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1、 aE bAr(aE bA) (aE bA)x= a一bn有非零解向量组等价 矩阵等价（） 矩阵相似（：）具有 反身性、对称性、传递性矩阵合同（；）v关于e,e2,概念、性质、定理、公式必须清楚，解法必须熟练，计算必须准确A可逆r（A） nA的列（行）向量线性无关A的特征值全不为0Ax 只有零解x ，AxRn,Ax 总有唯一解ATA是正定矩阵A EA p1 p2 Ps 口是初等阵存在n阶矩阵B,使得AB E或AB E建：全体n维实向量构成的集合 Rn叫做n维向量空间A不可逆 r（A） nA的列（行）向量线性相关0是A的特征值0的特征向量Ax 有非零解,其基础解系即为A关于称为？n的标准基，？
2、n中的自然基，单位坐标向量P教材87 ；e,e2, ,en线性无关; e，d, ,en 1 ； trE= n ；任意一个n维向量都可以用e1,e2, , q线性表示V行列式的计算:行列式按行a11a12La21a22LMMan1an2La1 nanna2nM行列式的定义 Dn（）（叩2 Jn）a! j1a2j2 L anjn jL jn（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零A OAO BO BO AAB OB O若A与B都是方阵（不必同阶），则A B（拉普拉斯展开式）上三角
3、、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积ai nOdna2n 1a2n 1NNan1Oan1O关于副对角线:n （n 1）1）qna2nK an1 （即:所有取自不同行不同列的n个元素的乘积的代数和）范德蒙德行列式:矩阵的定义由m伴随矩阵 AX12X1Mn 1X1X22X2Mn 1X2Xn2XnMn 1XnXja11a12a1nn个数排成的m行n列的表a21Mam1AjA1A2MA21A22MAn1An2MAnA2nV逆矩阵的求法：A1（AIE）初等行变换1（EMA ）a22Mam2a2nMamn称为m n矩阵.记作：Aaij或Am nm nAj为A中各个元素的代数余子式ad be c
4、a主L换位 副L变号iiia311a1a21a31不1aia2a3V方阵的幕的性质：AmAn Am n(Am)n (A)mnV 设 Am n Bn sA的列向量为1 72?7n , B的列向量为1 ,2 , s ,bnb12Lbisb21b22Lb2s则 ABCm s1 2 j nCl C2 ,L CsA i Cj , (i 1,2,L ,s)i为MMMbn1bn2LbnsAx Cj的解A1 j2 sA 1, A 2,A sC1，C2，L ，CsC1,C2,L ,Cs 可由 1, 2,n线性表示.即：C的列向量能由A的列向量线性表示， B为系数矩阵V用对角矩阵的对角线上的各元素依次乘此矩阵的（
5、行行向量;用对角矩阵（右右乘一个矩阵,相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的a11a12Lai n1qa11 1a122 La1n 2q即：a21a22La2n2C2a21 1a222 La2n 2C2MMMMMLLL3n13n2LamnnCmam1 13m22 Lamn 2Cm同理:C的行向量能由B的行向量线性表示,At为系数矩阵V两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘V矩阵方程的解法（ABTatctCDbtdtA1A1BB1AC1A1A 1CB 1OBOBA1Bn,BA22B22A*BAB*ABV分块矩阵的转置矩阵:分块矩阵的逆矩阵：分块对角阵相乘：A分块对角阵的伴随矩阵:0）
6、:设法化成AX BAB或(II)A11 1A OA 1 O1 1C BB 1CA 1 BAn B11,AnA22 B22A *( 1)mn A BB( 1)mn B AXA B(I)的解法：构造(AMB)初等行变换(EMX)(II)的解法：将等式两边转置化为atxtbt，用(I)的方法求出XT，再转置得X零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关部分相关，整体必相关；整体无关，部分必无关 (向量个数变动)(向量维数变动)原向量组无关，接长向量组无关；接长向量组相关，原向量组相关.两个向量线性相关对应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关P教
7、材114 -向量组1, 2,n中任一向量i (1 i w n)都是此向量组的线性组合向量组n线性相关向量组中至少有一个向量可由其余n1个向量线性表示向量组m维列向量组m维列向量组n线性无关向量组中每一个向量 i都不能由其余2， n线性相关2， n线性无关n线性无关，而矩阵的行向量组的秩列向量组的秩r(A) n ；r(A) n.线性相关，则可由n 1个向量线性表示.2，n线性表示，且表示法唯一 矩阵的秩.行阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数行阶梯形矩阵 可画出一条阶梯线，线的下方全为 0 ；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数,阶梯线的竖线后面的第一个元素非零当非零行的第一个非零元为1,且这
8、些非零元所在列的其他元素都是0时,称为行最简形矩阵? 矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩，且不改变列向量间的线性关系;矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩，且不改变行向量间的线性关系即：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩V矩阵的初等变换和初等矩阵的关系：对A施行一次初等(行行变换得到的矩阵，等于用相应的初等矩阵 乘A；对A施行一次初等0列变换得到的矩阵，等于用相应的初等矩阵 乘A.矩阵的秩如果矩阵A存在不为零的r阶子式，且任意r 1阶子式均为零，则称矩阵 A的秩为r.记作r(A) r向量组的秩向量组2,L , n的极大无关组所含向量的个数，称为这个向量组的秩.记作 r( 1,2,L , n)矩阵等价 A经过有
9、限次初等变换化为B.记作：A%B向量组等价1,2, n 和n可以相互线性表示.记作:? 矩阵A与B等价 PAQP,Q 可逆 r(A)r(B), A,B为同型矩阵A,B作为向量组等价，即:秩相等的向量组不一定等价.矩阵A与B作为向量组等价r( 1, 2,n) r(n) r( 1,2,矩阵A与B等价.? 向量组2,s可由向量组n线性表示AXB有解r(n)= r(r( 1, 2,s) w r(? 向量组1,2,s可由向量组n线性表示,且s n，则s线性相关.向量组2,s线性无关，且可由2, n线性表示,则s w? 向量组1,2,s可由向量组n线性表示，且r(s)r(1, 2, n),则两向量组等价;
10、P教材94,例10? 任一向量组和它的极大无关组等价.向量组的任意两个极大无关组等价? 向量组的极大无关组不唯一，但极大无关组所含向量个数唯一确定若两个线性无关的向量组等价,则它们包含的向量个数相等设A是m n矩阵,若r(A)A的行向量线性无关;若 r(A)A的列向量线性无关，即:n线性无关.V矩阵的秩的性质:r(A)若 A O r(A)0 w r(Am n) w min( m,n) r(A)r(AT) r(ATA)P教材101,例15 r(kA)r(A)若 k 0若 Amn,Bns,若(AB) 0r(A) r(B) nB的列向量全部是Ax r(AB) w min r(A),r(B)-若 A可
11、逆r(AB) r(B)若 B 可逆r(AB) r(A)即：可逆矩阵不影响矩阵的秩若 r(Am n) nAB O B OAB AC B CAx 只有零解r(AB) r(B)A在矩阵乘法中有左消去律若 r(Bn s) nr(AB) r(B)B在矩阵乘法中有右消去律若r(A) rA与唯一的ErOOO 等价，称 EOr为矩阵A的等价标准型 r(A B) w r(A) r(B)max r(A),r(B) w r(A,B) w r(A) r(B)p教材7。OABOr(A) r(B)r OA CBr(A) r(B)OB可由1,2丄，n线性表示Ax 有解 r(A) r(AM )Ax 有无穷多解 表示法不唯一2,L , n线性相关当A为方阵时Ax有唯一组解表示法唯一i,2,L ,.线性无关Ax当A为方阵时Ax不可由2丄，n线性表示Ax 无解r(A)r(A)r(A)r(AM ) r(AM )1 r(AM )教材72
