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1、1 、恒成立问题的转化：2 、能成立问题的转化：3、 恰成立问题恒成立、能成立问题专题a fxa fx转化a f x 在 M 上恒成立Ma f x在CrM上恒成立恒成立能成立另一转化方法：若 x D , f (x)fmin (x)A ，若x D, f (x)B在D上恰成立,基础理论回顾fxmaxf x minx 恒成立x 能成立成立4、 设函数 f xfmin x gmin x5、设函数f xx minx maxA在D上恰成立，等价于f(x)在D上的最小值则等价于f(x)在D上的最大值对 任 意 的 x1a , b对任意的x1a,b存 在 x2c , d存在x2 c,dfmax (x)使得使得
2、B.x1g x2x1g x2fmax x gmax x6 、 设函数 f x 、存在x1a,b存在x2c,d ，使得 f x1g x2则 f max x g min7 、 设函数 f x 、存在x1a,b存在 x2c,d ，使得 f x1g x2则 f min x gmax8 、若不等式f xx 在区间D 上恒成立，等价于在区间D 上函数 yx 和图象在函数y g x 图象上方；9 、若不等式f xx 在区间D 上恒成立，等价于在区间D 上函数 yx 和图象在函数y g x 图象下方；、经典题型解析题型一、简单型 例 1、已知函数 f (x) x2 2ax 1 , g(x) a ,其中 a 0
3、 , x 0 .x1)对任意x 1,2,都有f (x) g(x)包成立，求实数a的取值范围；(构造新函数)2)对任意xi 1,2, x2 2,4,都有f(8)g(x2)恒成立，求实数a的取值范围;(转化)3 x x2x2 1的最小值大于a即简解：(1)由 x2 2ax 1 a 0 x3a 2成立，只需满足 (x) 2x2 13可.对 (x) x 2 x求导， 2x2 1(x)2x4 x2 1(2x2 1)2(x)在x 1,2是增函数，22min (x)(1),所以a的取值范围是0 a -.33,110在x ,1恒成立，求实数b的 4a.一、1例2、设函数h(x) x b ,对任意a ,2,都有
4、h(x) x2范围.分析：思路、解决双参数问题一般是先解决一个参数，再处理另一个参数.以本题为例,实质 还是通过函数求最值解决.方法 1：化归最值，h(x) 10 hmax(x) 10；(10 b)x ；b 10 0 , a方法2:变量分离，b 10 (a x)或a x2 x1万法3:变更王兀(新函数)，(a) - a x x简解：方法1:对 a 求导, h(x) x bxh(x) 1 -4 (x a)211 m ,对任意人 0,2，存在x-1,2 ,使得2 a),(单调函数) x x由此可知，1h(-) 104h(1) 101 一 ,对于任意a -,2L得b的取值范围是,1.h(x)在-,1
5、上的最大值为41394a b 10 b - 4a441 a b 10 b 9 a1 .h(一)与h(1)中的较大者.4例3、已知两函数f (x) x2 , g(x)f(x1)g x-,则实数m的取值范围为-1案：m -4题型二、更换主元和换元法 例1、已知函数f(x) ln(ex a)(a为常数)是实数集R上的奇函数，函数g x f(x)sinx是区 间1,1上的减函数，(I)求a的值；(H)若g(x) t2 t 1在x 1,1上恒成立，求t的取值范围;(R )分析：在不等式中出现了两个字母：及t,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数。显然可将 视作自变量，则上述问题即可转化为在
6、, 1内关于 的一次函数大 于等于0包成立的问题。(H)略解：由(I)知：f(x) x , g(x) x sinx , Qg(x)在11上单调递1, g(x) max g( 1) sin1 , 只需减， g (x) cosx 0 cosx在 1 ,1上包成立，sin1 t2 t 1 , (t 1)t2sin1 1 0 (其中1 )包成立，由上述结论：可令(t 1) t2 sin1 1 0(1),则t 1 0t 1 t2 sin1 1 0 t 1t2 t sin10 ,而t2 t sin1 0包成立，a比右边的最大值大就行。21 211g(t) t2 t (t -)2 -(t -)3且a 04a
7、x 4x a 3都成立的x的取值范围例2、已知二次函数f (x)ax2 x 1对x 0,2恒有f (x) 0,求a的取值范围。(x 1)解：Xtx 0,2恒有f(x) 0即ax2 x 1 0变形为ax2当x 0时对任意的a者B满足f(x) 0只须考虑x 0的情况a (x2 1)即a 1 4要满足题意只要保证xx x一I 11 . .11现求 一2在x 0,2上的最大值。令t t -x xx 2133g maxg (二)二 所以 a 二244又f(x) ax2 x 1是二次函数 a 0所以a例3、对于?f足0 a 4的所有实数a求使不等式x2答案： x 1或x 3题型三、分离参数法(欲求某个参数
8、的范围，就把这个参数分离出来)此类问题可把要求的参变量分离出来， 单独放在不等式的一侧，将另一侧看成新函数，于 是将问题转化成新函数的最值问题：若对于 x取值范围内的任一个数都有f(x) g(a)包成立， 则g(a) f(x)min；若对于X取值范围内的任一个数都有f(x) g(a)包成立，则g(a) f(x)max. 例1、当x 1,2时，不等式x1 t i (Q 1) , t 一1 23 2题型四、数形结合(包成立问题与二次函数联系(零点、根的分布法)例1、若对任意x R,不等式|x| ax恒成立，则实数a的取值范围是 解析： mx 4 0恒成立，则m的取值范围是 Lx2 4斛析：当 x
9、(1,2)时，由 x2 mx 4 0 行 m . . . m 5 .x例2、已知函数f(x) ln(ex a) ( a为常数)是实数集R上的奇函数，函数g(x) x cosx在一、 2 ,一 ，一一区问一,二上是减函数.3 3(I )求a的值与的范围；2(H)若对(I)中的任意实数都有g(x) t 1在-,上恒成立，求实数t的取值范围.3 3(田)若m 0,试讨论关于x的方程也x x2 2ex m的根的个数. f(x)解：(I )、(田)略(H )由题意知，函数g(x) x cosx在区间一,上是减函数.3 31,21g(x)max g(-) T -, g(x) t 1在一,一上包成立t 1
10、-,3323 332对 x R,不等式|x| ax包成立、则由一次函数性质及图像知 1 a 1,即1 a 1。例2、不等式ax v;x(4x)在x0,3内恒成立，求实数a的取值范围。解：画出两个曲数yax和yJx(4 x)在x 0,3上的图象如图0,3时总有ax %/x(4 x)所以a例4、已知函数y f(x)3x 6,x6 3x, x2，右不等式f (x) 2x m包成立，则头数 m的取值沱2围是.解：在同一个平面直角坐标系中分别作出函数y 2x m及y f(x)的图象，由于不等式f(x) 2x m恒成立，所以函数y 2x m的图象应总在函数y f(x)的图象下方，因此，当x 2时，y 4
11、m 0,所以m 4,故m的取值范围是4,题型五、其它(最值)处理方法若在区间D上存在实数x使不等式f xA成立，则等价于在区间D上f xmax A；若在区间D上存在实数x使不等式f x B成立，则等价于在区间D上的f xm B. 利用不等式性质1、存在实数x,使得不等式|x 3 |x 1 a2 3a有解，则实数a的取值范围为 。解：设 f x |x 3 |x 1 ,由 f x a2 3a 有解， a2 3a f x mg ,又 x 3| x 1 x 3 x 14 ,a23a 4,解得 a 4或a12、若关于x的不等式x 2 x 3 a包成立，试求a的范围解：由题意知只须a比x 2 |x 3的最
12、小值相同或比其最小值小即可，得a (x 2 x 3)min由 x2 x 3 x 2 (x 3) 5 所以 a 5利用分类讨论1、已知函数f(x) x2 2ax 4在区间-1 , 2上都不小于2,求a的值。解：由函数f(x) x2 2ax 4的对称轴为x=a所以必须考察a与-1 , 2的大小，显然要进行三种分类讨论1) .当 a 2 时 f(x)在-1, 2上是减函数此时 f(x)min = f(2)=4-4a+42即a 3 结合a 2 ,所以a 2 22) .当a 1时f(x)在-1 , 2上是增函数，此时f(-1)=1+2a+423f(x)min= f(-1)=1+2a+42结合 a 1 即
13、 a 23) .当-1a2 时f(x)min = f(a)= x2 2a2 4 2即a V2或a x2 所以” a 2综上1, 2, 3满足条件的a的范围为：a 3或a及2利用导数迂回处理1 .1、已知 f(x) lg(x 1) g(x) lg(2x t)若当 x 0,1时 f(x) g(x)在0, 1恒成立，求实数 2t的取值范围解：f(x) g(x)在0, 1上恒成立，即Vxl2x t0在0, 1上包成立即 x 1 2x t0在0, 1上的最大值小于或等于0令 F(x)2x t所以F(x)2/h 2 12?又x 0,1所以 F(x)0即F(x)在0, 1上单调递减所以 F(x)max F(。)，即 F(x) F(0) 1 t 0 得 t 12、已知函数f x Inx 1 ax2 2x a 0存在单调递减区间，求a的取值范围2.2解：因为函数f x存在单调递减区间，所以f x 1 ax 2也一仝二0xx-12c0, 有解.即a-2 - x 0,x2X能成立，设u x12x2 x由 U x-1 21 11 得，umin xx2 x x1.于是，a1,由题设a 0,所以a的取值范围是 1,00,3、已知函数 f(x) x(ln x m),g(x) ax3 x.3(I )当m 2时，求f (x)的单调区间;3 .5
