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1、常见数列公式等差数列1等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，即a a =d , (n nn1三2, nUN +),这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差(常用字母“d”表示)*2等差数列的通项公式：a =pn+q (p、q 是常数)na 二 a + (n 1)da 二 a + (n m)d 或n 1n m3. 有几种方法可以计算公差da a a a d= a 一 a d= -n1 d= -nmnn1n 1n m4. 等差中项：A二a2b o a, b,成等差数列 5等差数列的性质：m+n=p+q = a + a = a + a (m, n,
2、 p, q UN )m n p q等差数列前n项和公式6.等差数列的前n项和公式n(a + a )n(n 1)ddd(1) s =1 n(2) S 二 na +(3) S 二 n2 + (a = )n，当 dHO,是一个常数项为零n 2 n 1 2 n 2 1 2的二次式8.对等差数列前项和的最值问题有两种方法:(1) 利用a :当a 0，dvO,前n项和有最大值可由a三0,且a W0,求得n的值+nnnn+1当a 0,前n项和有最小值可由a WO,且a 三0,求得n的值nnn+1(2) 利用S :由S二dn2 + (a d)n二次函数配方法求得最值时n的值-n n 2 1 2等比数列1.等比
3、数列：如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列就叫做等比数a列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示(qHO),即：一 =q (qHO)an12等比数列的通项公式：a = a - qn-1 (a - q丰0) ,a = a - qn-m (a - q丰0)n 11n m1a3 a 成等比数列Of*=q ( n e N +,qH0)“ a HO”是数列 a 成等比数列的必要非充分条件nannn4.既是等差又是等比数列的数列：非零常数列.5等比中项：G为a与b的等比中项.即G= ab (a,b同号).6性质：若 m+n=p+q, a - a = a -
4、 am n p q7判断等比数列的方法：定义法，中项法，通项公式法8等比数列的增减性：当 q1, a 0 或 0q1, a 1, a 0, 或 0q0 时 , a 是递减数列 ;1 1 n当 q=1 时, a 是常数列;n当 q 0)na ,a ,a 成等比数列，a2 = a a，1 3 9 3 1 9即(a + 2d)2 = a (a + 8d) n d2 = a d1/ d 丰 0，1.a = d15x4/. 5a +i 233=,d =5533 3a =+ (n 1) x = nn 55 5点评：利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法求出首项与公差(公比)后再写出通项 二、公式法丁
5、 S = a 255由得：-d = (a + 4d )21S S S 例2.已知数列的前n项和S满足S = 2a + (1)n, n 1 .求数列的通项公式。nnn nn解由 a = S = 2a 1 n a = 11 1 1 1 当 n 2 时 有 a =S S 1 = 2(a a 一)+ 2 x (1)n ?/. a = 2a + 2 x (1)n1,nn 1a= 2a+ 2 x (1)n2,n1n - 2/.a =2-1a +2-1 x(l)+2-2 x(1+n1若已知数列的前n项和S与a的关系，求数列的通项a可用公式a =n nnnnn = 1n 2求解。n-1=2a 2.1a2+2x
6、(1)-1=2一1 + (l)n(2)ni + (2)n2 + (-2)=2n1 (1)n 组一(W12经验证a =1也满足上式，所以a 2 n - 2 + (1) n-11n 3-n 1 求解时，要注意对n分类讨论，但若能合写时一定要合并.n2=|2n-2 + (1)n1.点评：利用公式a =nS nS Sn n 1、由递推式求数列通项法 对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等比数列问题，有时也用 到一些特殊的转化方法与特殊数列。类型1递推公式为a二a + f (n)n +1n解法：把原递推公式转化为a a f (n)，利用累加法(逐差相加法)求解。n
7、+1 n(2004全国卷I.22)已知数列中,a = 1,且an,al=a+ (1)k, a = a + 3k,其中 k = 1,2,3,，求数列 a 2k2k12k+12k的通项公式。P24 (styyj)例3.已知数列% 满足anan+l, 1,什f (k) 1)，这就是叠(迭)代法的基本模式。 n1(3)递推式：a pa + f(n)n+1n解法：只需构造数列% ，消去f 6)带来的差异.n例 5.设数列 %a ： a 4,a 3a+ 2n 1, (n 2)，求a .n1nn -1n解：设b a + An + B,贝【Ja b An B，将a ,a 代入递推式，得nnnnn n 1b A
8、n B 3 lb A(n 1) B+ 2n 1 3b (3 A 2)n (3B 3 A +1) nn1n1A3A2.VB 3B 3 A +1A1B1取b a + n +1 ( 1 )则 b 3b ,又 b 6，故 b 6 x 3n-1 2 x 3n 代入(1 )得 n nnn11na 2X3n n 1n说明：( 1) 若 f(n) 为 n 的二次式， 贝可设 b a + An2 +Bn+C ;(2)本题也可由nna 3a + 2n 1 , a 3a + 2(n 1) 1( n 3 ) 两 式 相 减 得nn 1n 1n 2a a 3(a a ) + 2 转化为 b pb + q 求之.n n
9、1n 1n 2nn 13n1例 6.已知 a 3， a a (n 1)，求 a。1n +1 3n + 2 nn解：3n - 4 3n - 73n 1 3n - 45 2 363 =8 53n-13(n -1) -1 . 3(n - 2) -13(n -1) + 2 3(n - 2) + 2类型3递推公式为a = pa + q （其中p, q均为常数，（pq（p -1）丰0）。 n+1n解法：把原递推公式转化为：an+1-1 = p(a -1)，其中 t =n，再利用换元法转化为等比数列求解。（2006.重庆 .14）在数列a 中, 若a二1, a二2a + 3(n 1)，则该数列的通项 n1n +1nP24（ styyj）例7.已知数列a 中，a二1,n1a 二 2a + 3，求 a .n+1nn解：设递推公式an+1=2a + 3可以转化为a t = 2(a t)即ann+
