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1、在这_章中将介绍在局部坐标变换和反馈线性化原理基础上的一些推论及其在控制系统设号的 应用。它们是零动态；局部渐近镇定；渐近输出跟踪；干扰解耦；高增益反馈；具有线性误差动 态特性的观测器问题等。在这一节中我们将介绍并讨论一个重要的概念一“零动态”。在很多场合中它起着与线性系统中 传递函数的“零点”极其类似的作用。在前述中我们已经看到线性系统的相对阶r能够被解释为 其传递函数的极点数目与零点数目之差。即若任何一个线性系统其相对阶r严格小于其维数n,则 其传递函数中必存在零点；反之若Un,则传递函数中就没有零点。所以前节中精确线性化所讨 论的系统，在某种意义上类似于线性系统中无零点的情况。在这一节中
2、这种类比将进一步推广。 考虑一个相对阶严格小于的非线性系统x 二 /(%) + gO则可通过坐标变换,h(x)L /z(x)f .Z = (|)(x)= Zz-i/zG；)(x)r+1变成正则形:zz1r+1 9g =:,n =:_n_zzn0 (x)r(b Qnr+1其中 丨，若能使L(|) e G)“L n 则可将系统变成下列形式：G)=0, r +1 z TZ = Zr-1rz = Rg + Stj + Kut =+ en根据零动态的意义，g=0,所以有r = Qr 此时应取U（t）= 一 Sr Q）K因：dzdxr+4- = 1- = X = Zdtdt2尸+2dzdx=3- = X
3、= Z dtdt3r+3r| T彳=Xn-r+1=-b x -b xb x + z0112n-r-1 Tt-r 1=-b z -bz b z + z0 r+11 r+2n-r-1 n 1由于g=o,故Z = 0故：_ 01 0_001 -0Q=:00 1b b b01n-r-1由此零动态的特征多项式为：detG/ -b + b S b Sn-r-1 + Sn-r01n-r-1此即为原系统彳专递函数的分子，因而零动态的极点就是原系统的零点。(2 )非线性系统的零动态在71 =0处的线性近似与整个非线性系统在x=0处的线性近似系统的零动 态是一致的。也就是说取零动态与取线性近似的操作运算本质上是可
4、以交换的。为了校验这一点，我们必须做的仅仅是要说明正则非线性方程的线性近似与原系统线性近似的正 则形是一致的。并且非线性系统的相对阶与其线性近似系统的相对阶也是一致的。前面业已介绍f (x) = Ax+f (x)2g(x) = B+g(x)1同理Rx)二Cx+h(x)2由递推关系，容易计算Lkh(x) = CAkx + d (x)fk其中函数d(x)使得=0 kL去% 二 0由此可以推出CAkB = L /z(0) = 0g f对所有kr-lCAnB = L Z/-i/2(0)主 0g f也就是说原系统在x=0处的线性近似系统，它的相对阶就等于口则非线性系统的正则形的相应 项可以写成下列展开式
5、：b忆31) =眩+ Sr|+b (诙)2q(E,T|) = K + q (细)qr) = P + Qx + q (细)2则其零动态的线性近似妥为+z = z12z = z2odqd_(g =o所有n = Qq描写了当三o时，原系统在n =0处的零动态的线性近似，它与整个系统在x=0处的线 性近似的零动态是一致的。例3.2我们来分析下列系统的零动态x - x 3 0 -32x+-12x 2 - x113x =则有：L h (x) = 0gL h (x) = x - x 3f32L L h (x) = 1 + 3 x 2g f2因此其相对阶r=2，为了化为正则形，取z = zr-1rzr= b(
6、 g，耳)+a( g，耳)un= q( g ,q)+ p( g ,q )u我们可以看出方程的前面几个变量与正则形是相同，所以从零动态的概念出发，应有y(t)三0,所以: z1 = z1 = z2 = - = zr = 。b( g ,n)由此可得u=-a g ,n)32 0 -1 -1 = 0)11 1 2z = x + x3 23(L 0 = o1g 3于是在新坐标下系统的方程为z = z z = b(z ,z ,z )+&z ,z ,z )u122123123z = z2 一 z3 13从零动态的意义可知，y(t)=0意味着z(t) = z (t) = 0,所以系统的零动态为：1 2z =
7、-z33(3)非正则形时的零动态：虽然上述零动态的分析是在正则形的条件下进行的，但是由于坐标变换中的n状态变量要满足L0 (x) = 0常常有难处。于是得到的是非正则形，系统的描述成为：g i所以 n=q( g ,n)+p( g ,n)(- 黑) 则零动态为： n=c(, n)p( o, n)。n)。do, n)几何观点：若系统在某点处的相对阶为r,则有y(k(t) = Lkh(x(t) 0 W k W r-1fy(r(t) = Lh(Xt)+ LL-1h(Xt )Ht)fg f对于输出零化问题，则有0k(t) = 0，0 W k W r-1。故系统一定在下面的子集上运动(局部地围绕) z*
8、= x gRn：h(x) = L h(x) = Lr-1h(x) = 0)。ff也就是说在新坐标下，恰恰正是z ,z，,z均为零的点集上运动，且附加的限制条件:12 ry(r) = Lh(xt)+ LL-1b(x；t )(t) = 0fg f图表示了在新坐标下零动态的几何表示图因为微分dLh(x), 0 W i Wr-1,在处是线性无关的。所以处在附近的一个n-r维的光滑流形，其 状态反馈为彳心Lrh(x)u*(t)二JLL；ih(x)g f因为dh( x) dL h(x)f:(f (x) + g (x )u * (t)=L h(x) + L h(x)u* (x) fgL2 h(x) + L
9、L h(x)u* (t)fg. fL h(x)L2 h(x) f ：dLr-ih( x)L fLr h(x) + L Lr-ih(x)u* (t)L fg fLr-1h( x) f0=0所以向量场f *(x)二f(x)+ g(x)u*(x)是与子集相切的。也就可以由此推得闭环系统X = f *(x)的任何运 动轨迹从上的某点开始一直在中运动(对于小的时间t内)。约束条件f *(x)是的一个确定的向量 场。它精确的描写了系统的零动态，而与所取的坐标无关。(5)零动态在精确线性化下的不变性若系统的相对阶为r,又rvn。则可以通过状态反馈构成闭环并使之局部精确线性化。如前所述取b(z)u = + v。a(z
