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1、第一节 导数的概念与运算一、思维导图二、知识模块知识点1】导数的定义1 导数的概念设函数y二f (X)在x二x附近有定义，如果Ax T0时，Ay与Ax的比学(也叫函数 0Ax的平均变化率)有极限，即Ay无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数 Axy二f(x)在 x二xo处的导数，记作f(x。)或yx=x0lim f(xo +心)一 f(x)AxT0Ax= limxTx02. 导数的物理意义：瞬时速度设t = 0时刻一车从某点出发，在t时刻车走了一定的距离S = S(t).在t t时刻，车 01走了 S(t) - S(t )，这一段时间里车的平均速度为S(ti)- S(t0)，当t与t很接
2、近时，该平 10t 一 t1010S ( t ) 一 S ( t )均速度近似于t时刻的瞬时速度.若令t T t，则可以认为lim = 一10，即S (t )就010t Ttt 一 t01 0 1 0是t时刻的瞬时速度.03. 思路提示：利用导数的定义，经过合理的添项、拆项与调配系数，凑成导数的极限定义 的等价形式.例1:设f(x。)存在，求下列各式极限. limAxT0f (x + 3 Ax )一 f (x )0 0 ； Ax， limhT0f (x 一 h )一 f (x )00例 2:若 lim f(% + 吋 f(%)= 1，则 f (x )等于()atto3Ax03 Ax3B. 2C
3、.3D. 2例3:f (x + Ax)- f (x - 3Ax)设f (x)在x处可导，则lim oo等于()0Axt0AxA. 2f (x0)B. f (x0)C. 3f (x0)D.4f(x0)例4:若y二f (x)既是周期函数，又是偶函数,则其导函数y二f(x)(A. 既是周期函数，又是偶函数B. 既是周期函数，又是奇函数C.不是周期函数，但是偶函数D.不是周期函数，但是奇函数例5:x=0的值为Q已知函数y = f (x) = r2, x0，那么yI x, x 0例6:A. 0B. 1C. 1或 0D.不存在已知 lim2x2-ax - b x +1A. 一6B. 一2=2，其中a,b
4、g R，则a一b的值为()C. 2D. 6例7:已知 m g N*, a, b g R，(1 + x)m + a若lim= b，则ab等于()xt0例8:例9:A. 一 mB. mC. 一1D. 1x + 3 一 2尺卜lim等于()x t1xX 11A 21C. 一 2已知f 二 4,f二 1，则lim4X- ?X)=x t3x - 3B. 0D.不存在例 10:已知定义在R 上的函数f (x), g(x)，若 f (x) = 1 + xg(x),lim g(x)= xt0x二0处的导数f (0)=例11:如图15-7，函数f (x)的图象是折线段ABC，其中A,B,C的坐标分别为(0,4)
5、,(2,0)，(6,4)，则 f (f(0)= _； lim f + 心)-f G =Ax t0心例12:设等差数列a 的前n项和为S，若a = S = 12,则lim二=nn13nT+8 n2例13:x - 1lim一x T1 x 2 + 3 x 一 4f2x + 3,x 丰 0an2 +1例14:已知函数f (x) -s，在点x 0处连续，则lim- a, x - 0n* a2n2 + n例15:”f x2, x 1知识点2】求函数的导数1. 导数的运算的法则(和、差、积、商)设u = u(x)， v = v(x)均可导，则(1) (u + v) = u 士 v ；(2) (uv) = u
6、 v + uv ；(3) (U) = U-V_UV- (v 丰 0)v v 22. 基本导数表 C = 0(C 为常数)；(xn) = nxn-1(n g Q)；(ax) = ax In a ；(ex) = ex ；(log x)二a1xlna(ln x)二 1x(7) (sin x) = cos x(8) (cos x)二一 sin x ；3. 思路提示：对于简单函数的求导，关键是合理转化函数关系式为可以直接应用公式的基 本函数的形式，以免求导过程中出现指数或系数的失误.例1:求下列函数的导数(1) y 二 x5 ；(2) y = ；(3) y 二 5；x3 ；(4) y 二 10x ；(5
7、) y 二 log x ；(6) y 二 sin xx 42例 2： y = x sin (ln x )+ cos (ln x)，则 y等于()A.2cos (ln x )B.2cos(丄ln x 丿C. 2sin (ln x )D.sin(ln x )例 3: f (L) = 2气:g的导数f (L)为()兀A.莎兀1兀BC.D.=vgL2、：gLvL例4:设函数f (x) = 2sin 2x + sinx，导函数为f (x)，则下列关于导函数f(x)的说法正确的是()A. 仅有最小值的奇函数B. 既有最大值，又有最小值的偶函数C. 仅有最大值的偶函数D. 非奇非偶函数则(shx)=()丫e
8、x e-xex + e - x例5:记 shx =,chx =22A. - shx B. shxC. chx D. -chx例6:二次函数f (x) = ax2 + bx + c导函数为f(x)，已知f (0) 0，且对任意实数x，有f (x) 0，则語的最小值为兀兀例7:已知函数f (x) = f(丁)cos x + smx，则f (丁)的值为 44【知识点3】复合函数求导1. 复合函数的导数复合函数y = f g(x)的导数与函数y = f (u)， y = f (u)的导数之间具有关系y = y -u，该关系用语言表述就是“ y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的 x u x乘积”
9、也就是先把g(x)当做一个整体，把y = f g(x)对g(x)求导，再把g(x)对x求导,这二者的乘积就是复合函数y = f g (x)对x的导数例1:求下列函数的导数. y = e3x+2 ； y = log2 (2 x +1)；(3) y = sin f 2 x + 叫I 3丿；a)y =cos xA. 2sin 2x +2j xB.2sin2 x + T2/xC. -2sin 2x + 週2j xD.2sin2 x -吗2%/x例 3:函数 y = sin (sinx)+cos(cosx)的导数是(A.y=cosxcos(sinx)sinxsin(cosx)B.y = cos x co
10、s (sin x)+ sin x sin (cos x)C.y = sin (cos x )+cos (sin x )D.y = cos 2 x例 4:函数 y = sin (in x)+ cos (in x )的导数为(cosln x + sin in x A.coslnxsinlnxB.-C. cosln x + sin In xD. cosln x sin In x例5：求函数y = (cos x )in x的导数例6:求函数y =x-1的导数【知识点4】导数的几何意义1. 导数的几何意义：函数在定点处的切线斜率函数y = f (x)在x处的导数f(x )，表示曲线y = f (x)在点
11、P(x ,f (x )处的切线 0 0 0 0pt的斜率，即tana = f(x )，如图3-1所示，过点p的切线方程为y y = f(x )(x x ). 0 0 0 0同样可以定义曲线y = f (x)在x的法线为过点P(x ,f (x )与曲线y = f (x)在x = x的 0 0 0 01切线垂直的直线过点p的法线方程为y y二(x-x )(f(x )丰0).0f (x )000例1：设函数f (x)是R上以5为周期的可导偶函数，则曲线y = f (x)在x = 5处的切线斜率为()11A. - B. 0 C. D. 555例2:下列各函数在点x = 0处没有切线的是()A. y = x3 + sin xB. y = x2 一 cos xC. y = 3x +1D. y = Jx + cos x例3:若y = 0是曲线y二x3 + bx + c的一条切线,A. 1B. 0 C. 1 D. 2x 21例4:已知曲线y = -4-3ln x的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为()a. 3 B.2 C.1 D. 2例5：若在曲线y = sinx(0 0，如果过点(a,b)可作曲线y = f (x)的三条切线，证明：-a b 0)(I) 若曲线y = f (x)在点(l,f (1)处的切线斜率为-2，求a的值以及切线
