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1、班級學號姓名第四章 根轨迹分析法习题K4-2单位回馈控制系统的开环传递函数G(S)=齐1，试用分析法绘出Kr从零变化到无穷时的死循环根轨迹图，并判断-2, jl, (-3+j2)是否在根轨迹上。解：K = 0时，s+1=0 n s = -1rK = 1时 s+2=0 n s = -2r-3-2 A oK = 2时，s+3=0 n s = -3 Yr43-2在根轨迹上，(-3+j2), jl不在根轨迹上。回馈控制系统的开环传递函数如下，K 0，试画出各系统的根轨迹图。r厂(、_ K (s +1.5)厂(、_ K(2) G(s) 一 r(3) G(s) 一 芍s (s +1)( s + 4)s(
2、s + 1)2解:(2)1) 开环零、极点：p1=0，p2=-1,p3=-4,z=-1.0, n=3，m=12) 实轴上根轨迹段：(0,-1), (-1.5, -4)3) 根轨迹的渐近线：渐近线(2条)交点 o = 0 一1 一 47一1.5)= -1 75,a2夹角申= (2k +1加=号= 90。a n 一 m24)分离点和会合点11 1 1 + + = d d + 1 d + 4 d + 1.5 试探法求得d = - 0.61) 开环零、极点：p1=0，p23=-1，n=32) 实轴上根轨迹段：(0,-1), (-1，-a)3) 根轨迹的渐近线：3)班級學號姓名渐近线(3条)交点o =匕
3、F1 = -2， a夹角申= (2k + D兀=色=60。,180a n - m34)分离点和会合点5)和虚轴交点：s3 + 2s2 + s + K = 0rS 3 11r2 K = 0rn K = 2, s = jr_ 、 K (s + 2)4-5系统的开环传递函数为G (s) = 丁s( s +1)(1) 画出系统的根轨迹，标出分离点和会合点；(2) 当增益K为何值时，复数特征根的实部为-2?求出此根。r解：(1)1)2)开环零、极点：p1=0，p2=-1 z=-2，n=2，m=1实轴上根轨迹段：(0,-1), (-2，gJA3)1+ =d d + 1 d + 2-3.414n d = 0
4、.586 ,d = 3.4141 2分离点和会合点1 1可以证明该根轨迹是一个半径为1.414，原点在-2(2)系统特征方程为s2 + (1 + K )s + 2K = 0rr-2班級學號姓名K4-6单位回馈系统的前向信道函数为G(s)二s(s + l)(s + 3)，为使死循环主导极点具有阻尼比= 0.5，试确定K的值。r解：系统的根轨迹如图：d=-0.45在根轨迹图上作射线：B =60和根轨迹相交点为S和s2 设相应两个复数死循环极点分别为：s = -0.5o + j0 86血1nns = 一053 一 j0866o2nn则死循环特征方程式可表示为（s 一 s ）（s 一 s ）（s 一
5、s ） = s 3 + s ）s 2 +（3 2 一 s o ）s 一 s O 2 = 00系统特征方程为s 3 + 4s 2 + 3s + K = 0r比较系数，得:ono2 一s o = 3n3ns o 2 = KonsR=0.75=3.25=1.8284-7控制系统的开环传递函数为G(s)=-s (s + 2)( s + 4)(1) 绘出该回馈系统的根轨迹图；(2) 求系统具有阻尼振荡响应的K取值范围；r(3) 系统稳定的K最大为多少？并求等幅震荡的频率；r(4) 求使主导极点具有阻尼比= 0.5时的K值，并求对应该值时,r 零极点形式的死循环传递函数。解：(1)1) 开环零、极点：p1
6、=0, p2=-2, p3=-4, n=32) 实轴上根轨迹段:(0,-2), (-4, y)3) 根轨迹的渐近线：班級學號姓名渐近线（3条）交点oa土(2k +1)兀n - m兀=3 = 60，180 4）分离点和会合点n d = 一0.845 ,d = 一4732(舍)1 2分离点对应的 K = 0.845 x 1.155 x 3.155 = 3.085)和虚轴交点：s3 + 6s2 + 8s + K = 0rs 31848 - K = 0rn K = 48,s = 土j2i 2prr（s）0系统具有阻尼振荡响应的K取值范围是：3.08 v K v 48 rr（3）系统稳定的K v 48，
7、等幅振荡频率为3 = 2 2r（4）同上题方法可求得： 阻尼比g = 5时k = 83,s = -467,s = -0.67 j1 15r31,28.3(s + 4.67)( s + 0.67 + j1.15)( s + 0.67 - j1.15)K4-8单位负反馈系统的开环传递函数为G（s） = s（s + l）（0.5s +1），用根轨迹分析系统的稳定性。解：1）开环零、极点：p1=0，p2=-1，p3=-2，n=3t2）实轴上根轨迹段:（0,-1）, （-2，y）3）根轨迹的渐近线：班級學號姓名渐近线（3条）交点o = 0一兰 =-1,a夹角申= （2k + D兀=色=60。,180a
8、n 一 m34）分离点和会合点1 1 1 0+ + = 0d d + 1 d + 2n d = 一0.356,d = 一 1.644（舍）1 25）和虚轴交点：s3 + 3s2 + 2s + 2K = 0r6 - 2 K2Kr2Kn K = 3, s = jrr1,2系统稳定的k取值范围是：0 v K v 3rrK4-9单位负反馈系统的开环传递函数为G(s)二(1 + o.0is)R1 + 0.02s)(1) 画出系统的根轨迹图；(2) 确定系统临界稳定时的开环增益； 确定和临界阻尼比相应的开环增益。5000K解： s) =班級學號姓名K * = 750000, K = 150r(3) 系统临界阻尼比时K * = 48112.5, K = 9.62r4-10系统的开环传递函数为G (s)= 2，试绘制系统在0 K 0,试画出系统的根轨迹，并分析增益对系统阻 r
