从极限到微积分

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1、从极限到微积分第一部分：极限一、极限概念的发展分析数学中最基本的概念之一，用以描述变量在一定的变化过程中的终极状态。早在中 国古代，极限的朴素思想和应用就已在文献中有记载。例如,3 世纪中国数学家刘徽的割圆 术，就是用圆内接正多边形周长的极限是圆周长这一思想来近似地计算圆周率 的。随着 微积分学的诞生，极限作为数学中的一个概念也就明确提出。但最初提出的这一概念是含糊 不清的，因此在数学界引起不少争论甚至怀疑。直到19世纪，由A.-L柯西、K. （T.W.） 外尔斯特拉斯等人的工作，才将其置于严密的理论基础。之上，从而得到举世一致的公认。凡本质上与极限概念有关的数学分支统称为分析数学，以区别于完

2、全不用这一概念的代 数学。几何学的各分支绝大部分也直接或间接地与极限概念密切相关。极限可分为数列极限和函数极限，分别定义如下。首先介绍刘徽的割圆术,设有一半径为 1 的圆，在只知道直边形的面积计算方法的情 况下，要计算其面积。为此，他先作圆的内接正六边形，其面积记为A1，再作内接正十二 边形，其面积记为A2,内接二十四边形的面积记为A3,如此将边数加倍，当n无限增大时， An 无限接近于圆面积，他计算到 3072=6*2 的 9 次方边形，利用不等式 An+1A0，存在正数M （=a），使 得当 xM 时有：|f（x）-A| 0.999999=1?谁都知道1/3 = 0.333333，而两边同

3、时乘以3就得到1 =0.999999，可就是看 着别扭，因为左边是一个“有限”的数，右边是“无限”的数。2、“无理数”算是什么数?我们知道，形如根号 2 这样的数是不可能表示为两个整数比值的样子的，它的每一位都 只有在不停计算之后才能确定，且无穷无尽，这种没完没了的数，大大违背人们的思维习惯。结合上面的一些困难，人们迫切需要一种思想方法，来界定和研究这种“没完没了”的 数，这就产生了数列极限的思想。类似的根源还在物理中（实际上，从科学发展的历程来看，物理可能才是真正的发展动 力），比如瞬时速度的问题。我们知道速度可以用位移差与时间差的比值表示，若时间差趋 于零，则此比值就是某时刻的瞬时速度，这

4、就产生了一个问题：趋于无限小的时间差与位移 差求比值，就是0宁0,这有意义吗（这个意义是指“分析”意义，因为几何意义颇为直观, 就是该点斜率）？这也迫使人们去为此开发出合乎理性的解释，极限的思想呼之欲出。真正现代意义上的极限定义，一般认为是由魏尔斯特拉斯给出的，他当时是一位中学数 学教师，这对我们今天中学教师界而言，不能不说是意味深长的。二、极限理论读理工和经济的人都知道，从初等数学到高等数学的第一个坎就是微积分的极限理论。 对极限理论的理解和处理是专业学数学和其他科系学数学的分水岭之一，这就是微积分教学 中臭名昭著的数列极限 （伊普西龙）6 （德尔塔）理论（epsilon6 , 函数极限为e

5、psilonDelta理论）。这个 （伊普西龙） 6 （德尔塔）（De lta）理论诲涩难懂，令一拨刚从初等数学跳到高等数学的学生焦头烂额。包括数 学系的学生，一些人到了毕业，还对为什么要用如此抽象的 （伊普西龙）6 （德尔 塔）（De lta）理论极限来描述微积分的极限理论的不甚了了。以数列f（n）的极限 为L为例， （伊普西龙）6 （德尔塔）理论是这么表述的：对一个任意给定的实数 0（epsilon）,存在一个相应的正整数N,当nN时，|f（ n）L|V 成立。我们就认为L是f（n）的极限。微积分的极限理论的核心是，如果一个数列或函数无限地接近于一个常数，我们就说这 个数是这个数列或函数的

6、极限。由于可用原数列或函数减去极限常数而构造新的数列或函 数，问题就可变为“一个数列或函数无限地接近于0”，也就是微积分学的精髓无穷小量。 数学家以外的人一般就认为这个无穷小量就是0。这里关键的东西是“无限地接近于”的表 述。什么是无限地接近？一般人可以说就是要多近就有多近。在其他学科尤其是社会学科这 么讲也说得过去了，但是数学家对它不满意，他们是一群追求逻辑完美的人，这样含糊的定 性分析不能让他们止步。你说毛主席和林彪在文革开始不也是要多近就有多近吗，后来不是 照样掰了？数学家要的是完备的定量分析，这就是说，给你一个以0为极限的数列或函数， 凭什么来度量它和0“要多近就有多近”？ （伊普西龙

7、）一一6 （德尔塔）（De lta） 理论就是要给出一个判定准则。陈景润的讲座让众人耳目一新。他先引庄子天下篇的“一尺之棰，日取其半，万世 不竭。”说无限的思想从我们老祖宗那里就有啦。大家不是都说这个 （伊普西龙）一一6（德尔塔）（De lta）理论难懂吗？那现在我就用 （伊普西龙）6 （德尔塔）理 论来试试庄子这个中国命题，看看在座不是专门学数学的人能不能也听得懂这个 （伊普 西龙）一一6 （德尔塔）。几百人的大教室里座无虚席，鸦雀无声，都想见识一下陈景润怎 么剃这个刺头。陈景润说，“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”说的就是微积分学中的无 穷小，也就是每天切割棒棰，最后棒棰长度的极限为0。

8、（伊普西龙）一一6 （德尔塔） 理论翻译成庄子的话应该是，“一尺之棰，日取其半，切到某一天，没有了。”注意，这里 有和没有，决定于我们的观测水平。如果用肉眼看，可能分到5 0 0天就看不到了，我们就 认为没有了。但是换上一台显微镜来看，又可以看得到了。于是我们继续切，再切到10 0 00天，这台显微镜也看不到了。但是换上更高倍的显微镜，还是看得见。我们就继续切下 去。 （伊普西龙）一一6 （德尔塔）理论说的是，只要你给一个分辨率，不论是多么精确 的显微镜，我总能给一个天数，当分到那一天之后，你的观测工具就看不见了。于是，对任 何数列或函数，都用这把尺子去量，以分辨它的极限是不是0。满足这把尺子

9、，极限为0， 反之则不是。这就是 （伊普西龙）一一6 （德尔塔）理论无穷小一一极限为0的实质。 在“一尺之棰，日取其半，万世不竭”这个具体问题里，L=0； f（n） = 1/ （2n）： 等分一尺之棰n天以后的长度； :任意给出的长度(分辨率)；N：达到这个长度(分辨 率)所需要的天数。三、极限基本知识在微积分的入门课程中会首先接触到极限这个概念，在英文的 wikibook 中有一篇介绍 极限的文章，可作为入门的参考。这篇介绍文章包括了一些基本的概念，也介绍了极限在更 高级的数学领域中的应用。函数的极限：引子假设f(x)是一个实函数，C是一个实数，那么表示f(x)可以任意地靠近L,只要我们让x

10、充分靠近c。此时，我们说当x趋向c时， 函数f(x)的极限是L。值得特别指出的是，这个定义在的时候同样是成立的。事实上，即使 f(x)在c点没有定义，我们仍然可以定义上述的极限。以下两个例子或许对理解这个概念有所帮助：考虑函数在x趋向2的时候的性质，此时f(x)在x = 2这点是有定义的，f(2) = 0.4。f(f(1f(1.f(2.f(2f(1.9).99)999)(2)001).01)2.1)0.0.40.4000.390.30.412101201.4989883882当 x 趋向 2 的时候，函数值趋向 0.4，因此我们有极限。在这种情况下，即函数在某一 点的取值和当x趋向这一点的极限

11、值相同的时候，我们称f在x = c这一点是连续的。当然， 这是相当特殊的情况。考虑那么当x趋于2的时候，g(x)的极限与前面的f(x)相同，都是0.4。但是请注意，这就是说， g(x) 在 x = 2 是不连续。 或者考虑这样一个例子，使得 f(x) 在 x = c 时没有定义 当x趋于1时，f(x)是没有定义的，但极限存在，即：f(0.9)f(0.99)f(0.999)f(1.0)f(1.001).01)f(1f(1.1)1.1.91.99un2.002.02.9599def11010在的情况下，x可以任意靠近1,从而f(x)的极限为2。 实变量实值函数在有限处的极限：形式定义 形式上讲，极

12、限可以这样定义：命f是一个定义于包含c的开区间(或此开区间剔除c)上的实值函数，命L是一个实 数，那么表示对于任意的，都存在一个对应的使得：当 x 满足时总有成立。 实变量实值函数在无穷远处的极限 与函数趋于某个给定值时的极限概念相关的是函数在无穷远处的概念。这个概念不能从 字面上直接理解为， x 距离无穷远越来越小的状态，因为无穷不是一个给定的数，也不能比 较距离无穷的远近。因此，我们用 x 越来越大(如果讨论正无穷时)来替代。例如考虑.f(100) = 1.9802f(1000) = 1.9980f(10000) = 1.9998当x非常大的时候，f(x)的值会趋于2。事实上，f(x)与2

13、之间的距离可以变得任意小， 只要我们选取一个足够大的x就可以了。此时，我们称f(x)趋向于(正)无穷时的极限是2。 可以写为形式上，我们可以这样定义：当且仅当对于任意的，存在n使得只要x n总有。注意其中的n可能是与相关的。 类似地，我们也可以定义。如果考虑将 f 的定义域推广到扩展的实数轴，那么函数在无穷远的极限也可以看作在给 定点的极限的特例。实数序列的极限考虑这个序列(sequence)：通过观察可以发现，这一列数字趋向1.8,也就是我们所 说的极限。形式地讲，假设是一列实数，那么实数 L 称为这个序列的极限，即当且仅当对于任意的，存在一个自然数NO，使得对于任意的nNO,都有成立。注意

14、 这里的 N0 可能依赖于。直观地说，这就说明序列的元素(element)越来越靠近L,因为上面的绝对值也可以 用来刻画距离。当然这并不是说每一项都比前一项更为靠近。而且更一般地说，不是所有的 序列都有极限的。如果一个序列是有极限的，我们称其为收敛的，否则称为发散的。可以证 明，如果一个序列是收敛的，那么它有且仅有一个极限。事实上，序列的极限和函数(func tion)的极限之间的关系是相当密切的。一方面，序 列的极限可以直接理解为一个定义在自然数集合上的函数趋于无穷时候的极限。另一方面， 一个函数在 x 处的极限(如果存在)，与序列的极限是相同的。拓扑网的极限 在引入网的概念下，上述的定义可以毫无障碍地推广到任何拓扑空间。事实上，现代数 学中的极限概念就是定义在拓扑空间上的，上述的例子都是拓扑空间的具体化。第二部分：微积分公元前三世纪，古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下 面积和旋转双曲体的体积的问题中，就隐含着近代积分学的思想。作为微分学基础的极限理 论来说，早在古代以有比较清楚的论述。比如我国的庄周所著的庄子一书的“天下篇” 中，记有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。三国时期的刘徽在他的割圆术中提到“割之 弥