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1、课后限时集训(十三)导数的概念及运算(建议用时：60分钟)A组基础达标一、选择题1函数yln(2x21)的导数是()A.B.C. D.By4x，故选B.2f(x)ax33x22，若f(1)4，则a的值等于()A. B.C. D.D因为f(x)3ax26x，所以f(1)3a64，解得a.故选D.3(2018广州一模)已知直线ykx2与曲线yxln x相切，则实数k的值为()Aln 2 B1C1ln 2 D1ln 2D由yxln x知yln x1，设切点为(x0，x0ln x0)，则切线方程为yx0ln x0(ln x01)(xx0)，因为切线ykx2过定点(0，2)，所以2x0ln x0(ln
2、x01)(0x0)，解得x02，故k1ln 2，选D.4设函数f(x)x3ax2，若曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线方程为xy0，则点P的坐标为()A(0,0) B(1，1)C(1,1) D(1，1)或(1,1)D由题意知，f(x)3x22ax，所以曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线斜率为f(x0)3x2ax0，又切线方程为xy0，所以x00，且，解得a2，x0.所以当时，点P的坐标为(1，1)；当时，点P的坐标为(1,1)，故选D.5已知曲线y，则曲线的切线斜率取得最大值时的切线方程为()Ax4y20Bx4y20C4x2y10D4x2y10Ay，因为ex0，所以ex
3、22(当且仅当ex，即x0时取等号)，则ex24，故y(当x0时取等号)当x0时，曲线的切线斜率取得最大值，此时切点的坐标为，切线的方程为y(x0)，即x4y20.故选A.二、填空题6(2019漳州模拟)曲线y2sin x在x处的切线的倾斜角大小为_y2cos x，y|x2cos 1，设切线的倾斜角为，则tan 1，又0，.7若曲线f(x)ax3ln x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是_(，0)由题意，可知f(x)3ax2，又存在垂直于y轴的切线，所以3ax20，即a(x0)，故a(，0)8(2019大连调研)若函数f(x)x2axln x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是_
4、2，)f(x)x2axln x，f(x)xa.f(x)存在垂直于y轴的切线，f(x)存在零点，xa0有解，ax2(x0)三、解答题9已知函数f(x)x34x25x4.(1)求曲线f(x)在点(2，f(2)处的切线方程；(2)求经过点A(2，2)的曲线f(x)的切线方程解(1)f(x)3x28x5，f(2)1，又f(2)2，曲线在点(2，f(2)处的切线方程为y2x2，即xy40.(2)设曲线与经过点A(2，2)的切线相切于点P(x0，x4x5x04)，f(x0)3x8x05，切线方程为y(2)(3x8x05)(x2)，又切线过点P(x0，x4x5x04)，x4x5x02(3x8x05)(x02
5、)，整理得(x02)2(x01)0，解得x02或1，经过点A(2，2)的曲线f(x)的切线方程为xy40或y20.10设函数f(x)ax，曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为7x4y120.(1)求f(x)的解析式；(2)证明曲线f(x)上任一点处的切线与直线x0和直线yx所围成的三角形面积为定值，并求此定值解(1)方程7x4y120可化为yx3，当x2时，y.又因为f(x)a，所以解得所以f(x)x.(2)证明：设P(x0，y0)为曲线yf(x)上任一点，由y1知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为yy0(xx0)，即y(xx0)令x0，得y，所以切线与直线x0的交点坐标为.令y
6、x，得yx2x0，所以切线与直线yx的交点坐标为(2x0,2x0)所以曲线yf(x)在点P(x0，y0)处的切线与直线x0，yx所围成的三角形的面积S|2x0|6.故曲线yf(x)上任一点处的切线与直线x0，yx所围成的三角形面积为定值，且此定值为6.B组能力提升1曲线ye在点(4，e2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为()A.e2 B4e2C2e2 De2D易知曲线ye在点(4，e2)处的切线斜率存在，设其为k.ye，kee2，切线方程为ye2e2(x4)，令x0，得ye2，令y0，得x2，所求面积为S2|e2|e2.2已知函数f(x)x2的图象在点(x0，x)处的切线为l，若l也与函
7、数yln x，x(0,1)的图象相切，则x0必满足()A0x0 B.x01C.x0 D.x0D由题意，得f(x)2x，所以f(x0)2x0，f(x0)x，所以切线l的方程为y2x0(xx0)x2x0xx.因为l也与函数yln x(0x1)的图象相切，设切点坐标为(x1，ln x1)，易知y，则切线l的方程为yxln x11，则有又0x11，所以x01，所以1ln 2x0x，x0(1，)令g(x)x2ln 2x1，x1，)，则g(x)2x0，所以g(x)在1，)上单调递增，又g(1)ln 20，g()1ln 20，g()2ln 20，所以存在x0(，)，使得g(x0)0，故x0，选D.3(201
8、7天津高考)已知aR，设函数f(x)axln x的图象在点(1，f(1)处的切线为l，则l在y轴上的截距为_1f(x)a，f(1)a1.又f(1)a，切线l的斜率为a1，且过点(1，a)，切线l的方程为ya(a1)(x1)令x0，得y1，故l在y轴上的截距为1.4已知函数f(x)x32x23x(xR)的图象为曲线C.(1)求过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围；(2)若在曲线C上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围解(1)由题意得f(x)x24x3，则f(x)(x2)211，即过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围是1，)(2)设曲线C的其中一条切线的斜率为k，则由(2)中条件并结合(1)中结论可知，解得1k0或k1，故由1x24x30或x24x31，得x(，2(1,3)2，)- 3 -
