《专题16 基本不等式（教师版）-2024年新高一（初升高）数学暑期衔接讲义》由会员分享，可在线阅读，更多相关《专题16 基本不等式（教师版）-2024年新高一（初升高）数学暑期衔接讲义（27页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、专题16 基本不等式 【知识点梳理】知识点一：基本不等式1、对公式及的理解.(1)成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数；(2)取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”.2、由公式和可以引申出常用的常用结论(同号)；(异号)；或知识点诠释： 可以变形为：，可以变形为：.知识点二：基本不等式的证明方法一：几何面积法如图，在正方形中有四个全等的直角三角形.设直角三角形的两条直角边长为、，那么正方形的边长为.这样，4个直角三角形的面积的和是，正方形的面积为.由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：.当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形缩为一个
2、点，这时有.得到结论：如果，那么(当且仅当时取等号“=”)特别的，如果，我们用、分别代替、，可得：如果，则，(当且仅当时取等号“=”).通常我们把上式写作：如果，(当且仅当时取等号“=”)方法二：代数法，当时，；当时，.所以，(当且仅当时取等号“=”).知识点诠释：特别的，如果，我们用、分别代替、，可得：如果，则，(当且仅当时取等号“=”).通常我们把上式写作：如果，(当且仅当时取等号“=”).知识点三：基本不等式的几何意义如图，是圆的直径，点是上的一点，过点作交圆于点D，连接、.易证，那么，即.这个圆的半径为，它大于或等于，即，其中当且仅当点与圆心重合，即时，等号成立.知识点诠释：1、在数学
3、中，我们称为的算术平均数，称为的几何平均数. 因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.2、如果把看作是正数的等差中项，看作是正数的等比中项，那么基本不等式可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.知识点四：用基本不等式求最大(小)值在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等.一正：函数的解析式中，各项均为正数；二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值.知识点诠释：1、两个不等式：与成立的条件是不同的，前者要求a，b都是实数，后者要求a，b都是正数.2、两个不等式：与都
4、是带有等号的不等式，对于“当且仅当时，取“=”号这句话的含义要有正确的理解.3、基本不等式的功能在于“和积互化”.若所证不等式可整理成一边是和，另一边是积的形式，则考虑使用平均不等式；若对于所给的“和式”中的各项的“积”为定值，则“和”有最小值，对于给出的“积式”中的各项的“和”为定值，则“积”有最大值.4、利用两个数的基本不等式求函数的最值必须具备三个条件：各项都是正数；和(或积)为定值；各项能取得相等的值.5、基本不等式在解决实际问题中有广泛的应用，在应用时一般按以下步骤进行：先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最
5、大值或最小值问题；在定义域内，求出函数的最大或最小值；写出正确答案.【题型归纳目录】题型一：对基本不等式的理解及简单应用题型二：利用基本不等式比较大小题型三：利用基本不等式证明不等式题型四：利用基本不等式求最值题型五：利用基本不等式求解恒成立问题题型六：基本不等式在实际问题中的应用【典例例题】题型一：对基本不等式的理解及简单应用例1给出下列命题中，真命题的个数为()已知，则成立；已知且，则成立；已知，则的最小值为2；已知，则成立A1个B2个C3个D4个【答案】B【解析】当时，中的不等式是错误的，错；因为与同号，所以是正确的，且，即时等号成立，所以中的基本不等式计算是正确的，对；(当时，无解，等
6、号不成立)，故错；因为，所以且，且，即时等号成立，所以中的基本不等式运算是正确的，对故选: B例2几何原本卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，则该图形可以完成的无字证明为()ABCD【答案】D【解析】设，可得圆的半径为，又由，在中，可得，因为，所以，当且仅当时取等号故选：D.例3现有以下结论：函数的最小值是；若、且，则；的最小值是；函数的最小值为.其中，正确的有()个ABCD【答案】B【解析】取，可判断的正误；利用基本不等式可
7、判断的正误.对于，当时，错误；对于，若，且，说明，则，当且仅当时取等号，显然成立，正确；对于，当且仅时取等号，即，显然这样的不存在，所以结论不正确，错误；对于，因为，所以，函数的最大值为，所以结论不正确，错误.故选：B.变式1(多选题)下列推导过程，正确的为()A因为、为正实数，所以B因为，所以C，所以D因为、，所以【答案】AD【解析】对于A选项，则，当且仅当时等号成立，A选项正确；对于B选项，B选项错误；对于C选项，当时，当且仅当时等号成立，C选项错误；对于D选项，因为、，、则，.，当且仅当时等号成立，D选项正确故选：AD变式2(多选题)下列推导过程，正确的为()A因为a，b为正实数，所以2
8、2B因为xR，所以1C因为a0，所以+a24D因为，所以【答案】AD【解析】对于A.因为a，b为正实数，所以，所以22.故A正确；对于B.当x=0，有1.故B错误；对于C.当a=-1时，左边+a=-5，右边2=4，所以+a24不成立，故C错误.对于D. 因为，所以.故D正确.故选：AD.题型二：利用基本不等式比较大小例4设，则下列不等式成立的是()ABCD【答案】D【解析】因为，所以；因为，所以，即，因为，所以，即，因此，故选：D例5若，则下列不等式成立的是()ABCD【答案】C【解析】由已知，利用基本不等式得出，因为，则，所以，.故选：C.例6已知，则()ABCD【答案】D【解析】A：当时，
9、错误；B：，而，故，错误；C：，而，若时，错误；D：，当且仅当时等号成立，而，故，正确.故选：D变式3设正实数a、b满足，则下列结论正确的是()ABCD【答案】B【解析】A：由，则，仅当时等号成立，故，错误；B：由，仅当时等号成立，故，正确；C：由，仅当时等号成立，故，错误；D：由，仅当时等号成立，故，错误.故选：B变式4对于实数有下列命题：若，则若，则；若，则；若，则.则其中真命题的个数是()A1B2C3D4【答案】C【解析】若，时，故为假命题；若，则，有，故为真命题；若，则，仅当时等号成立，所以，为真命题；若，则，且，所以，则，为真命题.故真命题有，共3个.故选：C变式5已知a、b为正实数
10、，则()ABCD【答案】B【解析】因为a、b为正实数，所以，当且仅当时，等号成立，所以，当且仅当时，等号成立，综上：.故选：B题型三：利用基本不等式证明不等式例7已知，且，求证：.【解析】因为，所以，当且仅当，即时等号成立.故原题得证.例8已知是正实数.(1)若，证明：；(2)证明：.【解析】(1)因为，所以，所以，当且仅当且，即时，等号成立，所以.(2)因为，所以，当且仅当时取等号；，当且仅当时取等号；，当且仅当时取等号；上述三式相加可得，即，当且仅当时，等号成立.所以.例9已知，求证：.【解析】，当且仅当，即时，等号成立，同理：，当且仅当，时，等号成立，以上三式相加得：，当且当且仅当时，等
11、号成立，所以.变式6已知，.(1)若，求的最大值；(2)若，证明：.【解析】(1)因为，所以.，当且仅当，时，等号成立，故的最大值为9.(2)证明：因为，所以，又，解得，当且仅当时，等号成立.故.题型四：利用基本不等式求最值例10已知，且，则ab的最大值为_【答案】4【解析】，当且仅当时等号成立，即，整理可得，所以ab最大值为4故答案为：.例11若满足，则的最大值是_.【答案】2【解析】由均值不等式可得，当且仅当时等号成立，所以，所以，故的最大值是.故答案为：例12已知x，y都为正数，且2xy1，则2xy的最大值为的最小值为的最大值为的最小值为所有正确的序号是_【答案】【解析】由题意，所以，当
12、且仅当时等号成立，正确；，当且仅当时等号成立，正确；，当且仅当时等号成立，但此时，不合题意，因此取不到最大值，错；，当且仅当，即，时等号成立，正确故答案为：变式7已知正实数满足，则的最小值为_.【答案】【解析】因为正实数满足，所以，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为，故答案为：变式8已知，若，则的最小值为_.【答案】3【解析】因为，所以，即；因为，当且仅当时取到等号，所以，解得或(舍)所以当时，有最小值3.故答案为：3变式9若，且，则的最小值为_【答案】3【解析】由题意得，所以，当且仅当，即时，等号成立故答案为：3变式10正实数满足，则的最小值为_.【答案】1【解析】因为正实数满足，所
13、以，则，当且仅当,即时取等号，所以的最小值为1，故答案为：1变式11若，且，则的最小值为_.【答案】【解析】若，且，则，当且仅当时取等.故答案为：.变式12若，且，则的最小值为_.【答案】5【解析】因为，且，所以,则，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为5，故答案为：5变式13若，则的最小值为_.【答案】【解析】因为，由基本不等式得，当且仅当时等号成立.所以的最小值为.故答案为：.变式14已知，且，则的最小值为_.【答案】【解析】由得，所以，当且仅当 ，即时取等号，所以的最小值为，故答案为：变式15已知，且，则的最小值为_【答案】【解析】因为，且，所以，当且仅当即时等号成立，所以的最小值为，故答案为：.变式16，且，则ab的最小值为_【答案】36【解析】因为，所以，即，解得，当且仅当时，即时，取等号.故答案为：36.变式17已知，则的最小值是_；【答案】3【解析】，当，即时取等号，又，故当时取得最小值.故答案为：3.变式18若，则的最小值为_.【答案】7【解析】，当且仅当即()时取等号，所以的最小值为7.故答案为：7.
