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1、数值分析试题、填空题(2 0X2)1.32一 2 1_ 2 设x=0.231是精确值x*=0.229的近似值，则x有,-3位有效数字。2. 若 f(x)=x7 - x3 + 1 , 则 九20,21,22,23,24,25,26,27=,九20,21,22,23,24,25,26,27,28=。3. 设，11 A II 严 ,11 X II _3_,HAXHgW。4. 非线性方程fx)=0的迭代函数x=?(x)在有解区间满足l?x)l 1，计算时不会放大fx/的误差。8. 要使.2T的近似值的相对误差小于0.1%，至少要取 4位有效数字。9. 对任意初始向量X(0)及任意向量g，线性方程组的迭
2、代公式x(k+D=Bx(k)+g(k=0丄)收x00.511.522.5y=f(x)-2-1.75-10.2524.25由下列数据所确定的插值多项式的次数最高是5敛于方程组的精确解x*的充分必要条件是。牛顿下山法的下山条件为 |f(xn+1)|0。14. 使用迭代计算的步骤为建立迭代函数、选取初值、迭代计算。二、判断题(10X1)1、若A是n阶非奇异矩阵，则线性方程组AX=b 一定可以使用高斯消元法求解。(X)2、解 非 线 性 方 程 f(x)=0 的 牛 顿迭 代 法 在 单 根 x* 附近 是 平方 收 敛的 。(?)3、若A为n阶方阵，且其元素满足不等式则解线性方程组AX = b的高斯
3、塞德尔迭代法一定收敛。(X)4、样 条 插 值 一 种 分 段 插 值 。(?)5、如果插值结点相同， 在满足相同插值条件下所有的插值多项式是等价的。(?)6、从实际问题的精确解到实际的计算结果间的误差有模型误差、观测误差、截断误差 及舍入误差。(?)7、解线性方程组的的平方根直接解法适用于任何线性方程组AX = b。( X )8、迭代解法的舍入误差估计要从第一步迭代计算的舍入误差开始估计 ,直到最后一步迭代计算的舍入误差。(X)9、数值计算中的总误差如果只考虑截断误差和舍入误差，则误差的最佳分配原则是截断误差舍入误差。(?)10、插值计算中避免外插是为了减少舍入误差。(X)三、计算题(5X1
4、0)1、用列主元高斯消元法解线性方程组。解答：(1，5，2)最大元 5 在第二行，交换第一与第二行L21=1/5=0.2,l31=2/5=0.4 方程化为：(-0.2,2.6)最大元在第三行，交换第二与第三行：L32=-0.2/2.6=-0.076923,方程化为：回代得：f x = 3.000051V x = 5.999992x =一10001032、用牛顿一一埃尔米特插值法求满足下列表中插值条件的四次插值多项式P4(x)，并写 出其截断误差的表达式(设fx)在插值区间上具有直到五阶连续导数)。做差商表xiF(xi)Fxi,xi+1Fxi.xi+1.xi+2Fxi,xi+1,xi+2,xi+
5、3Fxi,xi+1,xi+2,xi+3,xi+4011-1-21-113234302351-2-1P4(x)=1-2x-3x(x-1)-x(x-1)(x-1)(x-2)R4(x)=f(5)(?)/5!x(x-l)(x-l)(x-2)(x-2)3、对下面的线性方程组变化为等价的线性方程组，使之应用雅克比迭代法和高斯 赛德尔迭代法均收敛，写出变化后的线性方程组及雅克比迭代法和高斯赛德尔迭代法的迭代公式，并简单说明收敛的理由。解答：交换第二和第四个方程，使系数矩阵为严格对角占优：1计算机数学基础数值分析试题x + 4 x 一 xx 一、单项选择题(每小题亘分，共15分)11.已知准确值x*与其有t位
6、有效数字的近似值x0.0a1(A) 0.5 X 10 s-1-r(B) 0.5 X 10 s_t(C) 0.5 X 10$+一2. 以下矩阵是严格对角占优矩阵的为(sta X 1 0s(a ?0)的绝对误差?x*-x?().2n(D) 0.5 X 10 s+t-2一100 -5210_一 12一101410(A)0一12一 1，(B)114100一120012)52一10 -421142一 11410(C)2141(D)2一141001213153. 过(0，4)，(3，1)点的分段线性插值函数 P(x)=(1)，(2，(A) 13x +12一 3x +10(B) 1-x +123x2 +10
7、(C) 13x 一 12一 3 x +100x22 x33x + 12x + 4 2 x 30x24. 等距二点的求导公式是(A) 1广(x ) = ； (-y + yk h kk +1f( x ) = ； (y - y )+1h+1(B) 1广(x ) = ；(y - y )hf (x ) =(y y )+ hk+1k+1(C) 1f(x ) = ； (y + y ) h+1f( x ) = y (y- y )+1h+1(D)5. 解常微分方程初值问题的平均形式的改进欧拉法公式是 那么 yp,yc 分别为()pc(A)y = y + hf (x , y)pkk ky = y + hf (x
8、, y )c kk+1 k(B)(C)y = y + f (x , y )pkk ky = y + f (x , y )ckk p(D)ypycI y = y + hf (x , y )pkk +1 ky = y + hf (x , y)c kk p=y + hf (x , y )kk k=y + hf (x , y )kk +1 p填空题(每小题3分，共 15分)6. 设近似值珀叫满足?(xi)=0.05, ?(x2)=0.005,那么?(xix2)=7. 三次样条函数S(x)满足：S(x)在区间a,b内二阶连续可导，S(xk)=yk(已知),k=0,1,2,.,n，且满足S(x)在每个子区
9、间xk，xk+i上是.&牛顿一科茨求积公式Af (x)dx沁a工 A f (x )，则 Ak kkk=0k=09. 解方程fx)=0的简单迭代法的迭代函数?(x)满足在有根区间内，则在有根区间内任意取一点作为初始值，迭代解都收敛.10. 解常微分方程初值问题的改进欧拉法预报校正公式是预报值：yk+i = yk+ (xk, yk)，校正值：yk+i=三、计算题(每小题 15分，共 60 分)11. 用简单迭代法求线性方程组的X(3).取初始值(0,0,0)T，计算过程保留4位小数.12. 已知函数值 f(0)=6, f(1)=10, f(3)=46, f(4)=82, f(6)=212,求函数的
10、四阶均差 f(0,1,3,4,6)和二阶 均差 f(4， i， 3)13将积分区间8等分，用梯形求积公式计算定积分；1 + x2dx，计算过程保留4位小数.114. 用牛顿法求的近似值，取 x=10 或 11 为初始值，计算过程保留 4 位小数四、证明题(本题 10 分)15. 证明求常微分方程初值问题在等距节点a=x0xf.x =b处的数值解近似值的梯形公式为 01ny(xk+1)?yk+1=yk+ 2 f(xk,yk)+f(xk+1,yk+1)其中 h=xk+1xk(k=0, 1 ,2, n1)计算机数学基础(2)数值分析试题答案一、单项选择题(每小题 3分，共 15分)I. A 2. B
11、 3. A 4. B 5. D二、填空题(每小题3分，共 15分)6. 0.05?x2?+0.005?x1?7. 3 次多项式h-8a 9. ?(x)?r110儿+2* 人)+ f (+1 儿+1)分址十，人)三、计算题(每小题 15分，共 60 分)II. 写出迭代格式X(0)=(0,0,0)T.得到 Xd) = (2.5, 3, 3)t得到 X(2)=(2.875， 2.363 7， 1.000 0)T13.x =2.50，6f(xJ一阶均差二阶均差三阶均差四阶均差0611043461814/34823661/362126529/311/151/151f(0丄3,4,6)=石得到 X(3)=(3.136 4，2.045 6，0.971 6)T.12. 计算均差列给出f(4, 1, 3)=62 fx)= l：1 + x2 ,h= = .25 .分点 x0=1.0 , x =1.25 , x?=1.5 , x3=1.75 , x4=2.0 , x_=2.25 ,012345x =2.75，x =3.0.78函数值：f(1.0)=1.414 2, f(1.25)=1.600 8 , f(1.5)=1.802 8, f(1.75)=2.015 6, f(2.0)=2.236 1
