《2022年高考分类题库考点11 导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年高考分类题库考点11 导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例（3页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、考点11 导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例1.(2022全国乙卷理科T16)已知x=x1和x=x2分别是函数f(x)=2ax-ex2(a0且a1)的极小值点和极大值点.若x1x2,则a的取值范围是.【命题意图】考查导数的几何意义,函数的单调性、极值,考查转化思想、分类讨论思想以及分析问题解决问题的能力.【解析】因为x1,x2分别是函数f(x)=2ax-ex2的极小值点和极大值点,所以函数f(x)在(-,x1)和(x2,+)上递减,在(x1,x2)上递增,所以当x(-,x1)(x2,+)时,f(x)0,若a1,当x0,2ex0,与前面矛盾,故a1不符合题意,若0a1,则方程2ln a
2、ax-2ex=0的两个根为x1,x2,即方程ln aax=ex的两个根为x1,x2,即函数y=ln aax与函数y=ex的图象有两个不同的交点,令g(x)=ln aax,则g(x)=ln2aax,0a1,设过原点且与函数y=g(x)的图象相切的直线的切点为(x0,ln aax0),则切线的斜率为g(x0)=ln2aax0,故切线方程为y-ln aax0=ln2aax0(x-x0),则有-ln aax0=-x0ln2aax0,解得x0=1lna,则切线的斜率为ln2aa1lna=eln2a,因为函数y=ln aax与函数y=ex的图象有两个不同的交点,所以eln2ae,解得1eae,又因为0a1
3、,所以1ea0,即f(x)0,所以f(x)在(-1,0)上单调递增,f(x)f(0)=0,故f(x)在(-1,0)上没有零点,不合题意.若-1a0,所以g(x)在(0,+)上单调递增,所以g(x)g(0)=1+a0,即f(x)0,所以f(x)在(0,+)上单调递增,f(x)f(0)=0,故f(x)在(0,+)上没有零点,不合题意;若a0,所以g(x)在(0,+)上单调递增,g(0)=1+a0,所以存在m(0,1),使得g(m)=0,即f(m)=0,当x(0,m),f(x)0,f(x)单调递增,所以,当x(0,m),f(x)0,所以g(x)在(-1,0)上单调递增,g(-1)=1e+2a0,所以
4、存在n(-1,0),使得g(n)=0.当x(-1,n),g(x)0,g(x)单调递增,g(x)g(0)=1+a0,所以存在t(-1,n),使得g(t)=0,即f(t)=0,当x(-1,t),f(x)单调递增,当x(t,0),f(x)单调递减,有x-1,f(x)-,而f(0)=0,所以当x(t,0),f(x)0,所以f(x)在(-1,t)上有唯一零点,(t,0)上无零点,即f(x)在(-1,0)上有唯一零点,所以a-1,符合题意.所以若f(x)在区间(-1,0),(0,+)各恰有一个零点,则a的取值范围为(-,-1).【误区警示】本题的关键是对a的范围进行合理分类,否定和肯定并用,否定只需要说明一边不满足即可,肯定要两方面都说明.
