概率论与数理统计电子教案

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1、第一章 随机事件及其概率概率论与数理统计是从数量化的角度来研究现实世界中一类不确定现象（随机现象）规律性的一门应用数学学科，本章介绍的随机事件与概率是概率论中最基本、最重要的概念之一.1.1 随机事件一、随机试验1确定性现象:必然发生或必然不发生的现象。 在正常的大气压下，将纯净水加热到100时必然沸腾,向上抛一石子必然下落，异性电荷相互吸引，同性电荷相互排斥等 2随机现象:在一定条件下我们事先无法准确预知其结果的现象，称为随机现象.掷一颗骰子，可能出现1，2，3，4，5，6点,抛掷一枚均匀的硬币，会出现正面向上、反面向上两种不同的结果.3随机现象的特点：人们通过长期实践并深入研究之后，发现这

2、类现象在大量重复试验或观察下，它的结果却呈现出某种统计规律性.概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的一门学科.4. 随机试验 为了对随机现象的统计规律性进行研究,就需要对随机现象进行重复观察, 我们把对随机现象的观察称为随机试验, 并简称为试验，记为. 5.随机试验具有下列特点:1. 可重复性: 试验可以在相同的条件下重复进行;2. 可观察性: 试验结果可观察,所有可能的结果是明确的;3. 随机性(不确定性): 每次试验出现的结果事先不能准确预知. ，但可以肯定会出现所有可能结果中的一个.二、随机事件1.样本点：随机试验中的每一个可能出现的试验结果称为这个试验的一个 样本点,记作. 2样本

3、空间：全体样本点组成的集合称为这个随机试验的样本空间，记为.(或)即例1:：投掷一枚硬币，观察正面，反面出现的情况，则样本空间为：将一枚硬币连抛两次，观察正面，反面出现的情况，则样本空间为：将一枚硬币连抛两次，观察正面出现的次数，则样本空间为：记录某电话台在一分钟内接到的呼叫次数，则样本空间为：已知某物体长度在10与20之间，测量其长度，则样本空间为：在一大批灯泡中任取一只，测试其使用寿命，则样本空间为注：1)在 中，虽然一分钟内接到电话的呼叫次数是有限的，不会非常大，但一般说来，人们从理论上很难定出一个次数的上限，为了方便，视上限为，这种处理方法在理论研究中经常被采用2)样本空间的元素是由试

4、验的目的所确定的，如和中同是将一枚硬币连抛两次，由于试验的目的不一样，其样本空间也不一样3随机事件：我们称试验的样本空间的子集为的随机事件，简称事件，在随机试验中，可能出现也可能不出现，而在大量重复试验中具有某种规律性.一般用，等大写字母表示事件设为一个事件，当且仅当试验中出现的样本点时，称事件在该次试验中发生如：在抛掷一枚均匀硬币的试验中，“正面向上”是一 个随机事件，可用正面向上表示掷骰子，“出现偶数点”是一个随机事件，试验结果为2，4或6点， 可用B2，4，6表示注: 要判断一个事件是否在一次试验中发生，只有当该次试验有了结果以后才能知道1)基本事件 ：仅含一个样本点的随机事件称为基本事

5、件.如:抛掷一颗骰子，观察出现的点数，那么“出现1点”、“出现2点”,.,“出现6 点”为该试验的基本事件 2)必然事件：样本空间本身也是的子集，它包含的所有样本点，在每次试验中必然发生，称为必然事件即必然发生的事件.如：“抛掷一颗骰子，出现的点数不超过6”为必然事件. 3)不可能事件：空集也是的子集，它不包含任何样本点，在每次试验中都不可能发生，称为不可能事件不可能发生的事件是不包含任何样本点的. 如：“掷一颗骰子，出现的点数大于6”是不可能事件.三、事件间的关系与运算研究原因：希望通过对简单事件的了解掌握较复杂的事件 研究规则：事件间的关系和运算应该按照集合之间的关系和运算来规定 事件间的

6、关系及运算与集合的关系及运算是一致的.1 子事件、包含关系 ,2相等事件:若事件发生必然导致事件发生，且若事件发生必然导致事件发生， 即 A=B注：事件与事件含有相同的样本点 例如：在投掷一颗骰子的试验中，事件“出现偶数点”与事件“出现2，4或6点”是相等事件。3和事件或并事件， 4、积事件或交事件， .5、事件的差，.注：例如，在例1的中，若记，则， 6、互斥或互不相容.事件A和随机B不能同时发生.注：.推广：设事件满足称事件是两两互不相容的.7对立事件或互逆事件 若事件和事件中有且仅有一个发生，即则事件和事件为互逆事件或对立事件。记的对立事件为 注:互逆事件必为互斥事件，反之，互斥事件未必

7、为互逆事件事件的关系与运算可用图来直观的表示注: 事件的运算满足如下基本关系， 若，则， ，（）8、完备事件组:设是有限或可列个事件,若其满足，则称是样本空间的一个完备事件组或一个划分.注:与构成一个完备事件组.四、随机事件的运算规律幂等律: 交换律: 结合律： 分配律: 德摩根De Morgan定律: 例2： 一名射手连续向某个目标射击三次，事件表示该射手第次射击时击中目标（），试用表示下列各事件（1）前两次射击中至少有一次击中目标；（2）第一次击中目标而第二次未击中目标；（3）三次射击中，只有第三次未击中目标；（4）三次射击中，恰好有一次击中目标；（5）三次射击中，至少有一次未击中目标；（

8、6）三次射击都未击中目标；（7）三次射击中，至少两次击中目标；（8）三次射击中，至多一次击中目标解:分别用表示（1），（2），（8）中所给出的事件（1）（2）或（3）（4）（4）或（6）（7）(8) 备讲例2：甲，乙，丙三人各射一次靶，记“甲中靶” “乙中靶” “丙中靶” 则可用上述三个事件的运算来分别表示下列各事件： (1) “甲未中靶”： (2) “甲中靶而乙未中靶”： (3) “三人中只有丙未中靶”： (4) “三人中恰好有一人中靶”： (5)“ 三人中至少有一人中靶”： (6)“三人中至少有一人未中靶”： 或(7)“三人中恰有兩人中靶”： (8)“三人中至少兩人中靶”： (9)“三人均

9、未中靶”： (10)“三人中至多一人中靶”： (11)“三人中至多兩人中靶”： 或注：用其他事件的运算来表示一个事件, 方法往往不惟一，如上例中的(6)和(11)实际上是同一事件，读者应学会用不同方法表达同一事件, 特别在解决具体问题时,往往要根据需要选择一种恰当的表示方法.例3如图所示电路中，“灯亮”，分别表示“开关，闭合” ， 这是因为，如果 发生，即开关，同时闭合，则整个电路接通，于是灯亮，即发生，所以,同理如果发生，即 或 中至少一个发生，则整个电路接通，于是灯亮，即发生，所以反之，如果发生，即灯亮，则 或中至少有一个发生，所以由事件相等的定义，课堂练习1. 设当事件与同时发生时也发生

10、, 则 ( C )(A) 是的子事件; (B)或(C) 是的子事件; (D) 是的子事件.2. 设事件甲种产品畅销, 乙种产品滞销, 则的对立事件为 (D).(A) 甲种产品滞销,乙种产品畅销;(B) 甲种产品滞销;(C) 甲、乙两种产品均畅销;(D) 甲种产品滞销或者乙种产品畅销.1.2频率与概率随机事件在一次随机试验中是否会发生，事先不能确定，但希望知道它发生可能性的大小这里先引入频率的概念，进而引出表征事件在一次试验中发生的可能性大小的数字度量概率一、频率及其性质1定义1在相同条件下重复进行了次试验，如果事件在这次试验中发生了次，则称比值为事件发生的频率，记作它具有下述性质: 非负性规范

11、性有限可加性频率的大小表示了在次试验中事件发生的频繁程度频率大，事件发生就频繁，在一次试验中发生的可能性就大，反之亦然因而直观的想法是用频率来描述在一次试验中发生的可能性的大小2 频率的稳定性随机事件在相同条件下重复多次时，事件发生的频率在一个固定的数值附近摆动，随机试验次数的增加更加明显,事件的频率稳定在数值，说明了数值可以用来刻划事件发生可能性的大小，可以规定为事件的概率二、概率的统计定义定义2对任意事件，在相同的条件下重复进行次试验，事件发生次，从而事件发生的频率，随着试验次数的增大而稳定地在某个常数附近摆动,那么称为事件的概率上述定义称为随机事件概率的统计定义在实际应用时，往往可用试验

12、次数足够大时的频率来估计概率的大小，且随着试验次数的增加，估计的精度会越来越高在实际中，我们不可能对每一个事件都做大量的试验，然后求得事件发生的频率，用以表征事件发生的概率为此给出概率的严格的公理化定义三、概率的公理化定义定义3 设是随机试验，是它的样本空间，对的每一个事件赋予一个实数，记为，若满足下列三个条件：（1）非负性对每一个事件，有；（2）规范性对于必然事件，有（3）可列可加性设是两两互不相容的事件，有则称为事件发生的概率四、概率的性质性质1性质2.有限可加性：设是两两互不相容的事件,则有 即若则性质3.对任一随机事件，有 性质4.设是两个事件,若 则，证明因为，从而有），且由性质2得

13、所以由于，因此性质5：对任意事件.性质6(减法公式)：对事件,则证明由于，而根据性质4可得性质7:对任意两个事件，有推广:证明:因为且，由性质2及性质4得 一般地,设为n个随机事件，则有 此公式称为概率的一般加法公式。例1：设 求(1) ; (2) ; (3) ; (4) .解: (1)(2);(3) (4) 例2：设， 求事件全不发生的概率。解： 因为,所以,而所以练习:设事件A、B的概率分别为1/3、1/2，求在下列三种情况下的值（1）A与B互不相容 （2） （3）P（AB）=1/8解：（1）由已知得=P（B）=1/2（2）=P（B）-P（A）=1/6（3）=P（B-A)=P(B-AB)=

14、P(B)-P(AB)=3/81.3 古典概型与几何概型一、古典概型我们称具有下列两个特征的随机试验模型为古典概型（1）随机试验只有有限个可能的结果；（2）每一个结果发生的可能性大小相同古典概型又称为等可能概型 设试验是古典概型，样本空间为，则基本事件，两两互不相容，且由于及，因此若事件包含个基本事件，即其中是中某个不同的数，则有 即二、 计算古典概率的方法1基本计数原理：(1). 加法原理：设完成一件事有种方式,其中第一种方式有种方法，第二种方式有种方法，,第种方式有种方法，无论通过哪种方法都可以完成这件事,则完成这件事的方法总数为.(2). 乘法原理：设完成一件事有个步骤,其中第一个步骤有种方法，第二个步骤有种方法，第个步骤有种方法；完成该件事必须通过每一步骤才算完成，则完成这件事的方法总数为 .2. 排列组合方法(1) 排列公式：从n个不同元素中任取