正交试验设计方法

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1、水平因素温度。C压力Pa加碱量kg符号TPm1T (80 )P1(5.0)m 1(2.0)2T2(100)P2(6.0)m2(2.5)3T3(120)P3(7.0)m3(3.0)表5 1因素水平第 5 章 正交试验设计方法51 试验设计方法概述试验设计是数理统计学的一个重要的分支。多数数理统计方法主要用于分析已经得到 的数据，而试验设计却是用于决定数据收集的方法。试验设计方法主要讨论如何合理地安 排试验以及试验所得的数据如何分析等。例 5-1 某化工厂想提高某化工产品的质量和产量，对工艺中三个主要因素各按三个水 平进行试验（见表 5-1）。试验的目的是为提高合格产品的产量，寻求最适宜的操作条件

2、。对此实例该如何进行试验方案 的设计呢？很容易想到的是全面搭配法方 案（如图 5-1 所示）：此方案数据点分布的均匀性极 好，因素和水平的搭配十分全面，唯 一的缺点是实验次数多达33 = 27次 （指数 3 代表3 个因素，底数 3 代表 每因素有 3 个水平）。因素、水平数 愈多，则实验次数就愈多，例如，做一个6 因素3 水平的试验，就需36=729次实验，显然 难以做到。因此需要寻找一种合适的试验设计方法。试验设计方法常用的术语定义如下。 试验指标：指作为试验研究过程的因变量，常为试验结果特征的量（如得率、纯度等） 例 1 的试验指标为合格产品的产量。因素：指作试验研究过程的自变量，常常是

3、造成试验指标按某种规律发生变化的那些 原因。如例 1 的温度、压力、碱的用量。水平：指试验中因素所处的具体状态或情况，又称为等级。如例 1 的温度有3 个水平 温度用T表示，下标1、2、3表示因素的不同水平，分别记为TT2、T3。常用的试验设计方法有：正交试验设计法、均匀试验设计法、单纯形优化法、双水平 单纯形优化法、回归正交设计法、序贯试验设计法等。可供选择的试验方法很多，各种试验设计方法都有其一定的特点。所面对的任 务与要解决的问题不同，选择的试验设计方法也应有所不同。由于篇幅的限制，我们只讨 论正交试验设计方法。52 正交试验设计方法的优点和特点用正交表安排多因素试验的方法，称为正交试验

4、设计法。其特点为：完成试验要求 所需的实验次数少。数据点的分布很均匀。可用相应的极差分析方法、方差分析方法、 回归分析方法等对试验结果进行分析，引出许多有价值的结论。从例 1可看出，采用全面搭配法方案，需做27次实验。那么采用简单比较法方案又如 何呢？先固定T和P,只改变m观察因素m不同水平的影响，做了如图2-2(1)所示的三 次实验，发现m=m2时的实验效果最好(好的用 口 表示)，合格产品的产量最高，因此 认为在后面的实验中因素m应取m2水平。图5 2简单比较法方案固定-和皿?，改变p的三次实验如图5-2 (2)所示，发现p = p时的实验效果最好，1 23因此认为因素p应取p水平。3固定

5、P和皿2，改变T的三次实验如图5-2 (3)所示，发现因素T宜取T水平。322因此可以引出结论：为提高合格产品的产量，最适宜的操作条件为Tp m。与全面搭配232法方案相比，简单比较法方案的优点是实验的次数少，只需做 9 次实验。但必须指出，简 单比较法方案的试验结果是不可靠的。因为，在改变m值(或p值，或T值)的三次实 验中，说m (或p或T )水平最好是有条件的。在T MT , p Hp时，m水平不是最好2 32112的可能性是有的。在改变m的三次实验中，固定T =T , p =p应该说也是可以的，是23随意的，故在此方案中数据点的分布的均匀性是毫无保障的。用这种方法比较条件好坏 时，只是

6、对单个的试验数据进行数值上的简单比较，不能排除必然存在的试验数据误差的 干扰。运用正交试验设计方法，不仅兼有上述两个方案的优点，而且实验次数少，数据点分 布均匀，结论的可靠性较好。正交试验设计 方法是用正交表来安排试验的。对于例1适用的正交 表是L9 (34)， 其试验安排见表 5-2。所有的正交表与 L9 (34)正交表一样，都具有以下两个特点：(1) 在每一列中，各个不同的数字出现的次数相同。在表L9 (34)中，每一列有三 个水平，水平1、 2、 3都是各出现3次。(2) 表中任意两列并列在一起形成若干个数字对，不同数字对出现的次数也都相同。 在表L9(34)中，任意两列并列在一起形成的

7、数字对共有9个：(1,1 )，(1,2)，(1,3)，(2,1)，2,2），（2,3），（3,1），（3,2），（3,3），每一个数字对各出现一次。表 5 2 试验安排表列号1234试验号因素温度。C压力Pa加碱量kg符号Tpm11(T1)1 (P1)1 (m1)121（人）2（p2）2（m2）231(T3（p3）3（m3）342（T2）1 (P1)2（气）352（T2）2（p2）3（m3）162（T2）3 (p3)1 (m1)273 (T3)1 (P1)3（m3）283 (T3)2（p2）1 (m1)393 (T3)3 (P3)2叫1这两个特点称为正交性。正是由于正交表具有上述特点，就保证了

8、用正交表安排的试 验方案中因素水平是均衡搭配的，数据点的分布是均匀的。因素、水平数愈多，运用正交 试验设计方法，愈发能显示出它的优越性，如上述提到的 6 因素 3 水平试验，用全面搭配 方案需729次，若用正交表L27 （313）来安排，则只需做27次试验。在化工生产中，因素之间常有交互作用。如果上述的因素T的数值和水平发生变化 时，试验指标随因素p变化的规律也发生变化，或反过来，因素p的数值和水平发生变化 时，试验指标随因素T变化的规律也发生变化。这种情况称为因素T、p间有交互作用，记 为 TXp。5 3 正交表使用正交设计方法进行试验方案的设计，就必须用到正交表。正交表请查阅有关参考书5.

9、3.1 各列水平数均相同的正交表各列水平数均相同的正交表，也称单一水平正交表。这类正交表名称的写法举例如下：L9 (34)各列水平均为 2 的常用正交表有：L4（23），L8（27），L12（211 ），L16 （215），L20（219），48121620L （231）。32 各列水平数均为 3 的常用正交表有： L9（34），L27（313）。 各列水平数均为 4 的常用正交表有： L16（45）各列水平数均为3的常用正交表有：L25 (56)5.3.2 混合水平正交表各列水平数不相同的正交表，叫混合水平正交表，下面就是一个混合水平正交表名称 的写法：L8 (41X24)2水平列的列数为4

10、4水平列的列数为1实验的次数正交表的代号L 8(41 X24)常简写为L 8 (4X24)。此混合水平正交表含有1个4水平列，4个2水88平列，共有1+4=5列。5.3.3 选择正交表的基本原则一般都是先确定试验的因素、水平和交互作用，后选择适用的 L 表。在确定因素的水 平数时，主要因素宜多安排几个水平，次要因素可少安排几个水平。(1) 先看水平数。若各因素全是2水平，就选用L(2*)表；若各因素全是3水平，就 选L(3*)表。若各因素的水平数不相同，就选择适用的混合水平表。(2) 每一个交互作用在正交表中应占一列或二列。要看所选的正交表是否足够大，能 否容纳得下所考虑的因素和交互作用。为了

11、对试验结果进行方差分析或回归分析，还必须 至少留一个空白列，作为“误差”列，在极差分析中要作为“其他因素”列处理。(3) 要看试验精度的要求。若要求高，则宜取实验次数多的L表。(4) 若试验费用很昂贵，或试验的经费很有限，或人力和时间都比较紧张，则不宜选 实验次数太多的L表。(5) 按原来考虑的因素、水平和交互作用去选择正交表，若无正好适用的正交表可选， 简便且可行的办法是适当修改原定的水平数。(6) 对某因素或某交互作用的影响是否确实存在没有把握的情况下，选择L表时常为 该选大表还是选小表而犹豫。若条件许可，应尽量选用大表，让影响存在的可能性较大的 因素和交互作用各占适当的列。某因素或某交互

12、作用的影响是否真的存在，留到方差分析 进行显著性检验时再做结论。这样既可以减少试验的工作量，又不致于漏掉重要的信息。5.3.4 正交表的表头设计所谓表头设计，就是确定试验所考虑的因素和交互作用，在正交表中该放在哪一列的 问题。(1) 有交互作用时，表头设计则必须严格地按规定办事。因篇幅限制，此处不讨论， 请查阅有关书籍。(2) 若试验不考虑交互作用，则表头设计可以是任意的。如在例5-1中，对L9 (34) 表头设计，表 5-3 所列的各种方案都是可用的。但是正交表的构造是组合数学问题，必须满 足 5.2 中所述的特点。对试验之初不考虑交互作用而选用较大的正交表，空列较多时，最好仍与有交互作用时

13、一样，按规定进行表头设计。只不过将有交互作用的列先视为空列，待表5- 3 L9 （ 3 4）表头设计方案列号12341TPm空方案2空Tpm3m空Tp4pm空T试验结束后再加以判定。54 正交试验的操作方法（1）分区组。对于一批试验，如果要使用几台不同的机器，或要使用几种原料来进行， 为了防止机器或原料的不同而带来误差，从而干扰试验的分析，可在开始做实验之前，用L 表中未排因素和交互作用的一个空白列来安排机器或原料。与此类似，若试验指标的检验需要几个人（或几台机器）来做，为了消除不同人（或 仪器）检验的水平不同给试验分析带来干扰，也可采用在L表中用一空白列来安排的办法。 这样一种作法叫做分区组

14、法。（2）因素水平表排列顺序的随机化。如在例 5-1中，每个因素的水平序号从小到大时， 因素的数值总是按由小到大或由大到小的顺序排列。按正交表做试验时，所有的 1 水平要 碰在一起，而这种极端的情况有时是不希望出现的，有时也没有实际意义。因此在排列因 素水平表时，最好不要简单地按因素数值由小到大或由大到小的顺序排列。从理论上讲， 最好能使用一种叫做随机化的方法。所谓随机化就是采用抽签或查随机数值表的办法，来 决定排列的别有顺序。（3）试验进行的次序没必要完全按照正交表上试验号码的顺序。为减少试验中由于先 后实验操作熟练的程度不匀带来的误差干扰，理论上推荐用抽签的办法来决定试验的次序。（4）在确

15、定每一个实验的实验条件时，只需考虑所确定的几个因素和分区组该如何取 值，而不要（其实也无法）考虑交互作用列和误差列怎么办的问题。交互作用列和误差列 的取值问题由实验本身的客观规律来确定，它们对指标影响的大小在方差分析时给出。（5）做实验时，要力求严格控制实验条件。这个问题在因素各水平下的数值差别不大 时更为重要。例如，例5-1中的因素（加碱量）m的三个水平：血=2.0, m=2.5，m3=3.0, 在以m=m=2.5为条件的某一个实验中，就必须严格认真地让mR.5。若因为粗心和不负 责任，造成m2=2.2或造成m2=3.0,那就将使整个试验失去正交试验设计方法的特点，使极 差和方差分析方法的应用丧失了必要的前提条件，因而得不到正确的试验结果。