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1、高考资源网（） 您身边的高考专家高中数学总复习题组法教学案编写体例10.6 空间距离与角 新课标要求以棱柱、棱锥特别是长方体为载体，通过直观感知、操作确认直观认识和理解体会空间的点、线、面之间位置关系，抽象出空间点、线、面之间位置关系的定义。能用综合法、向量法解决空间线线、线面、面面的夹角与距离的计算问题。重点难点聚焦在几何体中考查线线、线面、面面的平行与垂直关系是重点，而有关线线角、线面角、二面角的求解是重中之重。难点是二面角的求法。熟练应用定义法、转化法求异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角的大小，求各种距离，特别是求点到平面距离。高考分析及预策 高考中常以棱柱、棱锥为载体，来考查空间
2、角与距离的有关问题。实质上各种距离与角之间具有一定的相互转化关系，特别是点面距，它是求线面距和面面距的基础。求点面距在高考中经常涉及到的方法有直接法、等体积转换、向量法等。空间角，能比较集中反映空间想象能力的要求，历来为高考命题者垂青，几乎年年必考，是高考的热点。线线角的求解是角度问题中的重点，找二面角的平面角是难点。09预测对常见模型进行适当修改，考查形式是以柱体、锥体为载体的有关的探索性、开放性和应用性问题。题组设计再现型题组 1(03年北京春季高考题) 如图，在正三角形ABC中，D，E，F分别为各边的中点， G，H，I，J分别为AF，AD，BE，DE的中点将ABC 沿DE，EF，DF折成
3、三棱锥以后，GH与IJ所成角的度数为 （ ）A90B60C45D02已知PA、PB、PC是三棱锥P-ABC的三条棱， PA=PB=PC，且PA，PB，PC夹角都是60，那么直线PC与平面PAB所成角的余弦值是 （ ）A B C D3设P是的二面角内一点，PA平面，PB平面 ，A、B为垂足，则AB的长为 （ ） （A） （B） （C） （D）4.（04年高考全国卷）已知球O的半径为1，A、B、C三点都在球面上，且每两点之间的球面距离均为，则球心O到平面ABC的距离为 （ ）(A) (B) (C) (D) 巩固型题组第5题图5已知所在的平面互相垂直，且，求：直线AD与平面BCD所成角的大小； 直线
4、AD与直线BC所成角的大小；二面角A-BD-C的余弦值第6题图6如图，ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AD、AB的中点、GC垂直于ABCD所在的平面，且GC=2，求：点B到平面EFG的距离.提高型题组BDPCA7.在四棱锥P-ABCD中，已知ABCD为矩形，PA 平面ABCD，设PA=AB=a，BC=2a，求二面角B-PC-D的大小。 反馈型题组8.ABCD是边长为2的正方形，以BD为棱把它折成直二面角ABDC，E是CD的中点，则异面直线AE、BC的距离为 （ ）A. B. C. D.19、在30的二面角a-l-b中，Pa，PQb，垂足为Q，PQ=2a，则点Q到平面a的距离为 。10设
5、PARtABC所在的平面，BAC=90PB、PC分别与成45和30角，PA=2，则PA与BC的距离是 ；点P到BC的距离是 .11.如右下图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知AB=4，AD=3，AA1=2。E、F分别是线段AB、BC上的点，且EB=BF=1。求直线EC1与FD1所成的角的余弦值。第9题图12. 如图，已知四棱锥的底面是直角梯形，侧面底面与是否相互垂直，请证明你的结论；求二面角的大小； 求证：平面平面 第12题图 13.如图，在三棱锥中，侧面与侧面均为等边三角形，为中点（）证明：平面；（）求二面角的余弦值第13题图14如图，四棱锥SABCD的底面是边长为1的正方形，SD
6、垂直于底面ABCD，SB= （1）求证BCSC； （2）求面ASD与面BSC所成二面角的大小； （3）设棱SA的中点为M，求异面直线DM与SB所成角的 大小10.6 空间距离与角（解答部分）再现型题组 【提示或答案】B【基础知识聚焦】平面图形转化为空间图形，利用平移法紧扣定义求异面直线之间的夹角【提示或答案】 D 【基础知识聚焦】求空间角先证后算，关键将空间的角和距离转化为平面上的角。本题紧扣线面角的定义，将所求量置于一个三角形内，通过解三角形最终得到所求。也可利用公式cos=coscos,其中是直线PC与平面PAB所成角，是面内直线PA与PC的射影所成的角，=BPA.3.【提示或答案】C 【
7、基础知识聚焦】用垂面法将二面角图形化，因四点共圆对角互补，由余弦定理求之4.【提示或答案】B【基础知识聚焦】本题利用球面距离概念，弧长公式，转化为直角三棱锥内接于球体，用等体积转化发求距离。第5题图巩固型题组 5. 【解法】如图，在平面ABC内，过A作AHBC，垂足为H，则AH平面DBC，ADH即为直线AD与平面BCD所成的角http:/ 由题设知AHBAHD，则DHBH，AH=DH，ADH=45BCDH，且DH为AD在平面BCD上的射影，BCAD，故AD与BC所成的角为90http:/ 过H作HRBD，垂足为R，连结AR，则由三垂线定理知，ARBD，故ARH为二面角ABDC的平面角的补角ht
8、tp:/ 设BC=a,则由题设知，AH=DH=,在HDB中，HR=a，tanARH=2故二面角ABDC的余弦值的大小为 【点评】:本题着眼于让学生掌握通性通法。几何法在书写上体现：“作出来、证出来、指出来、算出来、答出来”五步。斜线和平面所成的角是一个直角三角形所成的锐角，它的三条边分别是平面的垂线段、斜线段及斜线段在平面内的射影。因此求直线和平面所成的角，几何法一般先定斜足、再作垂线找射影、通过解直角三角形求解；向量法则利用斜线和射影的夹角或考虑法向量，设 为直线与平面所成的角，为直线的方向向量与平面的法向量之间的夹角，则有或（如图） 特别地 时，；时， ，或。用两面垂直的性质作垂线，找垂足
9、的位置作出线面角，利用三垂线定理证，利用对称性定义法作二面角。第5题变式图【变式与拓展】如图，BCD是等腰直角三角形，斜边CD的长等于点P到BC的距离，D是P在平面BCD上的射影.求PB与平面BCD所成角；.求BP与平面PCD所成的角.【解法】. PD平面BCD，BD是PB在平面BCD内的射影，PBD为PB与平面BCD所成角,BDBC，由三垂线定理得BCBD，BP=CD，设BC=a，则BD=a，BP=CD=a在RtBPD中，cosDBP= DBP=45, 即PB与平面BCD所成角为45.过B作BECD于E，连结PE，PD平面BCD得PDBE，BE平面PCD，BPE为BP与平面PCD所成的角,在
10、RtBEP中，BE=a, BP=a,BPE=30 即BP与平面PCD所成角为306.【解法一】直接作出所求之距离如图1，为了作出点B到平面EFG的距离，延长FE交的延长线于M， 连 结GM，作BNBC，交GM于N，则有BNCG，BN平面ABCD作BPEM，交EM于P，易证平面BPN平面EFG作BQPN，垂足为Q，则BQ平面EFG于 是BQ是点B到平面EFG的距离易知BN，BP，PZ，由BQPNPBBN，得BQ 图1 图2 一、不直接作出所求之距离，间接求之利用二面角的平面角 课本42第4题，46第2题、第4题给出了“二面角一个面内的一个点，它到棱的距离、到另一个面的距离与二面角的大小之间所满足
11、的关系”如图2，二面角M-CD-N的大小为，AM，ABCD，AB，点到平面的距离AO，则有asin中的也就是二面角的大小，而并不强求要作出经过AB的二面角的平面角图4图3【解法二】如图3，过B作BPEF，交FE的延长线于，易知BP，这就是点到二面角C-EF-G的棱EF的距离连结AC交EF于H，连结GH，易证GHC就是二面角C-EF-G的平面角 GC2，AC4，AH， CH3，GH，sinGHC，于是由得所求之距离BPsinGHC 解略 利用斜线和平面所成的角 如图4,为平面的一条斜线，与所成的角为，到平面的距离为，则由斜线和平面所成的角的定义可知，有经过与垂直的平面与相交，交线与所成的锐角就是
12、中的，这里并不强求要作出点在上的射影，连结得 【解法三】如图5，设为与的延长线的交点，作，为垂足又，易得平面平面，为它们的交线，所以就是与平面所成的角由，可得，在中，所以/，于是由得所求之距离 图5 图6利用三棱锥的体积公式【解法四】如图6，设点到平面的距离为，则三棱锥-的体积另一方面又可得这个三棱锥的体积，可求得，所以有3，得二、不经过该点间接确定点到平面的距离.利用直线到平面的距离确定【解法五】如图7，易证平面，所以上任意一点到平面的距离就是点到平面的距离由对称思想可知，取中点，求点到平面的距离较简单交于，交于易证平面平面，作，为垂足，为所求之距离图7 图8利用平行平面间的距离确定如图8，把平面补成一个正四棱柱的截面所在的平面，可使题设中的点、线、面之间的位置关系更加明朗面是正四棱柱
