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1、圆锥曲线中直线的设法作者：家辉培优数学老师孙楠在圆锥曲线章节中，直线与曲线的综合问题是考察重点。但是很多同学在第一步，即如何设直线处就被卡住了。 那么该如何设直线方程呢？在回答这个问题之前，我们先来看看直线方程一共有哪几种形式。高中阶段，直线方程 的形式共有如下十种：点方向式：P(x ,y )，d (u,v),0 0rH步，1.2.点法向式：P(x0,y0)，n-(a,b).二二(u心 0)； uva(x-x )+b(y- y )0003.一般式：ax + by + c = 0 ；4.斜截式：y kx + b，斜率需存在;5.xy截距式：一+? 1;ab6.两点式：y Zy2 (x - x )
2、+ y,x - x1112x丰x ；127.点斜式：P(x，yJ，y - k(x-x0)+ y0，斜率需存在;008.参数方程：d - (u,v),x x + ut0, t e R ；y y + vt ，09.参数方程：倾斜角为ax x +1 cos a0., t e R ；y y +1 sin a010.参数方程：极坐标中，ap cos0 + bp sin0 + c 0, p 0 。在直线与曲线的综合题目中，根据不同的情况选择不同的方程形式会有天差地别的效果。一般而言，“点斜式” 是我们的首选。理由是在大多数的题目中，直线都会经过某一个定点，设成点斜式后，则只含有一个未知量k,便 于处理。但
3、设“点斜式”前，需要先将特殊情况，即斜率不存在时的情况讨论掉，再设“点斜式”。下面，我们以 椭圆为例，介绍各种直线的设法。例1.若直线l过点P(2,3)，且与椭圆罕+ y2 1相切，求直线l的方程。4【分析】典型的直线过定点，采用“点斜式”为最佳方案，注意先讨论特殊情况解：1若k不存在，则直线1为x = 2，与椭圆相切，故x = 2符合题意。2若k存在，则设直线1为y -k(x一2)+ 3，联立扌+ y2 -1 得)x2-8(2k -3)x+16k2-48k +320，因为相切，2故该方程只有一根，即A = 0，得k 3，故直线1为y (x - 2 )+ 3 x +。33325综上，直线1的方
4、程为x = 2或y 3 x+3。分析】上题是典型的“点斜式”的应用，再看下题。x2例2.设直线1经过椭圆-+ y 2 -1的右焦点仆交椭圆于A、B两点，若椭圆的左焦点为Fi，求 “严面积的 最大值及此时直线l的方程。 【分析】典型的直线过定点，采用“点斜式”为最佳方案。 解：易知椭圆的焦点坐标为F (3,0丿、F (3,0丿，且直线不能与x轴重合,1若k不存在，则直线1为x 3，、B 3,，S1 - 2c - AB 亟10血輕 2512 若k 存在，贝y设直线l为 y k(x 3)，k 丰 0，联立話 + y2 1 得 G + 10k2 )x2 60k2x + 90k2 10 0 ,S AF輕
5、C I y1 y2|二 3|k(x -3) k(x-3)| = 3|k|-|,ix1叮3虾讣师整#，令mt (t + 1丿11k2 t 0 ,则 m ，整理得(100m l)t2 +(20m l)t + m 0，由 A 0 可得 m 一 (t -时取等),(10t +1丿2368故s 1 得5 顷-尙换-丄(3时取等)，所以AF1AB面积的最大值为何，此时直线l的方程 t为 x 2；2y + 3，即 y -(x 3)。【分析】比较两种设直线的方法，显然可知在此题中，“点斜式变形”更有优势！有些题目里，会出现两条直线 若两条直线的斜率有关系的话，“点斜式”还可以用在两条直线中。x2 y 2例3.
6、过椭圆三+ =1上一点A62任作两条倾斜角互补的直线，分别交椭圆于B、C两点,求证：直线 BC 的斜率为定值。【分析】倾斜角互补，则斜率互为相反数，设一个k可将两条直线全部搞高定。证明：两直线倾斜角互补，.斜率互为相反数，设l : y k(x +运丿 +1,1 : y -k(x+1 21。联立li与椭圆x_B可得 G + 3k 2 )x 2 + 6k+ 1)X + 9k2 + 6叔-3_0,由韦达定理得X + X _-竺A B-运C 2 + 2 叔-1),同理可得X _C3k 2 +1-Ck 2 2： 3k 1)y - y。k_ BCBC x - xBC3k 2 +11 + 3k 2，即k x
7、 + x +B Cx - xBC_J3-3分析】若某些题目里，直线并不是过一个定点，而是满足某种关系，则需要灵活地选择直线形式。例4.已知为坐标原点，F1、F2是椭圆1+y2 _1(a b0)的两个焦点，是以F1F2为直径的圆，若直线l与O相切，并与椭圆交于不同的两点A、B，且OA-OB _九，则当V3,4时，求AAB的面积S的取值范围。【分析】直线并不过定点，而是与圆相切，且直线斜率不存在时也符合题意，但斜率不能是零。故直线的设法采用 “斜截式变形”的设法为最佳方案。解：设l: x _ my + n，丁 l与0相切，.d _ r，可得n2 _ m2 +1。联立l与椭圆可得(m 2 + 2mn
8、y + n 2 一 2 _ 0，y + y1 2由韦达定理得 OP是直线l的两个截距，故采用直线的“截距式”为最佳方案。或者利用B、M “两点式”表 B P示出直线l , B、M “两点式”表示出直线l ，再令y二0分别表示出OP、OQ。下题只给出“截距式”的解 BQBP法，“两点式”可请读者自行解答。解：设B(0,b)、B(0,b)、P(x ,0)、PQ (x ,0 )、M (x , y )， l : 一 += 1Q00 BQ x bQlBPxy0 + 0 1，由后面两式可得x-bP点M (x0, y0 )在椭圆上，也在lBQ及lBP上，：计+詈=1，x2x x 0 ，再代入第一个式子可得x x a2。P Qy 2P Q1 0b2【总结】一、若直线过定点，则用“点斜式”；若直线不过定点，而是满足某种条件，则灵活运用各种形式 二、若直线斜率不存在时满足题意，则采用“点斜式变形”或“斜截式变形”来设直线。
