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1、习 题 七1。 判断下面所定义的变换，哪些是线性的，哪些不是：（1） 在向量空间V中,s （x）=xa,a是V中一固定的向量；（2）在向量空间3中,s (x1, x,x3）=；（3) 在向量空间3中，s （, x2， x3）;(4） 把复数域看作复数域上的向量空间，s （x)解 (1)当时，是线性变换; 当时，不是线性变换；（2）不是线性变换；（）是线性变换；(）不是线性变换;2. 设是数域F上一维向量空间. 证明，s是的一个线性变换的充要条件是:存在F中的一个数a，使得对任意xV，都有s(x)ax .证明：充分性显然.必要性:令是的一个线性变换，设是的一个基。则.那么可由线性表示，不妨设.对
2、任意的,有，则.3 设s是向量空间V的线性变换，如果s k1x0， 但s kx=，求证x, sx， ， s k1x ()线性无关.证明: 令 + （1） （）式两端用作用得:+ 由已知得：，所以有 则()式变为: + （)（2)式两端用 作用得：+同理。重复上述过程有: 4. 在向量空间中,s （x)=f (x）,t （ (x）xf （x)， 证明,st -tsi。证明:对任意,有.所以st -tsi.5。在向量空间R3中,线性变换s, t如下：s （1， x2, x)(1， x, x1x2）t (x1， x2,x3）=（12， 0, xx1x）（1) 求st, ts，s2;(2) 求st，
3、st， 2s 解: () 0，.，=。(2） =+.=.6。 已知向量空间R3的线性变换s为s（x1,x2, x)（x1+x2x3, x2+x3,3）证明,s是可逆变换，并求s 证明：， ,。关于的一个基，,的矩阵为:.显然,可逆,所以是可逆变换，而且所以.7。 设s， t, r都是向量空间V的线性变换，试证，（1）如果s，t都与r可交换，则st, s也都与r可交换（若对任意aV,都有st (a)ts(a)，就说s与t可交换)；(2）如果st，s-t都与r可交换，则s, t也都与r可交换。 证：（1)由已知那么=.（2)同理可证。8. 证明,数域上的有限维向量空间V的线性变换s是可逆变换的充分
4、必要条件是s把非零向量变为非零向量 证明:不妨设是n维的，是它的一个基。关于这个基的矩阵为.显然，可逆当且仅当可逆 把非零向量变为非零向量当且仅当，而秩秩，的零度=。且秩+的零度=n.所以秩=n当且仅当的零度是0，即可逆当且仅当故可逆当且仅当把非零向量变为非零向量。. 证明，可逆线性变换把线性无关的向量组变为线性无关的向量组。 证明：令是向量空间的可逆线性变换,，是的一组线性无关的向量，令+.两端用 作用得： +。由已知，线性无关，所以：。故, 线性无关10。 设e1， e2, e3是F上向量空间V的一个基. 已知V的线性变换s在e1，e2， e3下的矩阵为A=(） 求s在e1, e3, e2
5、下的矩阵;(2）求s在e, ke2， e3下的矩阵(k0,kF）;(3)求s在e1, e1e2, e3下的矩阵。 解:（1）。(）.（3）11.在R3中定义线性变换s如下s (x1，x, x3)(x2+x3， x14x2， 3x）,（x1,x2, x3）3。(） 求s在基e1=(1， 0， 0）, e=(0, ，0）， e3(0, 0，1)下的矩阵;(2） 利用()中结论，求s在基a=(1， 1,1），a2(1，1, 0），a3=（, 0， )下的矩阵 解:（1）（2）从基到基的过渡矩阵为.在下的矩阵为：=。2.已知M2(F）的两个线性变换s，t如下s (X）X, t （）=X, X（F）.试
6、求st, st在基E1， 1， E21，2下的矩阵 又问s和t是否可逆?若可逆，求其逆变换在同一基下的矩阵. 证明:.=。所以在基下的矩阵为同理可证在基下的矩阵。 ，,，。所以在此基下的矩阵为：。显然,可逆所以可逆 在同一基下的矩阵为： 。同理可讨论的可逆性及求的矩阵.13 设s是数域F上n维向量空间的一个线性变换. W1， W2是V的子空间,并且=W 证明,s是可逆变换的充要条件是s( W1）s （ W2）证明：令，是的一个基 令，是的一个基由已知得: ， 是的一个基必要性：设s可逆，则，, 也是的一个基但（，).（，）所以，故V=s（ W1）s （W2）。充分性：将必要性的过程倒过去即可1
7、4 设R的线性变换s定义如下：s （x1，x2, )(2x1x2, x3,x2x）求s在基e1=（1， 0，0)， e2(, 1， 0）， e3=(， 0， 1）及基h1=(1， 1， 0)，h2=(0, 1， )，h3=(, ，1）下的矩阵. 解:s在基e1, e， e2下的矩阵为：. s在基下的矩阵为：=。15。 在2(F）中定义线性变换s为s (X）=,X2（F).求s在基 11,E1， E1， E下的矩阵，其中E11,E12, =,22= 解: 在基下的矩阵为16。 证明,与维向量空间的全体线性变换可交换的线性变换是数量变换. 证明：由习题二及第1题的结论易得。1 给定R的两个基a1（
8、1， 0， )，a2(2, 1，），a3=（， 1, 1)；和 b（， ，-）, b2(2， 2, 1）， b=(2，1, -1). s是R的线性变换，且s（ai）=bi，=1，2,3。 求(1） 由基a， a2 ,a3到基b, b, b的过渡矩阵；(） s关于基a1， a， a的矩阵；(3） s关于基b1, b ， b的矩阵。解: （1）令,，。则由a,a2， a3到e，e, e的过渡矩阵为:。 由基e， e3， e2到基b1， b2 ， b3的过渡矩阵为:.所以由基a1，a2 ， a到基b1， b2， b3的过渡矩阵为:（) s 所以s在下的矩阵为:.s关于基b，b2，b3的矩阵为: 1
9、设a1=（1， 0， 2), a2（0， ， ), a3（1, 2, 5），b1=(1, 1, 0)， b2（,，1），b=(0, 1， 2),x（0, 3， ）是R3中的向量，s是3的线性变换，并且s(a）=(2， 0， 1)， s(a2）=（，0， 1）,s（a)（0， 1，2）。（1) 求s关于基b1，b , b的矩阵；（2）求s（x)关于基a1，a2 ， a3的坐标;（) 求s（x)关于基b1, b2 ,b的坐标. 解：令,.则从基a, a2 ， a3到基b1， b， b3的过渡矩阵为：.又 所以s关于的矩阵为：从而s关于基b1， b2, b3的矩阵为:。（2）所以的坐标为:由（）可知
10、=(b1, b2 ， b3） 所以b， b ，b3的坐标为:=。19. 设R3有一个线性变换s定义如下：s （x， x, x3）=（x12,2+x3,)，(x1, x2, x3）3下列R3的子空间哪些在s之下不变?（1）（0，0， c） c； ()(， ，）| b， c;（3)（， 0, )| ; (4） （， b,0）| a,b R；（5) (a， 0， c)| a， c ; （6) (，a, 0)| a 。 解：（3)与（4）在s之下不变20 设s是n维向量空间的一个线性变换,证明下列条件等价：(1)s （）V; () kers=0证明:因为秩+的零度=n。 所以秩当且仅当的零度是0,即当
11、且仅当,因此当且仅当.21. 已知R3的线性变换s定义如下：s (x1, x， 3）（x2xx3， x2+, x1+x2x3），(1, x2, x)R3求s的值域s （）与核Ks的维数和基。 解： 关于基，,的矩阵为:。,.其中,. 设s是向量空间V的一个线性变换，W是s的一个不变子空间，证明，W是s 的不变子空间。证明：由不变子空间的定义易证。. 设s是数域上n（0）维向量空间V的一个线性变换，a1， a2 ，, ar, ar+1,， an是V的基。 证明，如果a, a2 ， ar是Kers的基，那么s(a+1)，, s (an)是Is的基.证明：已知a1， a2,， ar是Kers的基,则
12、s （a)，i=,2， , r .令 lr+1s (ar1）+l+2s (ar+2) + lns （an）=0， 则 s （ lr+1ar+1+ lnan)=0, r+1ar1+lnan Kers 。所以lrar1+ lnan=la1 lrar但 a1， a2， ar， ar+1，, an是V的一个基, 故l+1=n=0 所以 s (ar+1）,，s （an) 线性无关.又Ims = (s （a), s （a2), s（an） = （s (a+1）,， s（a)）从而结论成立.24. 对任意aR4，令s （a）=Aa，其中A=求线性变换s的核与象. 解： a1 =, a2 = , ers =（a1,a2）。 s (1）=, s （2） 。Ims （s （)， s （2）.25设s,t 是向量空间的线性变换,且s+t=i,st=ts=q。 这里i是的恒等变换，q 是V的零变换 证明:(）s（V)
