二元一次方程组应用题经典题解析版

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1、实际问题与二元一次方程组题型归纳知识点一：列方程组解应用题的基本思想 列方程组解应用题是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知 量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系 . 一般来说，有几个未知数就列出几个 方程，所列方程必须满足： (1) 方程两边表示的是同类量； (2) 同类量的单位要统一； (3) 方程两边的数值要相等 .知识点二：列方程组解应用题中常用的基本等量关系1. 行程问题：(1) 追击问题：追击问题是行程问题中很重要的一种，它的特点是同向而行 . 这类问 题比较直观，画线段,用图便于理解与分析其等量关系式是：两者的行程差二开始时两者相距的路程；(2) 相遇问题 ：

2、 相遇问题也是行程问题中很重要的一种， 它的特点是相向而行 . 这类 问题也比较直观，因而也画线段图帮助理解与分析 . 这类问题的等量关系是：双方所走 的路程之和二总路程.(3) 航行问题：船在静水中的速度+水速=船的顺水速度； 船在静水中的速度-水速=船的逆水速度； 顺水速度逆水速度=2 X水速.注意： 飞机航行问题同样会出现顺风航行和逆风航行，解题方法与船顺水航行、 逆水航行问题类似 .2. 工程问题：工作效率X工作时间=工作量.3商品销售利润问题：； (3)(1) 利润二售价成本(进价)；利润二成本(进价)X利润率；标价二成本(进价)X (1 +利润率)；(5)实际售价二标价X打折率；(

3、5) 注意：“商品利润=售价一成本”中的右边为正时，是盈利；为负时，就是亏 损. 打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售 . (例如八折就是按标价的十分之 八即五分之四或者百分之八十)(6) 4.储蓄问题：(7) (1) 基本概念(8) 本金：顾客存入银行的钱叫做本金利息：银行付给顾客的酬金叫做 利息.(9) 本息和：本金与利息的和叫做本息和.期数：存入银行的时间叫做期 数.(10) 利率：每个期数内的利息与本金的比叫做利率利息税：利息的税款 叫做利息税.(11) (2) 基本关系式(12) 利息二本金X利率X期数本息和=本金+利息=本金+本金X利率X期数=本金X （1 +利率X（13）期

4、数）（14）利息税=利息X利息税率=本金X利率X期数X利息税率（15）税后利息二利息X （1 利息税率）年利率二月利率X 12月利率= 年利率丄.12注意：免税利息=利息5. 配套问题：解这类问题的基本等量关系是：总量各部分之间的比例=每一套各部分之间的比例6. 增长率问题：解这类问题的基本等量关系式是：原量X （1 +增长率）二增长后的量；原量X （1 一减少率）=减少后的量.7. 和差倍分问题：解这类问题的基本等量关系是：较大量=较小量+多余量，总量=倍数X倍量.8. 数字问题：解决这类问题，首先要正确掌握自然数、奇数、偶数等有关概念、特征及其表示.如当n为整数时，奇数可表示为2n+1（或

5、2n-1），偶数可表示为2n等，有关两位数的10+个基本等量关系式为：两位数=十位数字 位数字9 .浓度问题：溶液质量X浓度=溶质质量.10 .几何问题：解决这类问题的基本关系式有关几何图形的性质、周长、面积等 计算公式11年龄问题： 解决这类问题的关键是抓住两人年龄的增长数是相等，两人的年 龄差是永远不会变的12优化方案问题： 在解决问题时，常常需合理安排 . 需要从几种方案中，选择最佳方案，如网络的使 用、到不同旅行社购票等，一般都要运用方程解答，得出最佳方案 .注意：方案选择题的题目较长，有时方案不止一种，阅读时应抓住重点 , 比较几种 方案得出最佳方案 .知识点三：列二元一次方程组解应

6、用题的一般步骤 利用二元一次方程组探究实际问题时，一般可分为以下六个步骤： 1审题:弄清题意及题目中的数量关系； 2设未知数 :可直接设元，也可间接设 元；3找出题目中的等量关系； 4列出方程组 : 根据题目中能表示全部含义的等量关 系列出方程，并组成方程组； 5解所列的方程组，并检验解的正确性； 6写出答案 . 要点诠释：(1) 解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检 查求得 的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去；(2) “设”、“答”两步，都要写清单位名称；(3) 一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组 .(4) 列方程组解应用题应注意的问题弄

7、清各种题型中基本量之间的关系；审题时，注意从文字，图表中获得有关信息； 注意用方程组解应用题的过程中单位的书写， 设未知数和写答案都要带单位， 列方程组与解方程组时，不要带单位；正确书写速度单位，避免与路程单位混淆； 在寻找等量关系时， 应注意挖掘隐含的条件； 列方程组解应用题一定要注意检验 .类型一：列二元一次方程组解决行程问题1甲、乙两地相距160千米，一辆汽车 和一辆拖拉机同时由甲、乙两地相向而行，1小时20分相遇.相遇后，拖拉机继续前 进，汽车在相遇处停留1小时后调转车头原速返回，在汽车再次出发半小时后追上了 拖拉机这时，汽车、拖拉机各自行驶了多少千米？思路点拨：画直线型示意图理解题意

8、：(1) 这里有两个未知数：汽车的行程；拖拉机的行程(2) 有两个等量关系：相向而行：汽车行驶1丄小时的路程+拖拉机行驶11-小时的路程=160千米;311 -小时的路程.2解：设汽车的速度为每小时行千米，拖拉机的速度为每小时千米.904xy160,311x1y22根据题意，列方程组解这个方程组，得:x 90,y 301丄丄32165,301丄 1-85.32答：汽车行驶了 165千米，拖拉机行驶了 85千米.总结升华：根据题意画出示意图，再根据路程、时间和速度的关系找出等量关系，是行程冋题的常用的解决策略【变式 1】甲、乙两人相距 36千米，相向而行，如果甲比乙先走 2 小时，那么他 们在乙

9、出发 2.5 小时后相遇；如果乙比甲先走 2 小时，那么他们在甲出发 3 小时后相 遇，甲、乙两人每小时各走多少千米？【变式 2】两地相距 280千米，一艘船在其间航行，顺流用 14小时，逆流用 20 小 时，求船在静水中的速度和水流速度 .类型二：列二元一次方程组解决 工程问题2一家商店要进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工， 8天可以完成， 需付两组费用共 3520元；若先请甲组单独做 6天， 再请乙组单独做 12天可完成，需付两组费用共 3480元，问：(1) 甲、乙两组工作一天， 商店应各付多少元？ (2) 已知甲组单独做需 12 天完成，乙组单独做需 24 天完成，单独 请哪组，商

10、店所付费用最少？思路点拨： 本题有两层含义，各自隐含两个等式，第一层含义：若请甲、乙两个 装修组同时施工， 8 天可以完成，需付两组费用共 3520元；第二层含义：若先请甲组 单独做 6 天，再请乙组单独做 12天可完成，需付两组费用共 3480元.设甲组单独做一 天商店应付 x 元，乙组单独做一天商店应付 y 元，由第一层含义可得方程 8(x+y)=3520, 由第二层含义可得方程 6x+12y=3480.解：(1) 设甲组单独做一天商店应付 x 元，乙组单独做一天商店应付 y 元，依题意 得：解得答：甲组单独做一天商店应付 300 元，乙组单独做一天商店应付 140 元. 单独请甲组做，需

11、付款300X 12= 3600元，单独请乙组做，需付款24X 140=3360 兀，故请乙组单独做费用最少 . 答：请乙组单独做费用最少 .总结升华： 工作效率是单位时间里完成的工作量，同一题目中时间单位必须统一， 一般地，将工作总量设为1,也可设为a,需根据题目的特点合理选用；工程问题也经 常利用线段图或列表法进行分析 .【变式】 小明家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作 6 周完成需工 钱 5.2 万元；若甲公司单独做 4 周后，剩下的由乙公司来做，还需 9 周完成，需工钱 4.8 万元.若只选一个公司单独完成，从节约开支的角度考虑，小明家应选甲公司还是 乙公司？请你说明理由 .

12、类型三：列二元一次方程组解决商品销售利润问题3有甲、乙两件商品，甲商品的利润率为 5%,乙商品的利润率为 4%,共可获利 46 元. 价格调整后， 甲商品的利润率为 4%，乙商 品的利润率为 5%，共可获利 44 元，则两件商品的进价分别是多少元？思路点拨：做此题的关键要知道：利润二进价X利润率解：甲商品的进价为X元，乙商品的进价为y元，由题意得：解得答：两件商品的进价分别为 600元和400元【变式1】（2011湖南衡阳）李大叔去年承包了 10亩地种植甲、乙两种蔬菜，共 获利18000元，其中甲种蔬菜每亩获利2000元，乙种蔬菜每亩获利1500元，李大叔 去年甲、乙两种蔬菜各种植了多少亩？【

13、变式2】某商场用36万元购进A B两种商品，销售完后共获利6万元，其进价和 售价如下表：AB进价（元/件）12001000售价（元/件）13801200（注：获利=售价一进价）求该商场购进A、B两种商品各多少件;4.小明的妈妈为了准备小明一年后上高中的费用，现在以两种方式在银行共存了 2000元钱，一种是年利率为2.25 %的教育储 蓄，另一种是年利率为2.25 %的一年定期存款，一年后可取出 2042.75元，问这两种 储蓄各存了多少钱？（利息所得税二利息金额X 20%教育储蓄没有利息所得税）思路点拨：设教育储蓄存了 x元，一年定期存了 y元，我们可以根据题意可列出表格:教育储蓄一年定期合计

14、现在一年后2042.75解：设存一年教育储蓄的钱为x元，存一年定期存款的钱为y元，则列方程:，解得：答：存教育储蓄的钱为 1500 元，存一年定期的钱为 500元.总结升华 : 我们在解一些涉及到行程、收入、支出、增长率等的实际问题时， 有时候不容易找出其等量关系，这时候我们可以借助图表法分析具体问题中蕴涵的数 量关系，题目中的相等关系随之浮现出来 .【变式 1】李明以两种形式分别储蓄了 2000 元和 1000元，一年后全部取出， 扣除 利息所得税可得利息 43.92 元. 已知两种储蓄年利率的和为 3.24%，问这两种储蓄的年 利率各是百分之几？（注：公民应缴利息所得税 =利息金额x 20%【 变式 2】小敏的爸爸为了给她筹备上高中的费用，在银行同时用两种方式共存了4000元钱. 第一种，一年期整存整取，共反复存了 3 次，每次存款数都相同，这种存款银行利率为年息 2.25%；第二种，三年期整存整取，这种存款银行年利率为2.70%.三年后同时取出共得利息 303.75 元（ 不计利息税 ） ，问小敏的爸爸两种存款各存入了多少元？类型五：列二元一次方程组解决 生产中的配套问题5某服装厂生产一批某种款式的秋装， 已知每 2 米的某种布料可做上衣的衣身 3 个或衣袖 5 只. 现计划用 132米这种布料生 产这批秋装 （不考虑布料的损耗 ） ，应分别用多少布料才能使做的衣