最优捕鱼策略原稿

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1、最优捕鱼策略摘要为了保护人类赖以生存的的自然环境，可再生资源(如渔业，林业资源)的 开发必须适度，本文主要研究在可持续的发展前提下，并对问题进行合理的假设， 建立非线性规划模型来寻求最优捕鱼策略，以达到最大总获量。对于问题 1，首先，我们根据死亡率的定义以及它的量纲，运用微积分知识 推导得到各年龄组鱼的数目与时间和死亡率的关系，得到 1、2 年龄组鱼的数目 X (t)与时间t (年)和死亡率a的关系：ix (t) = x (0) x e-at(a 01 t 0, i = 1,2)ii及3、4龄鱼的数目X (t)与时间t、死亡率a和捕捞强度系数a的关系：iif2x (0) x e-(a+aj)t

2、- t 0,i3x (t) = 0, i = 3,4)1 x (-) xe-at(t-3)1 t i 33然后，我们假设以年作为捕鱼的单位时间，孵化时间在9月，并且在每年末 进行捕鱼，以年收获总量为目标函数，以初始各年龄组鱼的数目，捕捞强度系数 为决策变量，以可持续性发展为约束条件，建立非线性规划模型。最后，用 lingo 软件编程得结果如下表：！对于问题2，首先假设仍然以年作为捕鱼的单位时间，孵化时间在9月，在 每年末进行捕鱼，并且每年的捕捞强度系数不变。然后结合问题1，提出各年龄 鱼的数目的时间递推算法，以5年的总收获量为目标函数，捕捞系数为决策变量， 并规定第6年的产卵量不少于第1年产卵

3、量的 90%作为约束条件来反映该鱼群的 生产能力不受太大破坏，建立非线性规划模型。用 lingo 软件编程得到结果： 最优解为每年 3，4 龄鱼的捕捞系数分别为 ,，可获得最优值最大收获量为 0.1599797 x 1013克。本文最后还对模型进行检验、合理的评价和推广。关键词：非线性优化；捕捞系数与死亡率；最大收获量一、问题的提出为了保护人类赖以生存的自然环境，可再生资源（如渔业、林业资源）的开 发必须适度，一种合理、简化的策略是，在实现可持续收获的前提下，追求最大 产量或最佳效益。考虑对某种鱼（鱼题 T 鱼）的最优捕捞策略：假设这种鱼分4个年龄组，称1龄鱼，理龄鱼。各年龄组每条鱼的平 均重

4、量分别为,（克），各年龄组鱼的自然死亡率均为（1/年），这种鱼为季节性 集中产卵繁殖，平均每条4龄鱼的产卵量为1.109x 105个，3龄鱼的产卵量为这 个数的一半，2龄鱼和1 龄鱼不产卵，产卵和孵化期为每年的最后4个月，卵孵 化并成活为 1 龄鱼， 成活率（1 龄鱼条数与产 卵 总量 n 之比）为 1.22 x 1011 /（1.22 x 1011 + n）。渔业管理部门规定，每年只允许在产卵孵化期前的 8 个月内进行捕捞作业。 如果每年投入的捕捞能力（如渔船数、下网次数等）固定不变，这时单位时间捕 捞量将与各年龄组鱼群条数成正比，比例系数不妨称捕捞强度系数，通常使用 13mm 网眼的拉网，

5、这种网只能捕捞 3 龄鱼和 4 龄鱼，其两个捕捞强度系数之比 为:1，渔业上称这种方式为固定努力量捕捞。建立和求解合理的数学模型，回答下列问题：1、建立数学模型分析如何实现可持续捕获（即每年开始捕捞时渔场中各年 龄组鱼群条数不变），并且在此前提下得到最高的年收获量（捕捞总重量）。2、某渔业公司承包这种鱼的捕捞业务 5 年，合同要求5 年后鱼群的生产能 力不能受到太大破坏。已知承包时各年龄组鱼群的数量分别为：122, （X 10 9 条），如果仍用固定努力量的捕捞方式，该公司应采取怎样的策略才能使总收获 量最高。二、问题的分析 问题一要求建立数学模型分析如何实现可持续捕获，在此前提下得到最大的

6、年收获量。这是一个优化问题，需要建立优化模型来解决，首先我们确定我们的 目标函数是使年收获量达到最大；而决策的变量有捕捞度系数 a 、a ，初始时34各年龄组鱼的数目x（0）（i=1,2,3,4）。题目中提到自然死亡率，根据相关资料i查询和推导出原题中死亡率1的定义空。=ax（t）由此积分可得dtx（t） = x（0）e -at，再进一步结合死亡率和捕捞强度系数可得：lim X)一 班心)=(a + k)x(t)toAt由此积分求解得：x(t) = x(0)e-(a + k)t ,得到单位时间内的捕获量为k - x(t) = k - x(0)e-(a+k)t其中k为3、4龄鱼捕捞系数。但是结合

7、考虑第二问的问题和在较合理条件下，我们假设以年作为捕鱼的单 位时间，并且在每年末进行捕鱼，根据题意列出目标函数和约束条件，用相应的 工具解决该非线性规划问题，得出优化结果。问题二要求在 5 年后鱼群的生产能力不能收到太大破坏的前提下，仍用固定 努力量的捕捞方式，该公司应采用怎样的策略才能使得总收获量最大。问题 2 是在问题1 的基础上再进一步的扩展，仍然是一个优化问题，初始各年龄组的数 目已知，目标函数是使得5年的总收益达到最大，决策变量为 3,4龄鱼每年的捕 捞强度系数，约束条件是要求五年后鱼群的生产能力不受到太大的破坏，即3、 4 龄鱼的数目不发生太大改变，我们假定一个合理的界限为约束条件

8、，假设第 6 年的产卵量不少于第 1 年产卵量的 90%，该鱼群的生产能力不受到太大的破坏。三、模型的假设1、假设该种鱼分为四种年龄组， 1， 2， 3， 4 龄鱼，且各年龄组每天鱼的重量 分别为：,11,55，,(克)，不考虑 4 龄鱼以上年龄组的鱼；2、不考虑鱼群的迁入和迁出等因素对鱼群数量的影响；3、假设各年龄组的死亡率为(1/年)；4、假设以年为捕鱼时间单位；5、假设平均每条4龄鱼的产卵量为1.109xl05个，3龄鱼的产卵量为这个数的一 半，2 龄鱼和 1 龄鱼不产卵，孵化期在 9 月，孵化后成活为 1 龄鱼，成活率为1.22x1011 .1.22 x 1011 + n 6、假设生产

9、能力不受太破坏的标准为第 6 年的产卵量不少于第 1 年产卵量的 90%。四、符号说明x (t): t时刻第i龄鱼的数量(i = 1,2,3,4)ia ：3 龄鱼的捕捞度系数3a ：4 龄鱼的捕捞度系数4m :平均每条4龄鱼的产卵量，m为1.109x105 ；n ：总产卵量a ： 年死亡率W ：年收获量(捕获总重量)耳：孵化的成活率五、模型的建立与求解问题1模型的建立与求解5.1.1 模型的准备已知各龄鱼的自然死亡率为(1/年)，根据死亡率的定义，得到(t + At)时刻 鱼群数量的减少量，占t时刻鱼群数量的比例，即x(t) - x(t + At)7=b x(t)但b表示死亡数目占总数的多少，

10、与各龄的自然死亡率的单位(1/年)，即前者 无量纲，后者有量纲，而且鱼的死亡是一个瞬时连续的过程，无时无刻都在发生At取一个极小的时间间隔，当At T 0时，得到瞬时死亡率a，即x(t) - x(t + At )lim= aAt TOAt - x (t)根据微分定义可得:两边同时积分:dx(t)dt= ax(t )x(t ) = x(0) eat当t = 0时，有x(t) = x(O)，即该年龄组鱼群的鱼年初的初始数量。而对3、4龄鱼在前8个月被捕捞的情况下，综合考虑捕捞和死亡率可得到: x(t)x(t+At)lim= (a + k) x(t)At T0At即：两边同时积分:如=(a + k)

11、 x(t) dtx(t ) = x(0) e (a+k )t得到3、4龄鱼前8个月的数量与时间t、捕捞系数a之间的关系为: ix(t ) = x (0) e ( a+ai)ti综上，1、2龄鱼的数量与时间、死亡率的关系为：【x (t) = x (0) - e -at(a 0,1 t 0, i = 1,2)ii3、4龄鱼的数量与时间、死亡率、捕捞率的关系为：x (t ) =ix (0) e-(a+apti3 i 0,2at (t ) e 31 i 3,(a 0, i = 3,4)5.1.2模型一的建立与求解问题1要求在实现可持续捕获的前提下，获得最高的年收获量。因此对于问题1我们建立优化模型来解

12、决，以年收获量w为目标，可持续发展和实际条件为约 束条件(即各年龄组的数量条数在第2年初不改变)。根据实际捕鱼情况，我们假 设以年为单位时间进行捕捞，由此来计算年收获总重量。设初始的各龄鱼的数目 为 x (0)、 x (0)、x (0)、x (0)， 3， 4龄鱼的捕获强度系数分别为 a 、a 且123434a /a = 0.42 ； m为平均每条4龄鱼的产卵量，根据假设知m = 1.109x 105； n为产34卵总量。2由于捕捞过程只能在1到8月(0 t -)进行，而且只能捕获3、4龄鱼，所以可以得到任意时刻捕获量为a x(t)，由积分可得捕获总重量为:i2J 3 a x (t)dt04

13、4W = 17.86 J3 a x (t)dt + 22.99 03 3运用数学积分方法可得捕鱼总重量:%a x (0)2(丄)a x (0)2(丄、W = 17.86 31 e-3(a+a3) + 22.99 一 41 e-3(a+a4)a+aa+a34根据假设只有3、4龄鱼可以产卵，且平均每条3、4龄鱼产卵数目分别为1 m、2m，且产卵时间为九月初，由此可得产卵数目：1 2 2n = mx (0)e3(a+叩 + mx (0)e3(a叫)234孵化成活率：1.22x1011 x n耳=a x(0)4 4a+a1 e-3( a+a4)1.22 x1011 + n 综上，建立非线性规划模型：m

14、ax W = 17.86 3 叮0) 1 e -3(叽+ 22.99 a+a3/c、1.22 x 1011 x nx (0)=1 1.22 x 1011 + n1.22 x1011 x n x e-a x (0) = x (1)=2 11.22 x 1011 + n1 2 2n = mx (0)e-3(a+ mx (0)e-3(a+a4)234s.t x (0) = x (1) = x (0)e-a3222/、 1x (0) = x =x (0)e-3(a+a3)(1 + e-3a)433a = 0.42a34a = 0.82）3）4）5）6）7）m = 1.109 x 1058）约束条件说明：1.条件（1），（2），（4），（5）表示分别表示年末1,2,3,4龄鱼的数量与第一年初 各年龄鱼数目相等；2.条件（3）表示在产卵期的产卵总量；3.条件（6）表示3龄鱼的捕捞强度系数与4龄鱼捕捞强度系数的关系； 4.条件（7）表示年死亡率为；5.条件（8）表示平均每条4龄鱼的产卵量。通过运用lingo软件编程运行得出结果如下图1：Local 口ptxhiaL solution faund.Objective value:Total aolvex iterations:3887a76E十VariableValueReduced Cost