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1、空间立体几何知识点归纳（几何版）-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN第一章 空间几何体知识点归纳1空间几何体的结构空间几何体分为多面体和旋转体和简单组合体常见的多面体有:棱柱、棱锥、棱台；常见的旋转体有：圆柱、圆锥、圆台、球。简单组合体的构成形式： 一种是由简单几何体拼接而成，一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成。（2）棱拄：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。（3）棱台用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台。1、空间几何体的三视图和直观图
2、投影：中心投影平行投影（1）定义：几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图。（2）三视图中反应的长、宽、高的特点：“长对正”，“高平齐”，“宽相等”2、空间几何体的直观图（表示空间图形的平面图）. 观察者站在某一点观察几何体，画出的图形.3、斜二测画法的基本步骤：建立适当直角坐标系 xOy （尽可能使更多的点在坐标轴上）建立斜坐标系，使Zry=45o （或i35o），注意它们确定的平面表示水平平面;且长度保持不变；在已知图形平行于 Y 轴的线画对应图形，在已知图形平行于X轴的线段，在直观图中画成平行于X轴, 段，在直观图中画成平行于Y轴，且长度变为原来的一半；一般地原图的面积是苴直观
3、图面积的2“倍即S原图=22s直观4、空间几何体的表面积与体积圆柱侧面积；S侧面=2兀-r -1圆锥侧面积：S=兀-r -1侧面3圆台侧面积：S侧面 (r + R)1体积公式：V = - S - h ； V= - h S +锥体 3台体 3 上球的表面积和体积：4S球=4kR2，匕球=3兀R3 一般地，面积比等于相似比的平方，体积比等于相似比的立方。第二章点、直线、平面之间的位置关系及其论证1、公理1 如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内公理 1的作用：判断直线是否在平面内2、公理2过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。c确定平面a若A电I，则点A和1确定平面a推论2：过
4、两条相交直线有且只有一个平面1推论3：过两条平行直线有且只有一个平面=A，则m, n确定平面a若，则m，n确定平面a公理2及其推论的作用：|确定平面；判定多边形是否为平面图形的依据。3、公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。LP ea, P ePa 卩=l且P e /n公理3作用：1）判定两个平面是否相交的依据；（2）证明点共线、线共点等。4、公理4:也叫平行公理，平行于同一条直线的两条直线平行.a b,c b n a c方向相同则作用:该2 方向相反则 定理也口 等角定理.1可5、定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。 a
5、 a： b b且Z1与Z2方向相同nZl=Z2II IIa a,b b且1与2方向相屁Z1+Z2=18（?以田来证明空间中的两个角相等。6、线线位置关系:平行、相交、异面。a b,（1）没有任何公共点的两条直线平行（2）有一个公共点的两条直线相交（3）不同在任何一个平面内的两条直线叫异面直线7、线面位置关系：直线在平面内、平行、II相交/ aa(1)aa ua8、面面位置关系:平行、相交。9、线面平行：（即直线与平面无任何公共点）判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。（只需在平面内找一条直线和平面外的直线平行就可以）证明两直线平行的主要方法是： 三角形中位线定
6、理：三角形中位线平行并等于底边的一半； 平行四边形的性质：平行四边形两组对边分别平行； 线面平行的性质：如果一条直线平行于一个平面，经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线和它们的交线平行;aa厂 F平行线的传递性：a b, ca卩卩a 卩二 b n b 3 a cII面面平行的性质：如果一个平面与两个平行平面相交，那么它们的交线平行;II垂直于同一平面的两直线平行;直线与平面平行的性质：如果一条直线平行于一个平面，经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线和它们的交线平 行；（上面的）10、面面平行：（即两平面无任何公共点）（1）判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，
7、则这两个平面平行。IIII II（2）两平面平行的性质：性质I：如如果一个平面与两平行平面都相交，那么它们的交线平行;a * 丫 = a 阿丫 = b_性质ii：平行于同一平面的两平面平行;na 丫加II性质皿夹在两平行平面间的平行线段相等;A, C g aB, D g 卩AB CD J性质M两平面平行，一平面上的任一条直线与另一个平面平行;、a卩aaJII n a P 或 a斤卩JII11、线面垂直:定义：如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，那么就说这条直线和这个平面垂直。判定：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。性质I：垂直于同一个平面的两条直线平行。a
8、丄 性质II：垂直于同一直线的两平面平行 丄lIIna卩II12、面面垂直:定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。住一卜貝直二囲驚蔭爵垂豆的判定定理a丄卩a 卩=l Uan l丄卩na丄卩面倉垂直皑性贡定理判定：一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直。（只需在一个平面内找到另一个平面的垂线就可证明面面垂直）性质：两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。证明两直线垂直和主要方法： 利用勾股定理证明两相交直线垂直； 利用等腰三角形三线合一证明两相交直线垂直； 利用线面垂直的定义证明（特别是证明异面直线垂直）； 利用三垂线定理
9、证明两直线垂直（“三垂”指的是“线面垂”“线影垂”，“线斜垂”）如图：PO丄a n OA是PA在平面a上的射影又直线a u a,且a丄OA即：线影垂直 n 线斜垂直，反之也成立。r n a 丄 PA空间角及空间距离的计算1.异面直线所成角：使异面直线平移后相交形成的夹角角。如图：PA是ZPAO为线面通常在两异面直线中的一条上取一点，过该点作另一条直线平行线， 如图：直线a与b异面，b/b,直线a与直线b的夹角为两异面直线a与b所成的角，异面直线所成角取值范围是（0。，90。2.斜线与平面成成的角：斜线与它在平面上的射影成的平面a的一条斜线，A为斜足，0为垂足，OA叫斜线PA在平面a上射影, 角
10、。3面角：从一条直线出发的两个半平面形成的图形，如图为二面角3 一1 -卩，二面角的大小指的是二面角的平面角的大小。二面角的平面角分别在两个半平面内且角的两边与二面角的棱垂直如图：在二面角a -1 -卩中，0棱上一点，OA ua，OB up， 且OA丄1, OB丄1,则ZAOB为二面角a -1 -卩的平面角。用二面角的平面角的定义求二面角的大小的关键点是：确构成二面角两个半平面和棱；明确二面角的平面角是哪个 而要想明确二面角的平面角，关键是看该角的两边是否都和棱垂直。（求空间角的三个步骤是“一找”、“二证”、“三计算”）5.点到平面的距离：指该点与它在平面上的射影的连线段的长度。如图：0为P在平面a上的射影，线段OP的长度为点P到平面a的距离求法通常有：定义法和等体积法 等体积法：就是将点到平面的距离看成是 三棱锥的一个高。如图在三棱锥V一ABC 中有.V = V = V = VS - ABCA-SBCB - SACC - SAB
