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1、第二节 行列式的性质与计算 行列式的性质a11考虑D = 21a12a22a an1n 2a1na2n将它的行依次变为相应的列，得annaaa1121n1aaaDt =1222n 2aa a1n2nnn称 DT 为 D 的转置行列式 .性质1行列式与它的转置行列式相等.（Dt = D ）事实上，若记Dt =b11b21b12b22b1nb2n则 b = a (i, j = 1,2, n)ij jibn1Dt = 工 (j)1(P/2 P“)b b 1P1 2 P2bn2,b.npnb. nn=乙(-1)(p1 p2 pn)a a a 二 D . p11 p22pnn说明:行列式中行与列具有同等
2、的地位, 因此行列式的性质凡是对行成立的结论, 对列也同样成立.性M2互换行列式的两行（rr ）或两列（cc ），行列式变号.ijij123123例如086=351351086推论 若行列式D有两行（列）完全相同，则D = 0证明：互换相同的两行，则有D = -D,所以D = 0性M 3行列式某一行（列）的所有元素都乘以数k，等于数k乘以此行列式，即aaaaaa11121n11121nkakaka=kaaai1i2ini1i 2.in aaaaaan1n2 nnn1n 2.nn推论：（1） D 中某一行（列）所有元素的公因子可提到行列式符号的外面；（2） D中某一行（列）所有元素为零，则D =
3、 0 ;性质4:行列式中如果有两行（列）元素对应成比例,则此行列式等于零性质5:若行列式某一行（列）的所有元素都是两个数的和，则此行列式等于两个行列式的和.这两个行列式的这一行（列）的元素分别为对应的两个加数之一，其余各行（列）的元素与原行列式相同即证：由.行列式定义 D =工（一PlP Pn ） aa1p1 2 p2(aipi+ bipi=乙(_1(Pl P2 Pn)a alpl 2 p2)a npna a +(l)1 (p1 p2ip np.in iipn)aalpl 2 p2bipianpnaaaaaaaaa11121n11121n11121na +ba + ba + b二 aaa +b
4、bbi1i1i2i2 inini1i2.ini1i2in a a a a a a a a an1n2nnn1n2 nnn1n2 nn性质6 行列式 D 的某一行（列）的各元素都乘以同一数 k 加到另一行（列）的相应元 素上，行列式的值不变（Dr = D），即aaaaaa11121n11121naaar + kri ja + kaa + kaa + kai1i2ini1j1i2j2injn a a a a a an1n2nnn1n2nn计算行列式常用方法:.利用性质2,3,6,特别是性质6把行列式化为上（下）三角形行列式，从而，较容易的计算行列式的值.例1:计算行列式(1) D 二2324311
5、112321311(2)32341131042511131-2321-232c300-1880-188仃工r3 00586200586200303700014329r4 + 4 rir3=+8r2= -1x (-1) x 58 x 史=286.29解: (1) D1-2321-232-2324厂2=r1 -0-188323408-6-2丫3 -3 04-2504-25r1 jr2(2).+为 rD =i =2611163116131611311111311113111136i=2,3,41000120010201002=6 x (lx 2 x 2 x 2) = 48.此方法称为归边法.例2:计
6、算n阶行列式1 + a111xaa111 + a21aD =nxa11 1 + ana a x,n)(a 丰 0, i = 1,2, i (1)D =n1+工丄ai解: (1)1 + a11 11111111-aa001200a0-1a0-a0a=2+ a213 1 00 a-10 a-a00: ann-1 :.*n(箭形行列式)nllD=i 1ni=2,3,aa2丄 c + c 1 =ai ii =2,3, ,n= a a23+aa12n(1+) = a a; a .1 2i=2 ianai=1i 注意到行列式各行元素之和等于x + (n - 1)a，有 /x + (n 1)aaa1aax
7、+ (n 1)axa1=x + (n 1)a xax + (n 1)a ax1a x,nD吕ni=2,3,=x + (n 1)a (x a) n-1.x + (n 1)a i=2,3, , na11a1k例 3: 设 D =ak 1c11a：kkc1kb11b1na11a1kb11D =,D =12a：a：b：k 1.kkn1b1nbnnc：mc：nkbnibnn证明：D = DD .12证：对D作行运算r + kr ,1把D化为下三角形行列式:1p11=Ppkk;Pkkpk 1对D作列运算c + kc ,j把 D 化为下三角形行列式：2q11D=2Pnk先对 D 的前 k k三角形行列式:=
8、q q -11n n行作行运算r + kr ,然后对D的后n列作列运算c + kcijij把 D 化为Pk 1c11Pkkc1kq11c：n1cnkqniqnn故，D = p p - q q = D D11kk 11nn12 思考练习1.计算行列式2512a +1a+ 2a1113714a +1a+ 2a(2)D=2225927n4612a汁1a+ 2 :an n.：.na+ bb +cc + aabca+ bb + cc + a=2 abc11111 1111a+ bb + cc + aabc22222 2222(n 2)2.证明+ n+ n+ n(1)D=3. 证明abacaebdcdde=4abcdefbfcfefa bca 2(a +1)2b 2(b +1)2c 2(c + 1)2d 2(d +1)2(a + 2)2 (a + 3)2 (b + 2)2 (b + 3)2 (c + 2)2 (c + 3)2 (d + 2)2(d + 3)2=04计算行列式D =2a + b 3a + 2b + ca + b + c + d4a + 3b + 2c + da 3a + b6a + 3
