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1、1.1变化率与导数（教学设计）（1）111 变化率问题教学目标：知识与技能目标： 了解导数概念的实际背景，了解变化率和平均变化率的概念。过程与方法目标： 通过问题探索、观察分析、归纳总结等方式，引导学生从变量和函数的角度来描述变化率，为导数概 念的产生奠定基础。情感、态度与价值观目标： 通过学习本节课，培养学生的动手能力、合作学习能力，在对实际问题分析的过程中，体会数学的科 学价值、应用价值和文化价值，形成良好的思维品质和锲而不舍的铁钻研精神。教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率； 教学难点：平均变化率的概念教学过程：一创设情景、新课引入为了描述现实世界中运动、过程等变化着
2、的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了 微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的 工具。导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度 二师生互动、新课讲解（一）问题提出问题 1 气球膨胀率将班内同学平均分成4 组，每组发一只气球，各有一位同学负责将气球吹起，其他同学观察气球在吹 起过程中的变化，并做好准备回答以下问题：（1）气球在吹起过程中，随着吹入气体的增加，它的膨胀速度有何变化？（2）你认为膨胀速度与哪些量有关系？（3）球的体积公式是什么？有哪些基
3、本量？（4）结合球的体积公式，试用两个变量之间的关系来表述气球的膨胀率问题？ 总结：可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象 呢?4气球的体积V（单位:L）与半径r（单位:dm）之间的函数关系是V（r） = 3兀r3如果将半径r表示为体积V的函数，那么r（V）二*3：分析：r（V） - 3：4， 当V从0增加到1时，气球半径增加了 r一 r（0）沁0.62（dm）气球的平均膨胀率为r(1) - r(0)1 - 00.62(dm / L) 当V从1增加到2时，气球半径增加了 r一 r（1）沁0.16（dm）气球的平均膨胀率为r (2) r (1)2
4、10.16(dm / L)可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了 思考：当空气容量从 V1 增加到 V2 时，气球的平均膨胀率是多少 ? r（V ）-r（V）2 V - V21SCH南极数学人教A版选修2-2第一单元导数及其应用同步教学设计 问题2高台跳水在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t (单位：s)存在函数关系 h(t)= -4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速v度粗略地描述其运动状态？思考计算：0 t 0.5和1 t 2的平均速度V在 0 t 0.5 这段时间里，v = h(= 4.05(m/s)；0.5 -
5、 0在1 t 2这段时间里，v =虫弓一= -8.2(m/s)2 - 1探究：计算运动员在0 t 65这段时间里的平均速度，并思考以下问题:49运动员在这段时间内使静止的吗？ 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？ 探究过程：如图是函数h(t)= -4.9t2+6.5t+10的图像，结合图形可知，h(69)= h(0),_ h(4|) - h(0)所以 v =FE= 0(s/m)，竺-0491)虽然运动员在0 t 0(B) AxvO (C) Ax=0(D) Ax丰 05已知函数=2x2-4的图象上一点：1一：及附近一点:丄匕人一 ：-：!,贝忙;；等于()A.4C.4+2 A xB
6、.4xD.4+2【-X ：【解析】选 C. y=2(1 + Ax)2-4-2Xl2+4 =4Ax+2(Ax)2,y 2|3所以匚4+2 x-6.函数 f(x)=x2在x0 到 xo+Ax之间的平均变化率为ki,在x0-Ax到x0之间的平均变化率为k，则 ki,的大小关系是(A.kk1 2C.k =k1 2【解析】选D.因为kB.kk1 2D.无法确定=:=2x +x,1 0耳址“-学口 一皿=2x0-5又Ax可正可负且不为零，所以k , k的大小关系不确定.1 2【误区警示】本题易因对平均变化率的定义式理解不透而导致错选C.B组:1.水经过吸管从容器甲中流向容器乙，ts后容器甲中水的体积V(t)=5X2-0.it(单位：cm3)，则第一个10s内V的平均变化率为cm3/s.-o.ixa【解析】第一个10s内V的平均变化率=10-0=-0.25(cm3/s).答案：-0.252、(tbll500803)函数y=3x2-2x-8在X=3处有增量Ax=0.5，求f(x)在X到X+ Ax上的平均变化率。 (答：17.5)
