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1、第一章 质点的运动1-1已知质点的运动方程为：，。式中x、y的单位为m，t的单位为。试求：(1) 初速度的大小和方向；(2) 加速度的大小和方向。分析由运动方程的分量式可分别求出速度、加速度的分量,再由运动合成算出速度和加速度的大小和方向解(1) 速度的分量式为 当t 0 时, vox -10 m-1 , voy 15 m-1 ,则初速度大小为设vo与x 轴的夹角为,则12341(2) 加速度的分量式为 , 则加速度的大小为设a 与x 轴的夹角为,则-3341(或32619)1-2 一石子从空中由静止下落，由于空气阻力，石子并非作自由落体运动。现测得其加速度aA-Bv，式中A、B 为正恒量，求
2、石子下落的速度和运动方程。分析本题亦属于运动学第二类问题,与上题不同之处在于加速度是速度v的函数,因此,需将式dv a(v)dt 分离变量为后再两边积分解选取石子下落方向为y 轴正向,下落起点为坐标原点(1) 由题 (1)用分离变量法把式(1)改写为 (2)将式(2)两边积分并考虑初始条件,有得石子速度 由此可知当,t时,为一常量,通常称为极限速度或收尾速度(2) 再由并考虑初始条件有得石子运动方程1-3 一个正在沿直线行驶的汽船，关闭发动机后，由于阻力得到一个与速度反向、大小与船速平方成正比例的加速度，即a= - kv2，k为常数。在关闭发动机后，试证：（1）船在t时刻的速度大小为 ；（2）
3、在时间t内，船行驶的距离为 ；（3）船在行驶距离x时的速率为v=v0e-kx。证明（1）分离变数得， 故 ，可得： （2）公式可化为，由于v = dx/dt，所以：积分 因此 (3 ) 要求 v( x)，可由 ，有积分得证毕Hhv0图1-18 习题1-4图14行人身高为h，若人以匀速v0用绳拉一小车行走，而小车放在距地面高为H的光滑平台上，求小车移动的速度和加速度。解：人前进的速度v0，则绳子前进的速度大小等于车移动的速度大小，所以小车移动的速度小车移动的加速度1-5 质点沿轴运动，其加速度和位置的关系为 ，a 的单位为 m/s2，x 的单位为 m。质点在x=0处，速度为10m/s，试求质点在
4、任何坐标处的速度值。解： 分离变量： 两边积分得 由题知，时，, 1-6 如图所示，一弹性球由静止开始自由下落高度 h 后落在一倾角的斜面上，与斜面发生完全弹性碰撞后作抛射体运动，问它第二次碰到斜面的位置距原来的下落点多远。解：小球落地时速度为 建立直角坐标系，以小球第一次落地点为坐标原点如图 （1） （2）第二次落地时 所以 17一人扔石头的最大出手速率为v25m/s，他能击中一个与他的手水平距离L=50m，高h=13m的目标吗？在此距离上他能击中的最大高度是多少？解：由运动方程,消去t得轨迹方程以x05.0m ，v25ms1代入后得取g10.0，则当时，13所以他不能射中，能射中得最大高度
5、为1-8 一质点沿半径为R 的圆周按规律运动，v0 、b 都是常量。(1) 求t 时刻质点的总加速度；(2) t 为何值时总加速度在数值上等于b？(3) 当加速度达到b 时，质点已沿圆周运行了多少圈？分析在自然坐标中,s 表示圆周上从某一点开始的曲线坐标由给定的运动方程s s(t),对时间t 求一阶、二阶导数,即是沿曲线运动的速度v 和加速度的切向分量a,而加速度的法向分量为anv2 /R这样,总加速度为a aeanen至于质点在t 时间内通过的路程,即为曲线坐标的改变量sst -s0因圆周长为2R,质点所转过的圈数自然可求得解(1) 质点作圆周运动的速率为其加速度的切向分量和法向分量分别为,
6、 故加速度的大小为其方向与切线之间的夹角为(2) 要使ab,由可得(3) 从t0 开始到tv0 /b 时,质点经过的路程为因此质点运行的圈数为1-9 已知质点的运动方程为：，式中为正的常量。求：（1）质点运动的轨道方程；（2）质点的速度大小；（3）质点的加速度大小。解： （1）轨道方程为 这是一条空间螺旋线。在O平面上的投影为圆心在原点，半径为R的圆，螺距为h（2） （3） ， 110飞机以100ms-1的速度沿水平直线飞行，在离地面高为100m时，驾驶员要把物品投到前方某一地面目标处。问：（1）此时目标在飞机下方前多远？（2）投放物品时，驾驶员看目标的视线和水平线成何角度？（3）物品投出2s
7、后，它的法向加速度和切向加速度各为多少？解：（1）（2） （3） 111一无风的下雨天，一列火车以v1=20m/s的速度匀速前进，在车内的旅客看见玻璃窗外的雨滴和垂线成75角下降，求雨滴下落的速度v2。（设下降的雨滴作匀速运动）解：以地面为参考系，火车相对地面运动的速度为V1,雨滴相对地面竖直下落的速度为V2，旅客看到雨滴下落速度V2为相对速度，它们之间的关系为112升降机以加速度a0=1.22ms-2上升，当上升速度为2.44ms-1时，有一螺帽自升降机的天花板脱落，天花板与升降机的底面相距2.74m，试求：（1）螺帽从天花板落到底面所需时间；（2）螺帽相对于升降机外固定柱子的下降距离。解：
8、（1）以升降机为参考系，此时，螺丝相对它的加速度为a=g+a,螺丝落到底面时，有 （2）由于升降机在t时间内的高度为则113飞机A相对地面以vA =1000km/h的速率向南飞行，另一飞机B相对地面以vB =800 km/h的速率向东偏南30方向飞行。求飞机A相对飞机B的速度。解：114 一人能在静水中以1.10ms-1的速度划船前进，今欲横渡一宽为1000m、水流速度为0.55ms1的大河。（1），那么应如何确定划行方向？到达正对岸需多少时间？（2）如果希望用最短的时间过河，应如何确定划行方向？船到达对岸的位置在什么地方？解：如图（1）若要从出发点横渡该河而到达正对岸的一点，则划行速度和水流
9、速度u的合速度的方向正对着岸，设划行速度合速度的夹角为如图（2）用最短的时间过河，则划行速度的方向正对着岸115设有一架飞机从A处向东飞到B处，然后又向西飞回到A处，飞机相对空气的速率为，而空气相对地面的速率为u，A、B间的距离为l。（1）假定空气是静止的（即u=0），求飞机来回飞行的时间；（2）假定空气的速度向东，求飞机来回飞行的时间；（3）假定空气的速度向北，求飞机来回飞行的时间。解：由相对速度的矢量关系有（1）空气时静止的，即u0，则往返时，飞机相对地面的飞行速度就等于飞机相对空气的速度v（图（1），故飞机来回飞行的时间(2) 空气的速度向东时，当飞机向东飞行时，风速与飞机相对空气的速度
10、同向；返回时，两者刚好相反（图（2），故飞机来回飞行的时间为(3) 空气的速度向北时，飞机相对地面的飞行速度的大小由可得为，故飞机来回飞行的时间为vuv(1)(2)vu第二章 质点动力学AB习题2-1图aAmgTATBaBmg21如本题图，A、B两物体质量均为m，用质量不计的滑轮和细绳连接，并不计摩擦，则A和B的加速度大小各为多少 。解：如图由受力分析得习题22图22如本题图所示，已知两物体A、B的质量均为m=3.0kg，物体A以加速度a=1.0m/s2 运动，求物体B与桌面间的摩擦力。（滑轮与连接绳的质量不计）解：分别对物体和滑轮受力分析（如图），由牛顿定律和动力学方程得，2-3 如图所示，
11、细线不可伸长，细线、定滑轮、动滑轮的质量均不计已知。求各物体运动的加速度及各段细线中的张力。习题2-3 图解：设m1下落的加速度为a1，因而动滑轮也以a1上升。再设m2相对动滑轮以加速度a下落，m3相对动滑轮以加速度a上升，二者相对地面的加速度分别为：（下落）和（上升），设作用在m1上的线中张力为T1，作用在m2和m3上的线中张力为T2。列出方程组如下：代入，可求出：，24光滑的水平面上放置一半径为R的固定圆环，物体紧贴环的内侧作圆周运动，其摩擦系数为。物体的初速率为v0，求：（1）t时刻物体的速率；（2）当物体速率从v0减少到v0/2时，物体所经历的时间及经过的路程。解：（1）设物体质量为m
12、，取图示的自然坐标系，由牛顿定律得，（2） 当物体速率从v0减少到v0/2时，由可得物体所经历的时间经过的路程25从实验知道，当物体速度不太大时，可以认为空气的阻力正比于物体的瞬时速度，设其比例常数为k。将质量为m的物体以竖直向上的初速度v0抛出。（1）试证明物体的速度为(2)证明物体将达到的最大高度为(3)证明到达最大高度的时间为证明：由牛顿定律可得26 质量为m的跳水运动员，从距水面距离为h的高台上由静止跳下落入水中。把跳水运动员视为质点，并略去空气阻力。运动员入水后垂直下沉，水对其阻力为bv2，其中b为一常量。若以水面上一点为坐标原点O，竖直向下为Oy轴，求：（1）运动员在水中的速率v与
13、y的函数关系；（2）跳水运动员在水中下沉多少距离才能使其速率v减少到落水速率v0的1/10？（假定跳水运动员在水中的浮力与所受的重力大小恰好相等）解：运动员入水可视为自由落体运动，所以入水时的速度为，入水后如图由牛顿定律的yfkvmgv 27一物体自地球表面以速率v0竖直上抛。假定空气对物体阻力的值为fkmv2，其中k为常量，m为物体质量。试求：（1）该物体能上升的高度；（2）物体返回地面时速度的值。解：分别对物体上抛和下落时作受力分析（如图），2-8 质量为的子弹以速度v0水平射入沙土中，设子弹所受阻力f = - kv，为常数，求：(1) 子弹射入沙土后，速度随时间变化的函数式；(2) 子弹
14、进入沙土的最大深度。解：（1）由题意和牛顿第二定律可得：，分离变量，可得： 两边同时积分，所以：（2）子弹进入沙土的最大深度也就是v=0的时候子弹的位移，则：由 可推出：，而这个式子两边积分就可以得到位移： 。2-9 已知一质量为的质点在轴上运动，质点只受到指向原点的力，是比例常数。设质点在时的速度为零，求质点在处的速度的大小。解：由题意和牛顿第二定律可得：再采取分离变量法可得： ，两边同时取积分，则：所以：2-10 一颗子弹在枪筒里前进时所受的合力大小为，子弹从枪口射出时的速率为。设子弹离开枪口处合力刚好为零。求：（1）子弹走完枪筒全长所用的时间；（2）子弹在枪筒中所受力的冲量；（3）子弹的质量。解：（1）由和子弹离开枪口处合力刚好为零，则可以得到： 算出t=0.003s。（2）由冲量定义：（3）由动量定理：2-11 高空作业时系安全带是非常必要的。假如一质量为51.0 kg 的人，在操作时
