘制的是一个多面体的三视图,网格小正方形的边长为1,则该多面体的体积为()A.8 B.12 C.16 D.20【命题意图】本题考查多面体的体积的求法,考查多面体的三视图等基础知识,考查运算求解能力.【解析】选B.由三视图还原几何体,如图,则该直四棱柱的体积V=2+4222=12.10.(2022全国甲卷文科)(同2022全国甲卷理科T9)甲、乙两个圆锥的母线长相等,侧面展开图的圆心角之和为2,侧面积分别为S甲和S乙,体积分别为V甲和
6、V乙.若S甲S乙=2,则V甲V乙=()A.5 B.22 C.10 D.5104【命题意图】本题考查圆锥的侧面积和体积求解,考查运算求解能力.【解析】选C.设母线长为l,甲圆锥底面半径为r1,乙圆锥底面半径为r2,则S甲S乙=r1lr2l=r1r2=2,所以r1=2r2,又2r1l+2r2l=2,则r1+r2l=1,所以r1=23l,r2=13l,所以甲圆锥的高h1=l2-49l2=53l,乙圆锥的高h2=l2-19l2=223l,所以V甲V乙=13r12113r222=49l253l19l2223l=10.12.(2022全国乙卷文科T12)(与理科T9相同)已知球O的半径为1,四棱锥的顶点为
7、O,底面的四个顶点均在球O的球面上,则当该四棱锥的体积最大时,其高为()A.13 B.12 C.33 D.22【命题意图】考查球与四棱锥的接切问题、四棱锥的体积、利用基本不等式求最值以及空间想象能力.【解析】选C.设该四棱锥底面为四边形ABCD,四边形ABCD所在小圆半径为r,设四边形ABCD对角线夹角为,则S四边形ABCD=12ACBDsin 12ACBD122r2r=2r2,(当且仅当四边形ABCD为正方形时等号成立)即当四棱锥的顶点O到底面ABCD所在小圆距离一定时,底面ABCD面积最大值为2r2,又r2+h2=1,则VO-ABCD=132r2h=23r2r22223r2+r2+2233
8、=4327,当且仅当r2=2h2,即h=33时等号成立.9.(2022北京高考T9)已知正三棱锥P-ABC的六条棱长均为6,S是ABC及其内部的点构成的集合.设集合T=QS|PQ5,则T表示的区域的面积为()A.34 B. C.2 D.3【命题意图】考查空间立体图形,综合性较强,难度稍大.【解析】选B.若PQ=5,则Q点轨迹为一个圆周,所求即为此圆的面积.设点P在底面上的射影为点O,则由已知得,O为ABC的中心,CO=23,PC=6,所以PO=26,当CO上存在一点Q使得PQ=5,此时QO=1,则动点Q在以QO为半径,O为圆心的圆内,所以面积为.5.(2022浙江高考数学科T5)(4分)某几何
9、体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积(单位:cm3)是()A.22 B.8 C.223 D.163【命题意图】本题主要考查空间几何体的三视图,意在考查学生由空间几何体的三视图还原空间几何体的能力及圆柱、圆台与球的体积公式的应用.【解析】选C.根据所给几何体的三视图,画出该几何体的直观图,如图所示,可知该几何体是由一个半球和一个圆柱及一个圆台组合成的,半球的半径为1,圆柱的底面半径为1,高为2;圆台的上底面半径为1,下底面半径为2,高为2,所以该几何体的体积为V=124313+122+132(12+1222+22)=23+2+143=223.11.(2022新高考卷)如图,四边形A
10、BCD为正方形,ED平面ABCD,FBED,AB=ED=2FB,记三棱锥E-ACD,F-ABC,F-ACE的体积分别为V1,V2,V3,则()A.V3=2V2 B.V3=V1 C.V3=V1+V2 D.2V3=3V1【命题意图】本题主要考查组合体的体积,熟练掌握棱锥的体积公式是解决本题的关键.【解析】选CD.设AB=ED=2FB=2a,因为ED平面ABCD,FBED,则V1=13EDSACD=132a12(2a)2=43a3,V2=13FBSABC=13a12(2a)2=23a3,如图,连接BD交AC于点M,连接EM,FM,易得BDAC,又ED平面ABCD,AC平面ABCD,则EDAC,又EDBD=D,ED,BD平面BDEF,则AC平面BDEF,又BM=DM=12BD=2a,过F作FGDE于点G,易得四边形BDGF为矩形,则FG=BD=22a,EG=a,则EM=(2a)2+(2a)2=6a,FM=a2+(2a)2=3a,EF=a2+(22a)2=3a,EM2+FM2=EF2,则EMFM,SEFM=12EMFM=322a2,AC=22a,则V3=VA-EFM+VC-EFM=13ACSEFM=2a3,则2V3=3V1,V3=3V2,V3=V1+V2,故A,B错误;C,D正确.
