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1、微分中值定理中用积分因子(微分方程)来构造辅助函数的方法相信同学们在微分中值定理这一块内容不是很懂，特别是构造辅助函 数这一部分相当困难。本人今天有幸在书上看到一个方法叫做用积分 因子(微分方程)来构造函数的方法，个人感觉这方法特别有用。于 是我百度找到了下面内容：先看这一题，已知f(x)连续，且f(a)=f(b)=0,求证在(a, b)中存在使 f(e )=f( e )证明过程：f( e )=f( e ),所以 f(x)=f(x),让 f(x)=y,所以dy = y，即丄dy = dx，所以对两边简单积分，即J 1dy Jldx，所以 dx yy解出来(真的是不定积分的话后面还要加个常数C，
2、但这只是我的经验方法，所以不加)就是ln y = x，也就是y二ex，这里就到了最关键的一步，要使等式一边为1，所以把ex除下来，就是2 = 1，所以左 ex边就是构造函数，也就是y -e-x，而y就是f(x)，所以构造函数就是f (x)e-x，你用罗尔定理带进去看是不是。再给大家举几个例子。二、已知f(x)连续，且f(a)=f(b)=0,求证： 在(a，b)中存在 e 使 f( e )+2 e f( e )=0证：一样的，dy = -2xy，把x,y移到两边，就是1 dy = -2xdx，所以积 dxy分出来就是lny二-x2，注意y 定要单独出来，不能带In，所以就是 y = e-x2，移
3、出1就是yex2 = 1,所以构造函数就是f(x)ex2，再用罗尔定理 就出来了。三、已知f(x)连续，且f(a)=f(-a),求证在(-a, a)中存在使f ) +2f( )=0.证：dy x + 2y = 0，移项就是1dy = -21 dx，所以lny = -21nx，所以就是 dxyxy =丄，移项就是y - x2 = 1， x 2所以构造的函数就是f (x) x 2，再用罗尔定理就可以了。注：这种方法不是万能的,下面介绍些常见表达式中的原函数二(1) 要证 / (9() + 7(9( 9=0 即证/GM)； 0：所以可令 F(X) =(2) 要证/ (勺么 )-/()?()二 0,(
4、 X)M 叭即证 /(勺巩包怎/二Q即证怡二十0,所以可 令F(x)=华吕(3) 要证/(q十/()/()= a即证声囚|/(勾+ /()$()= 4即证0审(需)匚八二所以可令FO) =结合下面例题尝试做下。微分中值定理的证明题1 右f (x)在a,b上连续，在(a,b)上可导,f (a) = f (b) = 0，证明: gw R，玉 w (a, b)使得：广(g ) + 九 f (g) = 0。证 构造函数F(x) = f (x)ex，则F(x)在a,b上连续，在(a,b)内可导, 且F(a) = F(b) = 0，由罗尔中值定理知:mgw(a,b)，使F(g) = 0即：f (g ) +
5、 九f (g )eg = 0，而 e九gH 0，故 f (g) + 九f (g) = 0。经典题型二:思路分析:例 3 设 n0,证明:x, ev2 -兀2小二(1 - e ( x( -X2)式中二在加if?之间分析:要证的等式是同定点以及中间值的表达 式，作变形，使厂，比与分离档再生成改变量的商勒选用中值 定理证明-具体步骤为：(1)与勺，巧分离心宀占二：心-心(2)产生改变量的商x2兀1/ 1八!二(1 - 勺 X 7X |(3)作辅助函数令/ (% ) = , g( x)=只需在X,比上用柯西定理即可0 实战分析：丄丄丄证：将上等式变形得：存-a汇二(i-g )e g g - a作辅助函
6、数f (x)二xe：，则f (x)在丄，丄上连续，在(丄，丄)内可导,b ab a由拉格朗日定理得：1丄)bag w(a,b)。f (丄)-f (丄)111八 Jba1 b 1丄eb ea1 丄即 b a = (1- be g 1 1g ba即：aeb -bee 二(1-g )eg (a,b)经典题型三设f (x)在(0,1)内有二阶导数，且f (1) = 0，有F(x)二x2f (：)证明：在(0,1)内 至少存在一点g，使得：F(g ) = 0。证：显然F ( x )在0,1上连续，在(0,1)内可导，又F(0) = F=0，故由罗 尔定理知：3x w (0,1)，使得F(x )二000又 F(x)二 2 xf (x) + x2f(x)，故 F(0) = 0， 于是 F(x)在0，x 上满足罗尔0定理条件，故存在gw (0, x )，使得：F(g ) = 0，而gw (0, x ) u (0,1)，即证00
