《线性代数性质公式整理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性代数性质公式整理（20页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、word# / 19线性代数第一章行列式n个元素的乘积、相关概念a11a12 *altla2l-* B I I4 4 9aiinn阶行列式是所有取自不同行不同列的的代数和，这里抑纱是1, 2，n的一个排列。当WO?是偶排列时，该项的前面带正号；当闭广供是奇排列时，该项的前面带负号，即V这里1表示对所有n阶排列求和。式(1.1)称为n阶行列式的完全展开式。个排列中，如果一个大的数排列在小的数之前，就称这两个数构成一个逆序。一个排列的逆序总是称为这个排列的逆序数。用WLb心表示排列川叮卯的逆序数。如果一个排列的逆序数是偶数，如此称这个排列为偶排列，否如此称为奇排列。|all a12321a?2 业
2、3a31 a3Z a33=临西33 + 122331 +商嗣21制睨町够2翼31 一尅弹时巧？ 一引代阳期2在n阶行列式皐皐二梟中划去弘所在的第i行，第j列的元素，剩下的元素按word原来的位置排法构成的一个引1aU-lalj +1r * d * bal-lJ * ai-lJ-lak- Li 4-1引-l.tin-1阶的行列式+ 1,10* P *ai + l.j-1ai+ 1J +1十 * * F称an 1anj-1dTi,i+1白nn为可啲余子式，记为Mij；称|：-1）心恥口为呦的代数余子式，记为Aii,即為由矩阵A的行列式|A|所有的代数余子式所构成的形如AnA2i_bi, AulA2
3、2I- R AmA加Anl，称为A的伴随矩阵，记作。、行列式的性质1经过转置行列式的值不变，即匚1泪t行列式行的性质与列的性质是对等的。2两行互换位置，行列式的值变号。特别地，两行一样（或两行成比例），行列式的值为0.3某行如有公因子k,如此可把k提出行列式记号外。4.如果行列式某行（或列）是两个元素之和，如此可把行列式拆成两个行列式之和:Cl日2 Hlr hgC：a3 + h：$ C3al az a3Cl c2 C3hidi心山山did2 d35.把某行的k倍加到另一行，行列式的值不变:1爲2日3詞2巧h 】b2 Ci c2 c3bi + kaCib2 + ka2 Kj + kaj5口行列式
4、 任一行元素 与 另一行元素的代数余子式乘积之和为0三、行列式展开公式n阶行列式的值等于它的任何一行（列）元素，与其对应的代数余子式乘积之和，即人=aA，+皿+為九产皿|A|按：行展开的展开式|A| =仙+讣+命产昇卢曲 |A|按j列展开的展开式四、行列式的公式1上（下）三角形行列式的值等于主对角线元素的乘积;副对角线的n阶行列式的值:如果A和B分别是m阶和n阶矩阵，如此IBIAI-o BA *-* BA 05抽象n阶方阵行列式公式（矩阵）假如A、B都是n阶矩阵，A 是a的伴随矩阵，假如 A可逆，人（I = 1忆血 是的特征值：假如,如此lAl = 101，且特征值一样|AT| = |A|；M
5、l = k|A|；|AB|=|A|B|；*1=1叶；|AB|A|+ iBl般情况下:五、行列式的计算将行列式化为上下三角，再按行或列展开；化简技巧：将每列（行）都加到同一列（行），或者将每列（行）ki倍都加到同一列（行）。 逐行（或逐列）相加 利用X德蒙公式或特殊的拉普拉斯展开式数学归纳法一一验证 n=1时命题正确；假设 n=k时命题正确；证明 n=k+1时，命题正确。 验证n=1和n=2时命题都正确，假设nk命题正确，证明n=k，命题正确。3 / 19 对于n阶的三对角行列式，通常可用数学归纳法。2抽象型行列式 一一通常与矩阵一起考，利用行列式的性质（倍加、提公因数 k、拆项）等来恒等变形；
6、也可能利用矩阵的运算、公式、法如此、特征值、相似。利用单位矩阵卜恒等变形来计算|A+B|形式的行列式。3行列式|A|是否为0的判定假如A=FX5是n阶矩阵，那么行列式|A|=0 矩阵A不可逆鬥秩r（A）nF!Ax=0有非零解A 0是矩阵A的特征值UA的列（行）向量线性相关。因此，判断行列式是否为 0，常用：秩；齐次方程组是否有非零解；看特征值是否为0;反证法；假如|A|=k|A| ，且心1时也能得出|A|=0 按定义直接计算求和; 用行列式的按行或列展开的公式。由于刘的值与的值没有关系，故可以构造一个新的行列式|B|，通过求新行列式的代数余子式间接求出原行列式的代数余子式。P205例20 利用
7、行列式任一行元素与另一行元素的代数余子式乘积之和为0的性质 根据伴随矩阵 的定义，通过求；再来求和。第二章矩阵、矩阵的概念与运算矩阵mx n个数排成如下m行n列的一个表格mx n矩IUIIword阵，当m=n时，矩阵A称为n阶矩阵或n阶方阵。如果一个矩阵所有元素都是0,如此称为零矩阵，记作0。两个矩阵卜祁m，B =，如果m=s，n=t，如此称A与B是同型矩阵两个同型矩阵如果对应的元素都相等，如此称矩阵 矩阵A是一个表格，而行列式|A|是一个数。、矩阵的运算A与B相等，记作A=B。1.（加法）设A、B是同型矩阵，如此A+B =唧皿 xn+bijJmxii=刖 + bijiiL x n3.（乘法）
8、假如A为mx s矩阵，B为sx n矩阵，如此 A、B可乘，且乘积 AB是一个m x n 矩阵。记成 一 AE二Kijlm x ii,其中 驹=工：=严血二刚by +诲為| 询曲将矩阵A的行列互换得到矩阵 A的转置矩阵 匡三、矩阵的运算规如此ABC为同型矩阵，如此kCA + H) = kA + kB1A 三也；OA 二 0ABC 满足可乘条件 圧，匚 1. I 1:注意一般情况下主恥応不能惓出A =二0辽R且不能惟出A = E000ti-j l?20nAB =0辺0-0b?000.00a3.00b*.0Cl町b古对角矩阵(A += At +对角矩阵的逆矩阵(AR)t =Ht7 (Ar)T = A
9、皆n ；述丁 m尺卩.；-:- -：f 厂;|A*|-|AP(A*)* =|A|i1-2A (n2) (Aky=Akl AKA = AkfJ注意 (AB)k 二(AB)(AB)-*(AB)主 AkBk(A + R 产= A2 +AB + BA+B2*A2 + 2AB + B?(A 4- B)(A B) = A2 AE + BA E2 A2 - B27特殊方阵的幕(求)一一 假如秩人)=1.则八可以分解力两个矩阵的乘加：討=IA，从而胪二尸丑例如 P218特殊的二项式展开 口解分块矩阵 特征值、特征向量、相似 简单试乘后如有规律可循，再用归纳法。四、特殊矩阵设A是n阶矩阵: 单位阵：主对角元素为
10、 1，其余元素为o，记成I | 数量阵：数k与单位矩阵E的积kE称为数量矩阵。 对角阵：非对角元素都是 o的矩阵称为对角阵，记成 上（下）三角阵：当i 页/）时，有判=的矩阵称为上（下）三角阵。 对称阵：满足，即卜迂一 反对称阵：满足 戸，即址二剤，的对称阵称为反对称阵。 正交阵：人丁人二AAT二E的矩阵称为正交阵，即M二人1 初等矩阵：单位矩阵经过一次初等变换所得到的矩阵。 伴随矩阵：见（一.1.6）於=1川丛五、可逆矩阵:假如A可逆如此A的逆矩阵唯一且|A|不为0。行列式不为0如此矩阵可逆。设A是n阶方阵如果存在 n阶矩阵B使得.山 丁 L成立，如此称A是可逆矩阵或非奇异矩阵，B是A的逆矩
11、阵，记成卜存在n阶矩阵B使得AB=E ，或秩r（A）=n，或A的列（行）向量线性无关 齐次方程组Ax=0只有零解矩阵A的特征值不全为0假如假如A，B可逆，如此；特别地（护严心）假如可逆，如此（岸）（A） -= A ； I A 1|=面注意，即使 A,B,A+B都可逆，一般地厂：宀 二 初等变换（）空邑貧也代 用定义求B,使得AB=E或BA=E如此A可逆且 1二目分块矩阵，设 B,C都可逆，如此IS 31H 10.0 c_l；0 B C 0_1 I 0 c J|=Ib1 0 六、初等变换、初等矩阵1主要结论：用初等矩阵P左乘A,所得PA矩阵就是矩阵 A做了一次和矩阵 P同样的行变 换；假如是右乘
12、就是相应的列变换。设A是 矩阵，（倍乘）用某个非零常数 工飞扌刀解穴的某行（列）的每个元素，（互换） 互换A的某两行（列），（倍加）将A的某行（列）元素的k倍加到另一行（列）。称为初等变换。由E经过一次初等变换所得的矩阵1 0 0倍乘初等矩阵乳h D 1J010卜;12 二 100互换初等矩阵h0iJ110 0倍加初等矩阵 2 Ik 0 1J二 Er 0 矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B,如此称A与B等价，记成A-Bo假如a如此后者称为A的等价标准形。（A的等价标准型是与 A等价的所有矩阵中的最简矩阵。） 初等矩阵的转置仍然是初等矩阵; 初等矩阵均是可逆矩阵且其逆矩阵仍是同一类型的初等矩阵E
13、 Tfk)二 (；)E 彳=EjjEi (to = Hjj( - k)# / 19wordPi 左行右列 当A时可逆矩阵时，如此A可作一系列初等行变换成单位矩阵，即存在初等矩阵卩2, , PH,使得 Pn-R!PiA = E七、矩阵的秩:经过初等变换矩阵的秩不变；如果A可逆，如此 厂-如此设A是mx n矩阵，假如A中存在r阶子式不等于0，且所有r+1阶子式均为0, 称矩阵A的秩为r,记成r(A)，零矩阵的秩规定为 0。矩阵A中非零子式的最高阶数是 ra A中每一个r阶子式全为0A中有r阶子式不为0特别地，r(2=0iA = q ；假如A是n阶矩阵，|r(A)-可逆口1|八1 = 0*-*A 不可逆假如A是m x n矩阵，如此v A)=诃).r(ATA)= r(A)r(A + R) r(A) + r(B)假如A可逆，如此r (BA) - r (
