《专题17 二次函数与一元二次方程、不等式（教师版）-2024年新高一（初升高）数学暑期衔接讲义》由会员分享，可在线阅读，更多相关《专题17 二次函数与一元二次方程、不等式（教师版）-2024年新高一（初升高）数学暑期衔接讲义（24页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、专题17 二次函数与一元二次方程、不等式 【知识点梳理】知识点一：一元二次不等式的概念一般地，我们把只含有一个末知数，并且末知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，即形如或(其中a，b，c均为常数，的不等式都是一元二次不等式知识点二：二次函数的零点一般地，对于二次函数，我们把使的实数叫做二次函数的零点.知识点三：一元二次不等式的解集的概念使一元二次不等式成立的所有未知数的值组成的集合叫做这个一元二次不等式的解集知识点四：二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，可分三种情况，相应地，二次函数的图像与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种
2、情况来讨论一元二次不等式或的解集.二次函数()的图象有两相异实根有两相等实根无实根知识点诠释：(1)一元二次方程的两根是相应的不等式的解集的端点的取值，是抛物线与轴的交点的横坐标；(2)表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，应先利用不等式的性质转化为二次项系数为正的形式，然后讨论解决；(3)解集分三种情况，得到一元二次不等式与的解集.知识点五：利用不等式解决实际问题的一般步骤(1)选取合适的字母表示题中的未知数；(2)由题中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式(组)；(3)求解所列出的不等式(组)；(4)结合题目的实际意义确定答案知识点六：一元二次不等式恒成立问题(1)转化
3、为一元二次不等式解集为的情况，即恒成立恒成立(2)分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题.知识点七：简单的分式不等式的解法系数化为正，大于取“两端”，小于取“中间”【题型归纳目录】题型一：解不含参数的一元二次不等式题型二：一元二次不等式与根与系数关系的交汇题型三：含有参数的一元二次不等式的解法题型四：一次分式不等式的解法题型五：实际问题中的一元二次不等式问题题型六：不等式的恒成立与有解问题题型七：一元二次方程根的分布问题【典例例题】题型一：解不含参数的一元二次不等式例1解不等式：(1)； (2).【解析】(1)由得，即，即不等式的解集为；(2)由得，即，不可能成立，即不等式的解集为.例2求解下
4、列不等式的解集：(1)； (2)； (3)； (4)； (5).【解析】(1)由可得，解得或，故原不等式的解集为或.(2)由可得，解得，故原不等式的解集为.(3)由可得，即，解得，故原不等式的解集为.(4)由可得，解得，故原不等式的解集为.(5)由可得，解得，故原不等式的解集为.例3不等式的解集是_.【答案】【解析】整理得，抛物线开口向上， ，所以原不等式的解集为故答案为：变式1 的解集为_.【答案】或【解析】因为，所以，即，所以或.所以不等式的解集为或.故答案为：或变式2不等式的解集为_.【答案】或【解析】原不等式等价于,所以，即或，故原不等式的解集为或.故答案为：或变式3不等式2x2x15
5、0的解集为_【答案】【解析】由2x2x15(2x5)(x3)0，得，原不等式的解集为.故答案为：.题型二：一元二次不等式与根与系数关系的交汇例4已知不等式的解集为，则不等式的解集为_【答案】【解析】因为不等式的解集为，所以，可得，所以可化为，因为，所以可化为，即，解得：或，所以不等式的解集为.故答案为：.例5已知关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集为_【答案】【解析】由已知得，和2是的两个解，且a0.则由韦达定理知，解得，则可化为a0不等式化为解得，或所以，不等式的解集为故答案为：.例6已知是关于的二次方程的两根，则的大小关系是_.【答案】【解析】如图是函数的图象(图中隐去了轴)，为
6、的两根，为与轴交点的横坐标.为的根，为与交点的横坐标，.故答案为：.变式4已知不等式的解集是，则不等式的解集是_.【答案】【解析】由不等式的解集是，可知：，是一元二次方程的实数根，且；由根与系数的关系可得：， ，所以不等式化为 ，即：；化为；又，；不等式的解集为：|，故答案为：变式5若方程有唯一的实数根3，则不等式的解集为_【答案】【解析】由已知得抛物线的开口向下，与x轴交于点，故不等式的解集为故答案为：变式6若一元二次不等式的解集是，则的值是_.【答案】【解析】一元二次不等式的解集是,则和是一元二次方程的实数根, 解得.故答案为：变式7若不等式的解集为或，则的值为_【答案】3【解析】原不等式
7、可化为，由已知，可得，且和是方程的两个实根，即和是方程的两个实根，所以，解得.故答案为：.变式8已知不等式的解集为，则不等式的解集为_【答案】【解析】由题意可得：，是方程的两根，且，则由韦达定理可得：，解得，所以不等式化为：，解得，故所求不等式的解集为.故答案为：题型三：含有参数的一元二次不等式的解法例7解关于x的不等式.【解析】原不等式变为，当时，原不等式可化为，所以当时，解得；当时，解集为；当时，解得当时，原不等式等价于，即.当时，原不等式可化为，解得或.综上，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为或.例8已知.(1)当
8、时，解关于x的不等式；(2)当时，解关于x的不等式.【解析】(1)当时，解不等式，即，解得，故不等式的解集为.(2)不等式变形为.当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为例9解关于x的不等式.【解析】不等式对应方程的判别式，(1)当，即或时，由于方程的根是，所以不等式的解集是或；(2)当，即时，不等式的解集为且；(3)当，即时，不等式的解集为R，故或时，不等式的解集是或；时，不等式的解集为且；时，不等式的解集为R.变式9解下列关于的不等式【解析】方程： 且解得方程两根：；当时，原不等式的解集为：当时，原不等式的解集为：综上所述, 当时，原不等式的解
9、集为：当时，原不等式的解集为：变式10解下列关于的不等式【解析】当时，原不等式为，解集为；当时，原不等式为，解集为；当时，原不等式为，若，即时，解集为或；若，即时，解集为；若，即时，解集为或；综上，解集为；解集为；解集为或；解集为；解集为或.变式11解下列关于的不等式：【解析】由得或.当，即时，不等式解集为；当，即时，解集为；当，即时，解集为综上：时，不等式解集为；时，解集为；时，解集为题型四：一次分式不等式的解法例10不等式的解集为_.【答案】【解析】原不等式可化为，即，即，即，解得，原不等式的解集为，故答案为：例11不等式的解集为_【答案】或【解析】根据分式不等式解法可知等价于，由一元二次
10、不等式解法可得或；所以不等式的解集为或.故答案为：或例12不等式的解集是_.【答案】【解析】不等式即，故不等式的解集是，故答案为：变式12不等式的解集是_【答案】或【解析】，所以，解得或，所以不等式的解集是或.故答案为：或变式13不等式的解集是_【答案】或【解析】不等式可化为，故等价于，利用数轴标根法解得或，即不等式的解集是或.故答案为：或.题型五：实际问题中的一元二次不等式问题例13某商品在最近天内的价格与时间 (单位：天)的函数关系是；销售量与时间的函数关系是，则使这种商品日销售金额不小于元的的范围为()ABCD【答案】B【解析】由日销售金额为，即，解得.故选：B例14某小型服装厂生产一种
11、风衣，日销售量x(件)与单价P(元)之间的关系为，生产x件所需成本为C(元)，其中元，若要求每天获利不少于1300元，则日销量x的取值范围是()A20x30B20x45C15x30D15x45【答案】B【解析】设该厂每天获得的利润为y元，则y(1602x)x(50030x)2x2130x500(0x80)由题意，知2x2130x5001300，即x265x9000，解得：20x45，所以日销量x的取值范围是20x45故选：B例15某种汽车在水泥路面上的刹车距离(单位：)和汽车刹车前的车速(单位：)之间有如下关系：，在一次交通事故中，测得这种车刹车距离大于40，则这辆汽车刹车前的车速至少为()(
12、精确到1)A76B77C78D80【答案】B【解析】设这辆汽车刹车前的车速为，根据题意，有，移项整理，得，解得所以这辆汽车刹车前的速度至少为77故选：B变式14某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上(不含400元)的销售收入则这批台灯的销售单价x(单位：元)的取值范围是()ABCD【答案】A【解析】结合题意易知，,即，解得，因为，所以，这批台灯的销隹单价的取值范围是，故选：A.变式15某地每年销售木材约20万立方米，每立方米价格为2400元，为了减少木材消耗，决定按销售收
13、入的征收木材税，这样每年的木材销售量减少万立方米.为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于900万元，则的取值范围是()ABCD【答案】B【解析】由题设且，整理得，可得.故选：B题型六：不等式的恒成立与有解问题例16已知不等式.(1)若不等式的解集是或，求的值；(2)若不等式的解集是，求的取值范围.【解析】(1)由题意可知关于的二次方程的两根分别为、，所以，解得；(2)若不等式的解集为，即恒成立，则满足，解得.例17(1)，求实数a的取值范围;(2)，求实数a的取值范围.【解析】(1)因为，所以，即，解得.(2)因为，所以，即，解得或.例18设.(1)若，求的解集；(2)若不等式对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围；(3)解关于x的不等式.【解析】(1)若，则，对应函数开口向下，所以不等式的解集为(2)由题意可得对一切实数成立，当时，不满足题意；当时，得所以实数a的取值范围为(3)由题意可得，当时，不等式可化为，所以不等式的解集为，当时，当时，当，解集，当，解集为或，当，解集为或.综上所述，当，不等式的
