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1、几何问题之中点题型1掌握三角形的内角和定理；2了解三角形三边的关系，并且能进行简单的应用；3学习用三角形边、角的关系进行简单的计算和证明；4学习分析问题、解决问题的能力。知识结构* * * -北一 中点有关联想归类：1. 等腰三角形中遇到底边上的中点，常联想“三线合一”的性质；2. 直角三角形中遇到斜边上的中点，常联想“斜边上的中线，等于斜边的一半”；3. 三角形中遇到两边的中点，常联想“三角形的中位线定理”；4、两条线段相等，为全等提供条件（遇到两平行线所截得的线段的中点时，常联想“八 字型”全等三角形）；5. 有中点时常构造垂直平分线；6. 有中点时，常会出现面积的一半（中线平分三角形的面
2、积）；7. 倍长中线。二.与中点问题有关的四大辅助线：1. 出现三角形的中线时，可以延长（简称“倍长中线”）；2. 出现直角三角形斜边的中点，作斜边中线；3. 出现三角形边上的中点，作中位线；4. 出现等腰三角形底边上的中点，构造“三线合一”三.几何证明之辅助线构造技巧:1. 假如作一条辅助线，能起到什么作用；2常作那些辅助线能与已知条件联系更紧密，且不破坏已知条件。ILU-*模块一、出现三角形的中线，可 以延长一、基础回顾1. 线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做这条线段的中点。2. 若点C是线段AB的中点，则：1 从线段来看：AC BC -AB ;2 从点与点的相对位置来看：点
3、C在点A、B之间，且点A B关于点C对称。3. 三角形的中线：连接三角形的一个顶点和它所对的边的中点所得的线段叫做三角形的中线。 一个三角形有三条中线； 每条中线平分三角形的面积； 三角形的三条中线交于一点，每条中线被该点（重心）分成1: 2的两段； 三角形的三条中线把三角形分成六个面积相等的小三角形。二、如何延长三角形的中线1.延长1倍的中线：如图，线段 AD是 ABC的中线，延长线段 AD至E,使DE AD （即延长1倍的中线），再连接BE、CE 。 总的来说，就可以得到一个平行四边形ABCD和两对（中心选转型）全等三角形ABD ECD、 ACDEBD，且每对全等三角形都关于点 D中心对称
4、； 详细地说，就是可以转移角：BADCED ， CAD BED ，ABD ECD， ACD EBD， ADBECD， ADCEDB ；可以移边：AB EC , AC EB ；可以构造平行线：AB / EC , AC / EB ；可以构造边长与 AB、AC、AD有关的三角形：ABE、 ACE。（1 ）延k长倍的中线：（k 0且k 1）如左（右）下图，点 E为 ABC中线AD （ DA延长线）上的点，延长 AD至F ,使 ED FD，连接BE、CE、BF、CF 在平行四边形 BFCE中就可以得到类似（1）中的 结论。注意：通常在已知条件或结论中测及到与BE、CE有关的边与角时，会用这种辅助线 、全
5、等三角形ttr、整体做题思路：中线倍长平行四边形利用性质解决冋题例1.如图， ABC中，AB AC , AD是中线.求证：DAC DAB 。【证明】：延长 AD到点E使得AD DE，联结CE/ AD是ABC中线 BD CD在ADB和EDC中：AD DEADB EDC ； ADB 也 EDCBD CD AB CE , DAB E又 AB AC CE AC DACE DACDAB?点评：1比较角度大小，常用两个方法：一是利用三角形的角度关系，将其中一个角表示为 另外一个角加上第三个角；二是利同一三角形中大边对大角进行比较大小；2. 倍长中线是常用构造辅助线方法，并再结合同一三角形中大边对大角。例2
6、.如图，已知在 ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE AC，延长BE交 AC于F .求证：AF EF 。H【证明】：延长 ED到点H使得ED DH，联结CH/ AD是 ABC中线 BD CD在EDB和CDH中：DE DHEDB CDH ； EDB 也 CDHBD CD CHBE, BEDH又 BEAC CHAC CADH AEFDEBH CAD AEFCAD AF EF例 3.已知 ABC 中，AB 12, AC30，求BC边上的中线 AD的范围。【解答】：延长 AD到点E使得AD DE，联结CE/ AD是ABC中线 BD CD在 ADB 和 EDC 中 : AD DEADB
7、也 EDCADB EDC ； BD CD AB CE在 AEC中，由两边之和大于第三边、两边之差小于第三边，可得： AC AB AE AC AB 18 2AD 42 9 AD 21? 点评： 求线段的范围，一般利用三角形中“两边之和大于第三边、两边之差小于第三边”。模块二、斜边中线与中位线、出现直角三角形斜边的中点，作斜边中线1. 如图，在Rt ABC 中，ACB 90，直角ACB 所对的边AB 称为 Rt ABC 的斜边，由ACBBCA，过点 C 作 CD 交 AB 于点 D，且 DACACD 。QDACACD ，AD CD .QACB90o，BACABC 90o，又QACDBCDo90 ，
8、BCDABC ，BD CD ，BD CD AD ，2.发现线段 CD 为斜边 AB 上的中线，且等于斜边的一半。3.作斜边中线，可以构造出等腰三角形，从而得到相等的边、相等的角。4通常在知道直角三角形斜边的中点的情况下，想到作斜边中线这条辅助线。、出现三角形边上的中点，作中位线 1中位线：连接三角形两边的中点所得的线段叫做三角形的中位线；也可以过三角形一边的中 点作平行于三角形另外一边交于第三边所得的线段也是中位线；以上是中位线的两种作法，第一种可以直接用中位线的性质，第二种需要说明理由为什么2中位线的性质：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半；3中位线辅助线能起到的作用：
9、在线段大小关系上，三角形的中位线是三角形第三边的一半，起着传递线段长度的功能 在位置上，三角形的中位线平行三角形的第三边，起着角的位置转移和计算角的的功能4. 通常在以下两种情况下，会作中位线辅助线： 有两个（或两个以上）的中点时； 有一边中点，并且已知或求证中涉及到线段的倍分关系时。 熟悉以下两个图形：例4.如图，在四边形 的延长线分别交EFABCD中，AB CD，点E、F分别是BC、AD的中点, 的延长线G、H。求证：BGEBA、CD【证明】：CHE 。日E连结BD，并取BD的中点为M ,则ME是 BCD的中位线，.ME二IcD ,2“ 1由MF是ABD的中位线， MF AB ,2证法一：
10、如图1 :连结ME、MF ,MEFCHEMFEBGE , AB CD， ME MF，二 MEF（证法二：如图2，延长GE到K ,使EKEK GE ,连结CK也行。（其余方法略）EHBGE CHE。，连结BK （略）。或者延长GE到K ,使MFE，从而GA例5.已知：如图图1ABC中, ABDE交BC于点F，若F是E)E，连结图2【分析】：要证的BD , CE不在同一个三角形中，而它们所在的三角形又不是同类三角形， 无法证明它们全等，由于 F是DE的中点，想到利用中点构造中心对称图形或中位线来移动 BD或CE的位置，把它们集中到同一个三角形中或把不同类三角形转化为同类三角形，使问 题得以解决。【
11、证明】：方法一：如图2，过D作DM / CE交BC于M，易证 DMF = ECF，再证BD DM 。 方法二：如图3，过E作EG / AB交BC的延长线于G。易证 BDF = GEF ,再证：EC EG。方法三：如图4,在AC上取点H ,使CHCE,连结DH。则CF为 EDH的中位线。再证：BD CH。A图3图4方法四：如图5，在AB的延长线上取点 N，使BNBD，连结NE。贝U FB为 DNE的中位线.再证BN CE 。方法五：如图6,连结BE,取 BE的中点K，取BC的中点M 连结MK、KF。则MK、KF分别为中位线。再证 KM KF，得BD CE。方法六：如图7,连结CD ,取CD的中点
12、H，取BC的中点I，连结HI、HF。则HI、HF分别为中位线。再证HI HF，得 BD CE。图5例6.已知如图， ABC中，D是BC边的中点，E是AD边的中点，连结BE并延长交AC于点F。求证：FC 2AF 。c【证明】：如图1，过点D做DG / BF，交AC于GD是BC边的中点，DG/BFFGGC。同理，AFFG2AF2FGFGGCFC即FC2AF例7.如图1-1，已知Rt ABC 中，AB AC，在 Rt ADE 中，AD DE ,连结 EC，取EC中点M，连结DM和BM ,（ 1）若点D在边AC上，点E在边AB上且与点B不重合，如图1-1，求证：BM DM且BM DM ；（ 2）将图1
13、-1中的 ADE绕点A逆时针转小于45的角，如图1-2，那么（1 ）中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如 果成立，请给予证明。图1-1图1-2【分析】：图1-1中由于点M为直角三角形斜边 EC的中点，显然要利用斜边中线的性质求解图1-2中尽管 ADE绕点A进行了旋转，但 M为EC的中点的条件依然未变，于是仍然可以利用中点还原出中心对称基本图形，使问题得解；另一方面，由于旋转之后直角仍然存在，于是仍可以利用斜边中线及中位线来解决。AC【证明】:(1)如图2，在Rt ABC和Rt ADE中，M为公共斜边EC的中点,1ccc DMEC BM 32,652 123 2 2,456 2 5 142( 25)90 BM DM 且 BM DM(2)成立。方法一：如图3 :延长DM至F，使MF DM，连结CF , BF，延长ED交AC于N易证：EMD也 CMFDEM FCM.EN/ FC 2ACB5 455/ 290190 ( BAC)455/ ABBC,AD DE CFBAD也 BCFBD BF , ABD CBFDBF ABC 90
