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1、0/1背包问题动态规划详解及C代码动态规划是用空间换时间的一种方法的抽象。其关键是发现子问题和记录其结果。然后 利用这些结果减轻运算量。问题描述：给定N中物品和一个背包。物品i的重量是W,其价值位，背包的容量为C。问应该如 何选择装入背包的物品，使得转入背包的物品的总价值为最大？在选择物品的时候，对每种物品i只有两种选择，即装入背包或不装入背包。不能讲物品i 装入多次，也不能只装入物品的一部分。因此，该问题被称为0-1背包问题。问题分析：令V(i,j)表示在前i(1v = iv = n)个物品中能够装入容量为就j(1v=jv=C)的背 包中的物品的最大价值，则可以得到如下的动态规划函数：(1)
2、 V(i,0)=V(0,j) = 0(2) V(i,j)=V(i-1,j) jvwiV(i,j) = maxV(i-1,j) ,V(i-1,j-wi)+vi) jwi(1)式表明：如果第i个物品的重量大于背包的容量，则装人前i个物品得到的最大价值和 装入前i-1个物品得到的最大价是相同的，即物品i不能装入背包；第(2)个式子表明:如果 第i个物品的重量小于背包的容量，则会有一下两种情况：(a)如果把第i个物品装入背包， 则背包物品的价值等于第i-1个物品装入容量位j-wi的背包中的价值加上第i个物品的价值 vi； (b)如果第i个物品没有装入背包，则背包中物品价值就等于把前i-1个物品装入容量
3、为 j的背包中所取得的价值。显然，取二者中价值最大的作为把前i个物品装入容量为j的背 包中的最优解。比如 01背包问题。因为背包最大容量M未知。所以，我们的程序要从1到M 个一个的试。比如，开始任 选N件物品的一个。看对应M的背包，能不能放进去，如果能放进去，并且还有多的空间， 则，多出来的空间里能放N-1物品中的最大价值。怎么能保证总选择是最大价值呢？看下表。 测试数据：10,33,44,55,6cij数组保存了 1,2,3号物品依次选择后的最大价值.这个最大价值是怎么得来的呢?从背包容量为0开始, 1号物品先试, 0, 1 , 2 ,的容量都不能放. 所以置0,背包容量为3则里面放4.这样
4、,这一排背包容量为4,5,6, 10的时候，最佳方 案都是放4.假如1号物品放入背包.则再看2号物品.当背包容量为3的时候，最佳方案还 是上一排的最价方案c为4.而背包容量为5的时候，则最佳方案为自己的重量5.背包容量 为7的时候，很显然是5加上一个值了。加谁?很显然是7-4=3的时候.上一排c3的最佳 方案是 4. 所以。总的最佳方案是 5+4 为 9. 这样. 一排一排推下去。最右下放的数据就是最大 的价值了。 (注意第3排的背包容量为7的时候,最佳方案不是本身的6.而是上一排的9.说 明这时候3号物品没有被选.选的是1,2号物品.所以得9.)从以上最大价值的构造过程中可以看出。f(n,m
5、)二maxf(n-1,m), f(nT,m-wn)+P(n,m)这就是书本上写的动态规划方程.这回清楚 了吗 ?下面是实际程序(在VC 6.0环境下通过)：#includeint c10100;/*对应每种情况的最大价值*/int knapsack(int m,int n)int i,j,w10,p10;printf(请输入每个物品的重量，价值：n);for(i=1;i=n;i+)scanf(%d,%d,&wi,&pi);for(i=0;i10;i+)for(j=0;j100;j+)cij=O;/*初始化数组*/for(i=1;i=n;i+)for(j=1;j=m;j+)if(wici-1j)/*如果本物品的价值加上背包剩下的空间能放的物品的价值*/*大于上一次选择的最佳方案则更新cij*/cij=pi+ci-1j-wi;elsecij=ci-1j;else cij=ci-1j;return(cnm);int main()int m,n;int i,j;printf(请输入背包的承重量，物品的总个数：n)； scanf(%d,%d,&m,&n);prin tf(旅行者背包能装的最大总价值为%d,knapsack(m,n); printf(n)；return 0;
