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1、全等三角形中做辅助线技巧要点大汇总口诀：三角形图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现 角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看 线段垂直平分线，常向两端把线连。线段和差及倍半，延长缩短可试验 线段和差不等式，移到同一三角去。三角形中两中点，连接则成中位线 三角形中有中线，延长中线等中线。一、由角平分线想到的辅助线口诀:图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。角平分线具有两条性质：a、对称性；b、角平分线上的点到角两边的距离相 等。对于有角平分线的辅助线的作法，一
2、般有两种。从角平分线上一点向两边作垂线；利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）。通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下 考虑构造对称图形。至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。与角有关的辅助线（一）、截取构全等如图1-1 , /AOC=BOC如取OE=OF并连 接DE DF,则有OEDizOFD从而为我们证 明线段、角相等创造了条件。例1. 如图 1-2, AB/CD, BE平分/ BCD CE平分/ BCD点E在AD上，求证：BC=AB+GD例2. 已知：如图 1-3, AB=2AC /BAD= / CAD DA=DB 求证 DC! A
3、C例3. 已知：如图1-4,在4ABC中，/ C=2Z B,AD平分/ BAC求证：AB-AC=CD分析：此题的条件中还有角的平分线，在证明 中还要用到构造全等三角形，此题还是证明线段的 和差倍分问题。用到的是截取法来证明的，在长的 线段上截取短的线段，来证明。试试看可否把短的 延长来证明呢？练习1. 已知在 ABC中，AD平分/ BAC /B=2/C,求证：AB+BD=AC2. 已知：在 ABC中，/CAB=Z B, AE平分/ CA皎 BC于 E, AB=2AC求证：AE=2CE3. 已知：在 ABC中,ABAC,AN/ BAC的平分线，M为AD上任一点。求证：BM-CMAB-AC4. 已
4、知：D是4ABC的/BAC勺外角的平分线AD上的任一点，连接DBDG 求证：BD+CDAB+AC（二）、角分线上点向角两边作垂线构全等过角平分线上一点向角两边作垂线，利用角平分线上的点到两边图2-1距离相等的性质来证明问题。例1.如图 2-1 ,已知 ABAD, / BACW FAC,CD=BC求证：/ ADC廿 B=180?分析：可由C向/BAD的两边作垂线。近而证/ ADC 与/B之和为平角。例2.如图 2-2,在 4ABC 中，/A=90?, AB=AC / ABDW CBDB图2-2C求证：BC=AB+AD分析：过D作DEL BC于E,则AD=DE=GE则构造出全等三角形，从而得证。
5、此题是证明线段的和差倍分问题，从中利用了相当于截取的方法。/ BAC例3.已知如图2-3, ABC的角平分线BM CN相交于点P。求证:2,已知在ABCt, / C=90?, AD 平分 / CAB CD=1.5,DB=2.5.求 AG3,已知：如图 2-5, /BACW CAD,ABA D CH AB,1AE=2 (AB+AD .求证：/ D+/ B=18024.已知：如图2-6,在正方形ABCLfr, E为CD的中点,F为BC上的点，/ FAEW DAE 求证：AF=AD+CF5. 已知：如图 2-7,在 RtAABC, / ACB=90?,CD_AB,垂足为 D, AE平分/ CA皎 C
6、DT F,过F作FH/AB交BC于H 求证CF=BH（三）：作角平分线的垂线构造等腰三角形从角的一边上的一点作角平分线的垂线，使之与角的两边相交, 则截得一个等腰三角形，垂足为底边上的中点，该角平分线又成为底 边上的中线和高，以利用中位线的性质与等腰三角形的三线合一的性 质。（如果题目中有垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另 一边相交）。例 1.已知：如图 3-1, / BADW DAC ABAC,CDAD于 D, H是 BC中点。可延长此垂线一一 1一求证：DH= (AB-AQ 2分析：延长CD交AB于点E,则可得全等三角形。问题可证。例2.已知：如图 3-2, AB=AC /BAC=
7、90? AD为/ABC的平 分线，CE! BE.求证：BD=2CE分析：给出了角平分线给出了边上的一点作角平分线的垂线, 与另外一边相交，近而构造出等腰三角形。例3.已知：如图3-3在4ABC中，AD. AE分别/ BAC的内、外角平分线,过顶点B作BFAD交AD的延长线于F,连结FC并延长交AE于M求证：AM=ME分析：由AD AE是/BAC内外角平分线，可得EA LAF,从而有BF/AE,所以想到利用比例线段证相等。例4.已知：如图3-4,在4ABC中，AD平分/ BAC AD=AB CMLAD交AD1延长线于 M 求证：AM= (AB+AC 2分析：题设中给出了角平分线AD,自然想到以A
8、D为轴作对称变换，作 AB1 一 一D关于AD的对称4AED然后只需证DM=EG另外 1_ 一，一由求证的结果AM= (AB+AC,即2AM=AB+AC也可 尝试作 AC岷于CM勺对称 FCM然后只需证DF=C F即可。练习：1. 已知：在 ABC中，AB=5 AC=3 D是BC中点，AE是/ BAC的平分线，且CELAE于E,连接DE,求DE2. 已知BE、BF分别是4ABC的/ ABC的内角与外角的平分线， AFBF于F, AE1 BE于E,连接EF分别交 AB AC于M N,求证MN=1 BC2（四）、以角分线上一点做角的另一边的平行线有角平分线时，常过角平分线上的一点作角的一边的平行线
9、，从而构造等腰三角形。或通过一边上的点作角平分线的平行线与另外一边的反向延长线相交， 从而也构造等腰三角形。如图4-1和图4-2所示。例 4 如图，ABAC, /1 = /2,求证：AB-ACBD-CD练习:如图,如图,BCBA BD平分 / ABC 且 AD=CD 求证：/ A+/ C=1明 CAB/ CD AE DE分另1J平分 / BA略Z ADAE51.已知，如图，/ C=2Z A, AC=2BC求证： ABCg直角工2,已知：如图，AB=2AC /1 = /2, DA=DB 求证：DAB+C D肾BECB由线段和差想到的辅助线A A B B3. 已知CE AD是ABC勺角平分线，/
10、B=60 ,求证：AC=A4,已知：如图在ABCt, /A=90 , AB=AC BD是/ ABC=AB+AD口诀:线段和差及倍半，延长缩短可试验。线段和差不等式，移到同一三角去。遇到求证一条线段等于另两条线段之和时，一般方法是截长补短法：4. 截长：在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等 于另一条；5. 补短：将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线 段等于长线段。对于证明有关线段和差的不等式，通常会联系到三角形中两线段之和大于第 三边、之差小于第三边，故可想办法放在一个三角形中证明。在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如直接证不出来，可连接两点或廷长某
11、边构成三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中, 再运用三角形三边的不等关系证明，如：例1、 已知如图1-1: D E为4ABC内两点，求证:AB+ACBD+DE+CE.证明：(法一)将DE两边延长分别交 AB AC于M N,在AAMhfr, AM+ANMD+DE+N日;)在ABDh/l, MB+MDBD2)在ACENfr, CN+NECE(3)由(1) + (2) + (3)得：AM+AN+MB+MD+CN+NEMD+DE+NE+BD+CE.AB+ACBD+DE+EC(法二：图 1-2)延长BD交AC于F,廷长CE交BF于G 在AABFffi GFCffi 仃口即有：AB+AFBD+D
12、G+GE角形两边之和大于第三边）(1)GF+FCGE+CE上)(2)DG+GED 加上)(3) 由(1) + (2) + (3)得：AB+AF+GF+FC+DG+GEBD+DG+GF+GE+CE+DE.AB+ACBD+DE+o EC二、在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内 角时如直接证不出来时，可连接两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在 某个三角形的外角的位置上，小角处于这个三角形的内角位置上， 再利用外角定 理:例如：如图2-1:已知D为4ABC内的任一点，求证：/ BDC2 BAC分析：因为/BDCf/BAC在同个三角形中，没有直接的联系，可适当添 加辅助线构造新的三角形，使/
13、BDCa于在外角白位置，/ BAC处于在内角的位 置；证法一：延长BD交AC于点E,这时/ BDCgC!勺外角，丁. / BDC DEC 同理/ DEC BAC : / BDC BAC证法二：连接AR并廷长交BC于F,这时/ BD支ZXABD的外角， ./ BDF/ BAD 同理，/ CDF/ CAD . . / BDF+/ CDF/ BAD它 CAD 即：/ BDC2 BAC注意：利用三角形外角定理证明不等关系时，通常将大角放在某三角形的外 角位置上，小角放在这个三角形的内角位置上，再利用不等式性质证明。三、有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形,如：例如：如图3-1 :
14、已知AD为4ABC的中线，且/ 1 二 /2,/3=/4,求证：BE+CFEF要证BE+CFEF可禾I用三角形三边关系定理证明，须把BE, CF, EF移到同一个三角形中，而由已知 / 1二/ 2,/3=/4,可在角的两边截取相等的线段，利用三角形全等对应边相等，把EN FN, EF移到同个三角形中。证明：在DNL1截取DN二DB连接NE，NF,贝U DN二DC在DBEffi 4NDE 中:DN二DB辅助线作法）/1 = /2 （已知）ED=ED（公共边） .DBEi ANDE （SAS BE=NE（全等三角形对应边相等）同理可得：CF=NF在4EFN中EN+FNEF三角形两边之和大于第三边）
15、BE+CFE F构造全注意：当证题有角平分线时，常可考虑在角的两边截取相等的线段, 等三角形，然后用全等三角形的对应性质得到相等元素。三、截长补短法作辅助线。例如：已知如图6-1:在ABC, ABAC /1=/ 2, P为AD上 任一点求证：AB-ACPB-RC分析|要证：AB-ACPB-PC想到利用三角形三边关系，定理证之，因为 欲证的线段之差，故用两边之差小于第三边，从而想到构造第三边AB-AG故可在AB上截取AN等于AG彳# AB-AC=BN再连接PN则PC=PN又在 PNB中， PB-PNPB-PC证明：（截长法）在AB上截取AN=AC 连接PN,在AAPN和AAPC中AN=AC （辅助线作法）/1= /2 （已知）AP=AP （公共边）ZAPNAPC （SAS） ,PC=PN （全等三角形对应边相等）在ZB
