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1、习题二2-3 已知真空中静电场的电位 V，求电场强度的分布及电荷体密度。解： V/m C/m22-5 已知某空间电场强度，问：(1)该电场可能是静态电场吗？(2)如果是静电场，求与之对应的电位的分布。答案 2-8 已知电场强度，求体电荷密度，其中介电常数为。解：因为由球坐标系中散度展开式得2-11 计算均匀电荷面密度为的无限大平面的电场。解： 根据高斯定律有 注意侧面上D0 的通量为零。由边界条件可知因此求得D0=/2，用矢量式表示时为2-12 在无限大真空中，已知电位，求对应的电场强度及电荷分布。分析 处是的奇异点，在该点应有一个点电荷。在处，可由求得电荷体密度，而位于处的点电荷，则可应用高
2、斯定律求得。解 (1)电场强度为(2) 在处，电荷体密度由球坐标系中散度展开式求得为为了确定处的点电荷，作一个半径为的球面。由高斯定律可得到球面内的总电荷为该球面内的体分布电荷的总电荷量为故处的点电荷为2-17圆柱形电容器外导体内半径为，内导体半径为。当外加电压固定时，在一定的条件下，求使电容器中的最大电场强度取极小值的内导体半径的值和这个的值。分析 由于圆柱形电容器内的场强与半径成反比，所以内导体表面上的电场强度最大。内导体半径的值不同时，电容器中的最大电场强度的值也不同。当内导体半径取某一个值时，最大电场强度会出现极小值。解 设内导体单位长度带电荷为，利用高斯定律求得圆柱形电容器中的电场强
3、度为由内外导体间的电压得到由此得到圆柱形电容器中的电场强度与电压的关系式在圆柱形电容器中，处的电场强度最大令对的导数为零，即由此得到故有说明 电容器中最大电场强度的值越小，电容器能承受的电压越高。当电容器中的最大电场强度取极小值时，电容器承受的电压最大。因此在设计时，应使电容器的内外半径之比满足一定的条件。2-18一个半径为R介质球，介电常数为，球内的极化强度，其中K为数。试计算(1)束缚电荷体密度和面密度；(2) 自由电荷密度；(3)球内、外的电场和电位分布。分析 由于已知极化强度，由于，故可求出极化电荷分布，再利用和求出自由电荷体密度。解 (1) 介质球内的束缚电荷体密度为在的球面上，束缚
4、电荷面密度为 (2)由于，所以由此可得到介质球内的自由电荷体密度为总的自由电荷量(3)介质球内、外的电场强度分别为 介质球内、外的电位分别为 说明 虽然介质是均匀的，但极化强度不是常矢量，所以介质的极化是非均匀的。因此，介质体内可能有极化电荷，此即意味着介质体内有自由电荷分布，但介质表面上通常不存在面分布的自由电荷。2-22两种电介质的相对介电常数分别为和，其分界面为z=0平面。如果已知介质1中的电场为，那么对于介质2中的和，你能得到什么结果？ 分析 在两种电介质的分界面上，不存在面分布的自由电荷。根据静电场的边界条件，在两种电介质分界面处，有、，由此可求出介质2中的和在分界面=0处的表达式。
5、解 设在介质2中 在处，由和，可得 于是得到故得到介质2中的和在处的表达式分别为说明 边界条件给出的是边界面上的场矢量之间的关系。一般情况下，介质中任意点的电场与边界面上的电场是不相同的。如果介质中的场是均匀的，则边界面上的电场与介质中的电场相同。在本题中，由于是非均匀场，介质中任意点的电场与边界面上的电场是不相同的。 2-33两个电荷分别位于两种介质中，两种介质的分界面为无限大平面，介电常数分别为和，点电荷q1与q2相对于界面为镜象位置，相距为2。求(1)点电荷q1与边界距离一半处的电位，(2)q1所受的力。解：利用叠加定理与镜像法将原问题分解q1q2hhq1+Aq2=hhhh其中故2-44
6、有两个质量均为m 的完全相同金属小球A和B，用一个原长为的轻弹簧连接，小球和弹簧之间是绝缘的。用丝线把小球和弹簧吊起来，如图所示。此时弹簧的长度为。使两个小球带上等量同种电荷后，弹簧的长度变为 l2，问两个小球所带电量为多少。(提示：设弹簧的拉伸系数为K，单位为Kg/m。弹簧较轻，自身重量忽略不计)解 当两个小球不带电时，以B球为分析对像，它共受两个力作用，一个是重力mg，另一个是弹簧的拉力T，因为静止，所以这两个力平衡，设弹簧的拉伸系数为K，则有： (1)两个小球带电后，还是以B球为分析对像，此时B球受到三个力的作用，除去重力mg、弹簧的拉力以外，还受到A球的库仑力。平衡后两球间的距离为l2
7、, 所以库仑力为：由于平衡，所以有： (2)解(1)(2)两式得AB 题2-44图 故习题三3-1 一个半径为a的球内均匀分布着总量为q的电荷，若其以角速度绕一直径匀速旋转，如图所示。试求球体内的电流密度并计算分布电流的总和。解：设球内任一点到球心的距离为r，转轴与矢径夹角为，则该点的线速度 球内的电荷体密度 该点的电流密度 球内电流为 题3-1图 3-3 铁制水管内、外直径分别为2.0cm和2.5cm，常用水管来使电器设备接地。如果从电器设备流入到水管中的电流是20A，那么电流在管壁和水中各占多少？假设水的电阻率是0.01m。解：单位长度的铁管电阻为单位长度的水柱电阻为当水管中的电流为20A
8、时，水柱和铁管中的电流之比为 (a)又根据题意 (b)所以将(a)、(b)联立求解，可得管壁和水中的电流强度，3-15 个同心球电容器的内导体的半径为a，外导体的内半径为c，期间填充两种漏电介质，电导率分别为和，分界面半径为b。当外加电压为U0时，求两个极板间的绝缘电阻和功率损耗。解：设由内导体流向外导体的径向电流为I，在两种介质的分界面上，电流密度与分界面垂直。根据边界条件，则由可得，由于，所以 所以 电阻器的电阻为 电容的损耗功率为 3-17 轴电缆的内导体半径为，外导体的内半径为b，外加电压为，中间填充的电介质。求介质的漏电导。解：设单位长度漏电流为I，电流密度，3-18 导率为的无界均
9、匀介质间，有两个半径为R1和R2的理想导体小球，两球之间的距离为d (d R1，d R2)，试求两导体球面间的电阻。本题可以不做，可以做第3-17题，那种对称的结构。解：此题可采用静电比拟的方法求解。设两小球的电荷为q和-q，由于d R1，d R2可以近似认为小球上的电荷均匀分布在球面上，则得到两小球表面的电位为所以两小导体球面间的电容为 由静电比拟，得到球面间的电导为 故两两小导体球面间的电阻为 3-20 有同心球电容器，内球半径为，外球内半径为b，中间充有两种介质，其分界面为过球心的平面。两种介质的介电常数及电导率分别为，；，；(1) 若在内、外球间加电压，求两层介质中的电场和电流分布及，
10、处的自由电荷密度。(2) 求此电容器的漏电阻。(3)求电容器的损耗功率。解：（1）设由内导体流向外导体的径向电流为I，则由可得，在两种介质的分界面上，电场与分界面平行。根据边界条件 可知。由于，所以所以 故 （2）电阻器的漏电阻为 （3）电容的损耗功率为 3-23 半径分别为，厚度为，张角为的扇形电阻片(其电导率为)，如图所示。试求两种不同的极板(金属极板，不计算其电阻)放置方法，该扇形片的电阻。(1)两极板分别置于A、B面(平面)上。(2)两极板分别置于C、D面(圆弧面)上。ACaDaABB题3-22图 题3-23图解：（2）同样采用圆柱坐标系中的分离变量法求解。这时金属电极放在、面上，设面
11、上的电位为0，面上的电位为U0。电位方程：导体中的电位应满足如下条件：为满足边界条件，应取由边界条件得，联立求解，得，这时扇形片的电阻为习题四4-3 下面矢量中哪些可能是磁感应强度B？如果是，求出相应的电流密度J。a) b)c) d)e) f)解：由恒定磁场的基本方程，满足该式的矢量可能表示磁感应强度B，否则不表示磁感应强度。由求的电流密度J。a) 由 ，F可能表示磁感应强度B。b) 按圆柱坐标系求解，F可能表示磁感应强度B。c) ，F可能表示磁感应强度B。d) ，F不表示磁感应强度B。e) （A为常数），f) ，F不表示磁感应强度B。4-4 无限长直线电流垂直于磁导率分别为和的两种介质的分界
12、面，试求：(1) 两种介质中的磁感应强度B1和B2；(2) 磁化电流分布。解：(1) 由安培环路定律，可得所以得到 (2) 磁介质的磁化强度为则磁化电流体密度为在r=0处， 具有奇异性。以z轴为中心作一个圆形回路c，由安培环路定律得故可以得到磁化电流为在磁介质的表面上，磁化电流面密度为4-5 一根细的圆铁杆和一个很薄的圆铁盘样品放在磁场B0中，并使它们的轴与B0平行(铁的磁导率为)。求样品内的B和H；若已知B0=1T，求两样品内的磁化强度M。解：对于极细的圆铁杆样品，根据边界条件有对于很薄的圆铁盘样品，根据边界条件有 4-6 证明磁介质内部的磁化电流是传导电流的()倍。解：由于，因而 4-7 如图所示，已知无限长直导体圆柱由电导率不同的两层导体构成，内层导体的半径，电导率；外层导体的外半径，电导率。导体圆柱中沿轴线方向流过的电流为，求：(1)两层导体中的电流密度J1和J2；(2)求导体圆柱内、外的磁感应强度。解：(1) 、， (2) 当时，有当时，有当时，有 4-8 已知在半径为a的圆柱区域内有沿轴向方向的电流，其电流密度为，其中为常数，求圆柱内外的磁感应强度。解：用安培环路定律，当计算的点位于柱
