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1、2024 年天津市十二区重点学校高三毕业班联考（一）年天津市十二区重点学校高三毕业班联考（一）数学试卷数学试卷本试卷分第本试卷分第卷（选择题）和第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试时间分，考试时间 120 分钟。分钟。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场/座位号填涂在答题卡规定位置上座位号填涂在答题卡规定位置上。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将答题卡交回考试结束后，将答题卡交回。祝各位考生考试顺利！祝各位
2、考生考试顺利！第第卷卷注意事项：注意事项：1第第卷每小题选出答案后，用卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；2本卷共本卷共 9 小题，每小题共小题，每小题共 5 分，共分，共 45 分分。参考公式参考公式：如果事件如果事件AB、互斥，那么互斥，那么 P ABP AP B柱体的体积公式柱体的体积公式VSh，其中其中S表示柱体的底面积，表示柱体的底面积，h表示柱体的高表示柱体的高。一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一
3、、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1若复数z满足z 1-i=1+3i，则z（）A1 iB1 iC22iD22i2已知,a bR，则“ba”是“22ab”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件3如图是函数 f x的部分图象，则 f x的解析式可能为（）A sin522xxxfxB cos522xxxf xC cos522xxxfxD sin522xxxfx4 已知函数 1xf xxe，若0.61212,log29afbf，134cf，则,a b c的大小关系为（）AabcBcbaCacbDbca5已知等差数列 na的前n项和为nS，且*
4、4224,21nnSSaanN，则5a（）A6B9C11D146下列说法正确的是（）A一组数据7,8,8,9,11,13,15,17,20,22的第 80 百分位数为 17；B根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到24.712，根据小概率值0.05的独立性检验0.053.841x，可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不大于 0.05；C两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于 0；D若随机变量,满足32，则 32DD7如图是函数 sin0,0,22f xKxK的部分图象，A是图象的一个最高点，D是图象与y轴的交点，,B C是图象与x轴的交点，且0,1,DABC的面积等于2，
5、则下列说法正确的是（）A函数 f x的图象关于点,06对称；B函数 f x的最小正周期为2；C函数 f x的图象可由2sin 2yx的图象向右平移6个单位长度得到；D函数 f x的单调递增区间是,63kkkZ。8祖暅是我国南北朝时期杰出的数学家和天文学家祖冲之的儿子，他提出了一条原理：“幕势既同，则积不容异”。这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高。这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等，利用祖暅原理可以将半球的体积转化为与其同底等高的圆柱和圆锥的体积之差，图 1 是一种“四脚帐篷”的示意图，其中曲线AOC和BOD均是以 2 为半径的半圆，
6、平面AOC和平面BOD均垂直于平面ABCD，用任意平行于帐篷底面ABCD的平面截帐簿，所得截面四边形均为正方形，模仿上述半球的体积计算方法，可以构造一个与帐篷同底等高的正四棱柱，从中挖去一个倒放的同底等高的正四棱锥（如图 2），从而求得该帐篷的体积为（）A83B163C163D3239已知双曲线22122:1(0,0)xyCabab与抛物线22:2(0)Cypx p，抛物线2C的准线过双曲线1C的焦点F，过点F作双曲线1C的一条渐近线的垂线，垂足为点M，延长FM与抛物线2C相交于点N，若34ONOFOM ，则双曲线1C的离心率等于（）A31B512C2D21第第卷卷注意事项：注意事项：1用黑色
7、墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。2本卷共本卷共 11 小题，共小题，共 105 分分。二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分分，试题中包含两个空的，答对一个的给试题中包含两个空的，答对一个的给 3分，全部答对的给分，全部答对的给 5 分分。10已知集合 22,1,0,1,2,0,20UABx xx，则UC AB _。11在713xx的展开式中，1x的系数为_。12 已知圆2214Cxy：与圆222860Cxyxym：外切，此时直线:10l xy 被圆2C所截的弦长为_。13甲和乙两个箱子
8、中各装有 4 个大小相同的小球，其中甲箱中有 2 个红球、2 个白球，乙箱中有 3 个红球、1 个白球，从甲箱中随机抽出 2 个球，在已知抽到白球的条件下，则 2 个球都是白球的概率为_；掷一枚质地均匀的骰子，如果点数大于等于 2，就从甲箱子重随机抽出 1 个球；如果点数大于等于 3，就从乙箱子中随机抽出 1 个球，则抽到红球的概率为_。14在平行四边形ABCD中，E是线段CD的中点，点F满足3AEEF ，若设BAa，BCb，则BF 可用,a b 表示为_；点M是线段AD上一点，且2DMAM，若BMBF，则cos ABC的最大值为_。15己知函数22()21f xaxxax有且仅有 2 个零点
9、，则实数a的取值范围为_。三、解答题：本大题三、解答题：本大题 5 小题，共小题，共 75 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16（本小题满分 14 分）已知ABC的内角,A B C的对边分别为,a b c，且23cos3 cosacBbC。（）求角B的大小；（）若3,2cab，求ABC的面积；（）若2ba，求sin 2AB。17（本小题满分 15 分）如图所示，在三棱柱111ABCABC中，1AA 平面ABC，190,2BACABACAA。D是棱1CC的中点，M为棱BC中点，P是AD的延长线与11AC的延长线的交点。（）求证：1PB 平面
10、1BDA；（）求直线MP与平面1BDA所成角的正弦值；（）求平面1MPB与平面1BDA夹角的余弦值。18（本小题满分 15 分）已知椭圆2222:1(0)xyEabab过点31,2，焦距是短半轴长的2 3倍，（）求椭圆E的方程；（）点,A B P是椭圆E上的三个不同点，线段AB交x轴于点(Q Q异于坐标原点)O，且总有AQP的面积与BQP的面积相等，直线,PA PB分别交x轴于点,M N两点，求OMON的值。19（本小题满分 15 分）若某类数列 na满足“12,2nnana，且0na”*nN，则称这个数列 na为“G型数列”。（）若数列 na满足21113,3nnnaa a，求23,a a的
11、值并证明：数列 na是“G型数列”；（）若数列 na的各项均为正整数，且 11,naa为“G型数列”，记1nnba，数列 nb为等比数列，公比q为正整数，当 nb不是“G型数列”时，（i）求数列 na的通项公式；（ii）求证：*1115,12nkkknNa a。20（本小题满分 16 分）意大利画家达芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么?这就是著名的“悬链线问题”，通过适当建立坐标系，悬链线可为双曲余弦函数 2xxeech x的图象，定义双曲正弦函数 2xxeesh x，类比三角函数的性质可得双曲正弦函数和双曲余弦函数有如下性质平方关系：221chx
12、shx，倍元关系：sh 22shchxxx。（）求曲线 ch x在2x 处的切线斜率；（）若对任意0 x，都有 1 shch2sin2cosxaxxxxax恒成立，求实数a的取值范围：（）（i）证明：当0 x 时，sh xx；（ii）证明：*2221432111tan121tantantan23shshshshnnnnNnn。2024 年天津市十二区重点学校高三毕业班联考（一）年天津市十二区重点学校高三毕业班联考（一）数学参考答案数学参考答案一、选择题：每小题一、选择题：每小题 5 分，满分分，满分 45 分分题号123456789答案BADCBBDDC二、填空题：每小题二、填空题：每小题 5
13、 分，共分，共 30 分分（两空中对一个得（两空中对一个得 3 分，对两个得分，对两个得 5 分）分）10111189122 7131 2;5 314144;33313ab15 22 3,22,22 3 三、解答题：本大题三、解答题：本大题 5 小题，共小题，共 75 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16（本小题满分 14 分）解析：（）由正弦定理得：2sin3sincos3sin cosACBBC，1 分2sin cos3sin cos3sin cos3sin3sinABCBBCBCA，显然sin0A则3cos2B，3 分又0,B，故6B；4
14、 分（）,36Bc，由余弦定理可得2233cos223abBa ，整理可得2233aba，5 分又2ab，解得1ab，6 分1113sin13;2224ABCSacB 8 分（）由正弦定理得：sin2sinBA，则1sin22sin422BA，9 分2ba，即ba，则BA，故A为锐角，22214cos1 sin144AA，10 分2147sin22sin cos2444AAA，11 分22143cos22cos12144AA ，12 分7331213sin 2sin2 coscos2 sin.6642428ABAA14 分17（本小题满分 15 分）解析（）【方法 1】在三棱柱111ABCAB
15、C中，连接11ABABE，连接DE，由1,ACC P D是棱1CC的中点，得D是AP的中点，由11ABB A为平行四边形，得E为线段1AB中点，于是1DEPB，而DE 平面11,BDA PB 平面1BDA，所以1PB 平面1BDA。【方法 2】在三棱柱111ABCABC中，1A A 平面ABC，90BAC，则直线11111,AB AC A A两两垂直，以点1A为原点，直线11111,AB AC A A分别为,x y z轴建立空间直角坐标系，由12ABACAA，得110,0,0,2,0,0,2,0,2,0,2,1,0,0,2ABBDA，0,2,2,1,1,2,0,4,0CMP2 分设平面1BDA
16、的法向量,nx y z，则112,0,2,0,2,1ABAD 则1122020n ABxzm ADyz，令1y，得2,1,2n，4 分12,4,0PB 因为12 2400PB n ，所以1PBn又因为1PB 平面1BDA，所以1PB 平面1BDA（）由（）平面1BDA的法向量2,1,2n，又1,3,2MP ，则2345 14|cos,43214MP nMP nMP n 9 分所以直线MP与平面1BDA所成角的正弦值为5 144210 分（）设平面1MPB的一个法向量11,1,1,1,2,4,0mx y zB MB P ，则1120240m B Mxyzm B Pxy 令1z，的4,2,1m 设平面1MPB与平面1BDA夹角为，则8228 21coscos|6321 3m nm nm n ，13 分所以平面1MPB与平面1BDA夹角的余弦值8 216315 分18（本小题满分 15 分）解（）：设制圆的半焦距c，由题意知22222131422 3abcbabc，解得2241ab，椭圆的方程2214xy5 分（）分析得,A B两点关于x轴对称，由题意直线PA斜率k存在且不为 0，并且纵截距
