《2020年高考数学一轮复习 考点45 立体几何中的向量方法必刷题 理（含解析）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020年高考数学一轮复习 考点45 立体几何中的向量方法必刷题 理（含解析）（40页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、考点45 立体几何中的向量方法1（辽宁省沈阳市2019届高三教学质量监测三数学理）如图，四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧面底面，为上的点，且平面（1）求证：平面平面；（2）当三棱锥体积最大时，求二面角的余弦值【答案】（1）见证明；（2）.【解析】（1）证明：侧面底面，侧面底面，四边形为正方形，面，面，又面，平面，面，平面，面，面，平面平面（2），求三棱锥体积的最大值，只需求的最大值令，由（1）知，而，当且仅当，即时，的最大值为如图所示，分别取线段，中点，连接，以点为坐标原点，以，和分别作为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系由已知，所以，令为面的一个法向量，则有，易知为面的一个法向量，二面角的平
2、面角为，为锐角则.2（湖南省长沙市第一中学2019届高三下学期高考模拟卷一数学理）如图所示，圆O的直径AB6，C为圆周上一点，BC3，平面PAC垂直圆O所在平面，直线PC与圆O所在平面所成角为60，PAPC（1）证明：AP平面PBC（2）求二面角PAB一C的余弦值【答案】(1)见解析.(2) .【解析】（1）由已知可知，又平面平面圆，平面平面圆，平面，又，平面，平面，平面.（2）法一：过作于，由于平面平面，则平面，则为直线与圆所在平面所成角，所以.过作于，连结，则，故为二面角的平面角.由已知，在中，由得，在中，故，故，即二面角的余弦值为.法二：过作于，则平面，过作交于，以为原点，、分别为轴、轴
3、、轴建立空间直角坐标系.则，从而，设平面的法向量，则得，令，从而，而平面的法向量为，故，即二面角的余弦值为.3（四川省绵阳市2019届高三下学期第三次诊断性考试数学理）如图，在四棱锥中，底面是菱形，且，分别为，的中点，且.（1）求证：平面平面；（2）求锐二面角的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）过P作POAD，垂足为O，连结AO，BO，由PAD=120，得PAO=60，在RtPAO中，PO=PAsinPAO=2sin60=2=，BAO=120，BAO=60，AO=AO，PAOBAO，BO=PO=，E，F分别是PA，BD的中点，EF=，EF是PBD的中位线，PB=2EF=2=，P
4、B2=PO2+BO2，POBO，ADBO=O，PO平面ABCD，又PO平面PAD，平面PAD平面ABCD（2）以O为原点，OB为x轴，OD为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，A（0，1，0），P（0，0，），B（，0，0），D（0，3，0），E（0，），F（，），=（0，），=（，0），易得平面ABCD的一个法向量=（0，0，1），设平面ACE的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，-，1），设锐二面角的平面角的大小为，则cos=|cos|=，锐二面角E-AC-D的余弦值为4（四川省宜宾市2019届高三第三次诊断性考试数学理）如图，在四棱锥中，平面，二面角为为中点（1）求证：；（
5、2）求与平面所成角的余弦值【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）证明：作SA中点F，连接EFE为SD中点得平行四边形平面为二面角的平面角 （2）作AB中点O，由（1）知 平面如图建立空间直角坐标系设，则设平面SCD的法向量，得令 ，则AB与平面所成角的余弦值为.5（安徽省黄山市2019届高三毕业班第三次质量检测数学理）如图，在以为顶点的五面体中，面为正方形，且二面角与二面角都是.（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）面ABEF为正方形又，而,面,面面（2），则由（1）知面平面，过作，垂足为，平面以为坐标原点，的方向为轴正方
6、向，为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系 由（1）知为二面角的平面角，故，又，则， 由已知，平面又平面平面，故，由，可得平面，为二面角的平面角，设是平面的法向量，则，即，可取 . 则直线与平面BCE所成角的正弦值为 . 6（湖南省师范大学附属中学2019届高三考前演练（五)数学（理）在五边形AEBCD中，C，（如图）.将ABE沿AB折起，使平面ABE平面ABCD，线段AB的中点为O(如图）.（1）求证：平面ABE平面DOE；（2）求平面EAB与平面ECD所成的锐二面角的大小.【答案】（1）见解析（2）45【解析】（1）由题意，O是线段AB的中点，则.又，则四边形OBCD为平行四边形，又，则
7、，因，则.，则AB平面EOD.又平面ABE，故平面ABE平面EOD. （2）由（1）易知OB，OD，OE两两垂直，以O为坐标原点，以OB，OD，OE所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，EAB为等腰直角三角形，且AB=2CD=2BC，则，取，则O（0，0，0），A（-1，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），E（0，0，1），则，设平面ECD的法向量为，则有取，得平面ECD的一个法向量，因OD平面ABE.则平面ABE的一个法向量为，设平面ECD与平面ABE所成的锐二面角为，则，因为，所以，故平面ECD与平面ABE所成的镜二面角为45. 7（河北省保定市2019
8、年高三第二次模拟考试理）如图，已知四棱锥中，四边形为矩形，.（1）求证：平面；（2）设，求平面与平面所成的二面角的正弦值.【答案】（1）见证明；（2）【解析】（1）证明： BCSD ，BCCD则BC平面SDC, 又则AD平面SDC，平面SDC SCAD又在SDC中，SC=SD=2, DC=AB，故SC2+SD2=DC2则SCSD ，又所以 SC平面SAD （2）解：作SOCD于O，因为BC平面SDC,所以平面ABCD平面SDC，故SO平面ABCD以点O为原点，建立坐标系如图. 则S(0,0,),C(0，,0), A(2，-,0),B(2，,0) 设E(2,y,0),因为所以 即E(2,0) 令
9、，则，令，则，所以所求二面角的正弦值为8（陕西省西安市2019届高三第三次质量检测理）如图，在三棱柱中，平面，是的中点，.（1）证明：；（2）若，求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】解：（1）证明：连接，因为在中，所以所以，因为所以，又平面，且平面，所以，所以平面，因为平面，所以（2）以为原点建立如图所示空间直角坐标系，则，所以，设平面的法向量为，设平面的法向量为，则，取，则，取所以，即二面角的平面角的余弦值为9（河南省重点高中2019届高三4月联合质量检测数学理）在四棱锥中，底面为平行四边形，平面平面，是边长为4的等边三角形，是的中点.（1）求证：；（2）若直线与平面
10、所成角的正弦值为，求平面 与平面所成的锐二面角的余弦值.【答案】(1)见证明；(2) 【解析】（1）因为是等边三角形，是的中点，所以.又平面平面，平面平面，平面，所以平面.所以，又因为，所以平面.所以.又因为，所以.又且，平面，所以平面.所以.（2）由（1）得平面.所以就是直线与平面所成角.因为直线与平面所成角的正弦值为，即，所以.所以，解得.则.由（1）得，两两垂直，所以以为原点，所在的直线分别为，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则点， ，所以，.令平面的法向量为，则由得解得令，可得平面的一个法向量为； 易知平面的一个法向量为， 设平面与平面所成的锐二面角的大小为，则.所以平面与平面所成的
11、锐二面角的余弦值为.10（天津市北辰区2019届高考模拟考试数学理）如图，在四棱柱中，侧棱底面，且点和分别为和的中点（I）求证：平面；（II）求二面角的正弦值；（III）设为棱上的点，若直线和平面所成角的正弦值为，求的长。【答案】（I）见解析（II）（III）【解析】（I）以为原点，建立如下图所示的空间直角坐标系：则，平面的法向量又， ，面 面（II）设面的法向量，且，令，则， 设面的法向量，且，令，则， 即二面角的正弦值是（III）设，则又面的法向量，解得：或（舍），即11（东北三省三校（辽宁省实验中学、东北师大附中、哈师大附中)2019届高三第三次模拟考试数学理）如图四棱锥中，底面，是边长
12、为2的等边三角形，且，点是棱上的动点.（I）求证：平面平面；（）当线段最小时，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（I）证明见解析；（）【解析】（）证明：底面，底面， 取的中点，连接，是等边三角形，点共线，从而得，又，平面，平面，平面平面. （）解：取中点，连接，则，底面，两两垂直以为原点如图建立空间直角坐标系，则，,设平面的法向量为，由，得，令，得设，则，当时，有最小值，且，此时设直线与平面所成角为，则，直线与平面所成角的正弦值为12（安徽省蚌埠市2019届高三年级第三次教学质量检查考试数学理）如图，在以为顶点，母线长为的圆锥中，底面圆的直径长为2，是圆所在平面内一点，且是圆的切线，连接交圆
13、于点，连接，.（1）求证：平面平面；（2）若是的中点，连接，当二面角的大小为时，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】解：（1）是圆的直径，与圆切于点，底面圆，平面，.又在中，平面，从而平面平面.（2） ，为二面角的平面角， ，如图建立空间直角坐标系，易知，则，由（1）知为平面的一个法向量，设平面的法向量为， ， ，即故平面的一个法向量为，. 平面与平面所成锐二面角的余弦值为.13（北京市房山区2019年高考第一次模拟测试数学理）如图1，在矩形ABCD中，AB4，AD2，E，F，O分别为DC，AE，BC的中点以AE为折痕把ADE折起，使点D到达点P的位置，且平面PAE平面ABCE（如图2）（）求证：BC平面POF；（）求直线PA与平面PBC所成角的正弦值；（）在线段PE上是否存在点M，使得AM平面PBC？若存在，求的值；若不存在，说明理由【答案】（）见解析；（）；（）见解析【解析】（）在矩形ABCD
