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1、抛物线问题典型例题一例 1 指出抛物线的焦点坐标、准线方程（1） x2 = 4y（2） x = ay2（a 丰 0）分析：（1）先根据抛物线方程确定抛物线是四种中哪一种，求出P,再写出焦点 坐标和准线方程（2）先把方程化为标准方程形式，再对a进行讨论，确定是哪一种后，求p及 焦点坐标与准线方程解:（1）0 p = 2,焦点坐标是（0,1）,准线方程是：y = -111（2）原抛物线方程为：y2 = x, 2p二 a 当a 0时，刍=丄，抛物线开口向右，2 4 a焦点坐标是（丄,0），准线方程是：x =-丄4a4a 当a 0，则k -1 .TAB中点横坐标为：宁=灶=2 解得：k = 2或k =
2、 -1 （舍去）.故所求直线方程为：y = 2x-2 .解法二：设A（ J人）、B（x2,叮，则有晋二8Xjy22 二 8X2 -y 812 二x x y + y121 2AB 明与/i -0f L .-V.W -S CV TW|.i两式作差解：（丁打（人+ y2）= 8（x1 一 x2），即y0 x + x = 4 y + y = kx 一 2 + kx 一 2 = k(x + x ) 一 4 = 4k 一 4 ,1 2 1 2 1 2 1 2 8k =故 k = 2 或 k = -1 (舍去)4k 一 4则所求直线方程为：y = 2x-2 .典型例题三例3 求证：以抛物线的焦点弦为直径的圆
3、心与抛物线的准线相切分析：可设抛物线方程为y2二2px（po）.如图所示，只须证=MMJ，则以AB为直径的圆，必与抛物线准线相切.证明：作AA丄l于A , BB丄l于B .M为AB中点，作MM丄l1 11 1 1于M贝9由抛物线的定义可知：|AAJ = |AFI，|BBj = BF在直角梯形BB1A1A中：MM J = 2 (| AAJ+IBBJ) = (| AF+|BF|) = g | AB= 2|AB|，故以AB为直径的圆，必与抛物线的准线相切.说明：类似有：以椭圆焦点弦为直径的圆与相对应的准线相离，以双曲线焦点弦为直径的圆与相应的准线相交典型例题四例4 (1)设抛物线y2二4x被直线y
4、= 2x + k截得的弦长为3、第，求k值.(2)以(1)中的弦为底边，以x轴上的点P为顶点作三角形，当三角形的面积为 9 时，求 P 点坐标分析：(1)题可利用弦长公式求k，(2)题可利用面积求高，再用点到直线距离 求 P 点坐标y 2 = 4 X解:(1 )由 得：4x2 + (4k - 4)x + k 2 二 0I y = 2 x + k=J5l-k )2 k 2 = v 5(1 - 2k)设直线与抛物线交于A(x”)与B里,叮两点则有：珥+ x2 = I-k，% - x2 =弓AB = J(1 + 22)(x - x )2 = 5*x + x )2 一 4x x|AB| 二 3、污,J
5、5(1 - 2k)二 35，即 k = -4(2) 0 Sa = 9，底边长为3爲,三角形高h二竺9二竺5A355T点P在X轴上，设P点坐标是(x ,0)0则点P到直线y = 2 x - 4的距离就等于h,即& % 一 一 4 =722 +125x =一1或x二5，即所求P点坐标是(-1, 0)或(5, 0) 00典型例题五例5已知定直线l及定点A (A不在l上)，n为过A且垂直于l的直线，设N为l上任一点，AN的垂直平分线交n于B，点B关于AN的对称点为P,求证P的 轨迹为抛物线分析：要证 P 的轨迹为抛物线，有两个途径，一个证明 P 点的轨迹符合抛物线的定义，二是证明P的轨迹方程为抛物线的
6、方程，可先用第一种方法，由A为定 点，l为定直线，为我们提供了利用定义的信息，若能证明PA二PN且PN丄l即 可证明：如图所示，连结 PA、PN、NB由已知条件可知：PB垂直平分NA,且B关于AN的对称点为P .AN也垂直平分PB 则四边形PABN为菱形即有PA二PN .0 AB 丄 1. PN 丄 1.则P点符合抛物线上点的条件：到定点A的距离与到定直线的距离相等，所以P 点的轨迹为抛物线.典型例题六例6若线段PP为抛物线C: y2二2px(p 0)的一条焦点1 2112弦，F为C的焦点，求证：-zr + -； = PF PF p1 2 1分析：此题证的是距离问题，如果把它们用两点间的距离表
7、示出来，其计算量是很大的我们可以用抛物线的定义, 巧妙运用韦达定理，也可以用抛物线的定义与平面几何知 识，把结论证明出来证法一：0 F(,0)，若过F的直线即线段PP所在直线斜率不存在时,2 1 2则有 PF = PF = p J1 1PF2PFi112= + =PPP若线段花所在直线斜率存在时，设为k,则此直线为：y = k（x -护丰0），且设 P1(x1, y1),P2(x2, y2)y = k (x -彳)k 2 2由 得：k 2x2 - p (k 2 + 2)x + = 0y = k (x - -|)4.x+ x= p(k 2+2)12 k 2p2x - x =-1 2 4根据抛物线
8、定义有：|学| = x1+ I，|p2F = x1+ I，.置1 = x1+ x2 + P1pF11+PF2PF + PF12PF PFl1 2 1x +x + p12-(x +1+f)1 = 2Px +x +p12P /、 P2x x +(x + x ) +-12 2 1 2 4请将代入并化简得：PF1证法二：如图所示，设P匚、PF2F点在C的准线l上的射影分别是P、P、F,且不妨设|pp| = n 0），过焦点F的弦AB的倾斜角为 焦点弦长为|AB| =旦-sm2 a分析：此题做法跟上题类似，也可采用韦达定理与抛物线定义解决问题证法一：抛物线y2二2px（p 0）的焦点为（-P ,0）,过
9、焦点的弦AB所在的直线方程为：y = tan a （x -彳）/ P、y = tan a （x -一）由方程组2丿消去y得：y 2 = 2 px求证：4x 2 tan 2 a - 4 p (tan2 a) + p 2 tan2 a = 0设 A, yB （,打），则p (tan2 a + 2)x + x =12tan2 a=p (1 + 2cot2 a)又 y1 y2 = tana (珥 - x2)p2x - x =-124|AB| =、- (1 + tan2 a)(x - x )212:+ x )2 - 4x x1 2 1 2=(1 + tan2=|(1 + tan2 a) p2(1 + c
10、ot2 a) - 4 - Il4=、.sec2 a - 4p2 cot2 a (1 + cot2 a)1=4 p 2 -sin4 a=2 psin2 a即 AB =sm2 a证法二：如图所示，分别作AA、BB1垂直于准线l 由抛物线定义有：AF = |AA I = AF - cos a + p |BF| = |BB | = p - |BF| - cos a于是可得出：时=匚釜|BF| =P1 + cos a.|AB| = |AF + BF|典型例题八例8已知圆锥曲线C经过定点P(3,2J3)，它的一个焦点为F (1, 0),对应于该 焦点的准线为x = -1，过焦点F任意作曲线C的弦AB,若弦
11、AB的长度不超过& 且直线AB与椭圆3x2 + 2y2二2相交于不同的两点，求(1) AB的倾斜角0的取值范围.(2) 设直线AB与椭圆相交于C、D两点，求CD中点M的轨迹方程.分析：由已知条件可确定出圆锥曲线C为抛物线，AB为抛物线的焦点弦，设其 斜率为k,弦AB与椭圆相交于不同的两点，可求出k的取值范围，从而可得0的 取值范围，求CD中点M的轨迹方程时，可设出M的坐标，利用韦达定理化简 即可解:(1)由已知得PF = 4 故P到x = -1的距离d二4，从而pF = d曲线C是抛物线，其方程为y2二4x .设直线AB的斜率为k,若k不存在，则直线AB与3x2 + 2y2二2无交点.k存在设
12、AB的方程为y = k(x-1)I y 2 = 4 x由可得：ky2 - 4y -4k = 0I y = k (x1)4y y = -412设A、B坐标分别为(xr y1)、 W，y2)，则：带y2 =示1| AB = ：( +込)(儿-歹2)2、1 + k2=(y + y )2 - 4y yk121 2=4(1 + k 2)k2弦AB的长度不超过8 4(11k2) 1由y-k(x 1得：(2k 2 + 3) x 2 - 4k 2 x + 2( k 2 -1)二 013x 2 + 2 y 2 = 2TAB与椭圆相交于不同的两点， k2 1 和 k2 3 可得：1 k 3 或- k -1故 1 tan 0 y 3 或-、 3 tan 0 -1又ook ,所求0的取值范
