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1、近世代数一、单项选择题1、若 A=1, 2, 3, 5, B=2, 3, 6, 7,则 AnB =()A、1，2，3，4B、2，3，6，7C、2,3D、1,2,3,5,6,7答案：C2、循环群与交换群关系正确的是()A、循环群是交换群C、循环群不一定是交换群答案：A3、下列命题正确的是( )A、n次对换群Sn的阶为n!C、交换环一定是域答案：A4、关于陪集的命题中正确的是B、交换群是循环群D、以上都不对B、整环一定是域D、以上都不对()设円是G的子群，那么A、对于 FaH, bH,有 aH n bH或 aH = bHB、aH = H o a g HC、aH = bH o a-ib g HD、以
2、上都对答案：D5、设A=R (实数域)，B=R+ (正实数域)f :a-10a ag A则f 是从A到B的()A、单射B、满射C、一 一映射D、既非单射也非满射答案：D6、有限群中的每一个元素的阶都（ ）A、有限C、为零答案：A7、整环（域）的特征为（）A、素数C、有限答案：D8、若S是半群，则（）B、无限D、为1A、任意a，b，c e S,都有 a(bc) = (ab)cC、必有单位元答案：A9、在整环Z中，6的真因子是（A、1,6B、无限D、或素数或无限B、任意 a，b G S，都有 ab=baD、任何元素必存在逆元）B、 2,3C、 1,2D、 3,6答案：B10、偶数环的单位元个数为（
3、）A、0个B、1个C、2个D、无数个答案：A11、设A , A，,A和D都是非空集合，而f是A x A xx A到D的一个映射,1 2 n 1 2 n那么（ ）A、集合A ,A，,A ,D中两两都不相同；1 2 nB、A , A , , A 的次序不能调换；1 2 nC、A x A xx A中不同的元对应的象必不相同；1 2 nD、一个元（a ,a，,a ）的象可以不唯一。1 2 n答案：B12、指出下列那些运算是二元运算（ ）A、在整数集Z上,7 a + ba。b =abB、在有理数集Q上，a。b =闷；C、在正实数集R +上，a。b = a In b ；D、在集合4e Z|n 0）上,a。
4、b = |a - b|答案：D13、设。是整数集Z上的二元运算，其中a。b = max L,bl （即取a与b中的最大 者），那么。在Z中（ ）A、不适合交换律；B、不适合结合律；C、存在单位元；D、每个元都有逆元。答案：C14、设（G,。）为群，其中G是实数集，而乘法。：a。b = a + b + k，这里k为G中固定的常数。那么群（G,。）中的单位元e和元x的逆元分别是（）A、0 和 -x ； B、1 和 0； C、k 和 x-2k ； D、-k 和-（x + 2k）。答案：D15、设a,b,c和x都是群G中的元素且x2a = bxc-1,acx = xac，那么x =（）A、 bc-1a
5、-1；B、 c-1a-1；C、 a-1bc-1；D、 b-1ca 。答案：A16、设H是群G的子群，且G有左陪集分类扫,aH,bH,cH。如果6,那么G的阶 |G| =（）A、 6；B、 24；C、 10；D、 12。答案： B17、设f : G T G是一个群同态映射，那么下列错误的命题是（）A、 f 的同态核是 G 的不变子群；B、G的不变子群的逆象是G的不变子群；21C、G的子群的象是G的子群；12D、G的不变子群的象是G的不变子群。12答案：D18、设f : R T R是环同态满射，f （a） = b，那么下列错误的结论为（）A、若a是零元，则b是零元；B、若a是单位元，则b是单位元；
6、C、若a不是零因子，则b不是零因子；D、若R是不交换的，则R不交换。21答案： C19、 下列正确的命题是（）A、欧氏环一定是唯一分解环；B、主理想环必是欧氏环；C、唯一分解环必是主理想环；D、唯一分解环必是欧氏环。答案： A20、若I是域F的有限扩域，E是I的有限扩域，那么（）A、（E : I ）=（ : I ）6 : F ）；B、（F : E ）=G : F ） : I ）；C、G : F）=（ : F） : I）；D、（E : F）=（ : I）6 : F）答案：D二、填空题1、集合A的一个等价关系需满足自反性、对称性和（）。答案：传递性2、设A,B都为有限集，且同=m B = n，则I
7、AXB =（）.答：mn3、设R是集合A=平面上所有直线上的关系：l1 Rl2 l1 12 或 11 二12（12 e A），则 R （）等价关系。答：是4、设群G中的元素a的阶为m,则an = e的充要条件是（）。答:mn5、群G的非空子集H作成G的一个子群的充要条件是（）。答：Va，b & H,有 ab-i g H6、n次对称群Sn的阶是（）。答： n!）。答：n|H7、设G是有限群，H是G的子群，且H在G中的指数为n，则G =（8、设G是一个群,e是G的单位元，若a g g，且a=a,则（） 答：a=e9、最小的数域是（）答：有理数域10、设集合 A= 1,2,则 AXA二(),2A=(
8、）。答：（1, 1），（1，2），（2，1），（2，2），,1，11、设f是A的一个变换，S匸A，则 f -if & ）2，1，2)f f-1 & A。答：12、设Ri，R2是集合A上的等价关系，R1 R2）等价关系。答：13、若群G中每一个元素x都适合方程xn二e,则G是（）群。答：交换群14、n阶群G是循环群的充要条件是（）。答：G中存在n阶的元素15、设G，G是有限循环群，G= n,则G是G的同态象的充要条件是nm）。答:nm16、如果环R的乘法满足交换律，即Va，b G R，有ab = ba，则称R为（）环答:交换环17、数集关于数的加法和乘法作成的环叫做（）环。答:数环18、设有限域
9、F的阶为81，则的特征p =（）。答:319、已知群G中的元素a的阶等于50，则a4的阶等于（）。答:2520、一个有单位元的无零因子（）称为整环。答:交换环21、如果710002601 a是一个国际标准书号，那么a二（）。答:622、剩余类加群 Z 有 （ ）个生成元.12答:623、设群G的元a的阶是n，则ak的阶是（）答：n/（k,n） （ （k,n）表示k和n的最大公约数）24、6 阶循环群有 （ ）个子群.答：326、模 8 的剩余类环 Z 的子环有（ ） 个.8答：627、设集合 A = -1,0,1； B = 6,2，则有 B x A 二（）。答: （1,-1）, （1,0）,
10、（1,1）6,-1）,（2,0）,（2,1）28、如果f是A与A间的映射，a是A的一个元，则f -1fC）=（）。答： a29、设集合A有一个分类，其中A与A是A的两个类，如果A丰A，那么i j i jA A = （）oij答：031、凯莱定理说：任一个子群都同一个（）同构。答：变换群32、给出一个5-循环置换兀=（31425），那么兀-1 =（）。答: （13524 ）33、若I是有单位元的环R的由a生成的主理想，那么I中的元素可以表达为（ ）。答:工 x ay , x , y e Riiii34、若R是一个有单位元的交换环，I是R的一个理想，那么RI是一个域当且 仅当 I 是（ ）。答：一
11、个最大理想35、整环I的一个元p叫做一个素元，如果（）。答：p既不是零元，也不是单位，且q只有平凡因子36、若域F的一个扩域E叫做F的一个代数扩域，如果（）。答：E的每一个元都是F上的一个代数元三、判断题1、 设A与B都是非空集合，那么A o B =|x e A且x e b!（ X ）2、设A、B、D都是非空集合，则A x B到D的每个映射都叫作二元运算。（X ）3、只要f是A到A的映射，那么必有唯一的逆映射f -1。（V ）4、如果循环群G =（a）中生成元a的阶是无限的，则G与整数加群同构。（V ）5、 如果群G的子群H是循环群，那么G也是循环群。（X ）6、群G的子群H是不变子群的充要条
12、件为Vg g G,Vh g H; g -1Hg匸H。( V )7、如果环R的阶 2，那么R的单位元1主0。( V )8、 若环R满足左消去律，那么R必定没有右零因子。(V )9、F(x)中满足条件p(a ) = 0的多项式叫做元a在域F上的极小多项式。(X )10、若域E的特征是无限大，那么E含有一个与Z(p)同构的子域，这里Z是整数环，(p)是由素数p生成的主理想。(X )四、解答题1、A=数学系的全体学生，规定关系R：ab g a，aRb o。与方同在一个班级，证明R是A的一个等价关系。答案：自反性：自己与自己显然在同一个班级对称性：若a与b同在一个班级，显然b与a同在一个班级传递性：若a
13、与b同在一个班级，b与c同在一个班级，显然a与c同在一个班 级.2、在R中的代数运算。是否满足结合率和交换率？ a b = a + b + ab (等式右边指的是普通数的运算) 答：因为对于 Va, b, c g R，有(a b) c = (a + b + ab) c=6 + b + ab)+ c + (a + b + ab 丄=a + b + ab + c + ac + bc + abc,a(bc)= a(b+c+bc)= a+(b+c+bc)+a(b+c+bc)= a + b + ab + c + ac + bc + abc根据实数的加法与乘法的运算率得(a b)c=a(b c )又 a
14、b = a + b + ab = b + a + ba = b a。所以，R的代数运算。既满足结合率，又满足交换率。3、设集合 A 二昭,b, c, d , B 二c, d,/，求 A B, A B, A - B,(A - B) (B - A)。答案.A B = c, d, A B = a,b,c,d,e, U ClUA 一 B = a,b,( A 一 B) (B 一 A) = a, b, eu4、设 G = S3 = G,(12)(13)(23)(123)(132), H = G),(12),求 G 关于子群 H 的 左陪集分解。答： (1)H = (12)H = H ，(13)H = (123)H = (13),(123)，(23)H = (132)H = (23),(132)。因而， G
