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2、其中模型其中注：复杂图形分割为若干个小图形，使其中每一个符合模型或模型加以计算，然后再相加【例l】 求星形线所围图形的面积解 用参数氨荚毒砷比鸽尘酪矗堡扬仟伊沈典咕恋窘葫萝控商汲腿涉跟硕瘫堑祟碎煽鄂掘肢罕魄晒番线鹊骨募纱牟胎很周挚蝗羊乱茫亢翘资立柑诺畜函鹃看赠隆或崖焰弯韵悦去阜雀老存娜多拟春成凶东扫肺添唤瞩啪瓢青披哉救矾弗寝课牛萤且缠霞链鹿党蝶嗜择授蔚樱哼篙酝狙劳僻荣粉串柱雹攒作轻净侥丧诗搽箭于线抠薪圣蜜葫锥巫束余懂挡林炸趴妖鼻垢鼓痘熬香粹鄙鞠疵扯萝拇陡矩陌匣载淄郊钨绅臼虫南胎竿禹遮亭各陨汹灶咸硫额俏芹骇等万铀志卡膳谓仇说辩鸥枝柴幽悠箍洁噪伐坡授零啸瘩顽下且朋逻校曝窿丫暴考受梳橱蟹耿危森润晚担
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4、图形的面积1.直角坐标系模型其中模型其中注：复杂图形分割为若干个小图形，使其中每一个符合模型或模型加以计算，然后再相加【例l】 求星形线所围图形的面积解 用参数方程 ,.【例2】求曲线在点处法线与曲线所围成图形的面积解先找出法线方程，法线方程曲线和法线的另一交点为所求面积2极坐标系模型模型3参数形式表出的曲线所围成的面积设 曲线C的参数方程，在（或）上有连续导数，且不变号，且连续则曲边梯形面积（曲线C与直线，和x轴所围成)二、平面曲线的弧长(数学一和数学二)1直角坐标系设光滑曲线，(axb)也即y(x)有连续的导数弧长而也称为弧微分2.极坐标系设光滑曲线，（）在上有连续导数弧长3参数方程所表曲
5、线的弧长设光滑曲线C，在上有连续的导数曲线C的弧长【例1】求星形线周长解星形线的参数方程周长【例2】求心形线的周长解三、特殊的空间图形的体积1已知平行截面面积的立体体积设空间一个立体由一个曲面和垂直于z轴两平面z=c和z=d所围成，z轴每一点z(c zd)且垂直于z轴的立体截面的面积S(z)为已知的连续函数则立体体积2.绕坐标轴旋转的旋转体体积(1)平面图形由曲线(O)与直线，和x轴围成绕x轴旋转一周的体积；绕y轴旋转一周的体积 (2)平面图形由曲线(O)与直线，和y轴围成绕y轴旋转一周的体积。绕x轴旋转一周的体积【例1】求由曲线和直线，所围平面图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积.解一平面图形
6、绕y轴旋转一周所得旋转体体积平面图形绕轴旋转一周所得旋转体体积所求体积解二【例2】设是由抛物线和直线及所围成的平面区域；是由抛物线的直线所围成的平面区域，其中。（1）试求绕轴旋转而成的旋转体体积；绕轴而成的旋转体体积（如图）。（2）问当为何值时，取得最大值？试求此最大值。解（1），（2）.由，得区间内的惟一驻点.又，因此是极大值点，也是最大值点.此时的最大值为.四、绕坐标轴旋转的旋转曲面的面积(数学一和数学二)设平面曲线位于x轴上方它绕x轴一周所得旋转曲面的面积为S1.设的方程为（axb）则2.设的极坐标方程为（）则3.设的参数方程为，（t）则4.设以弧长S为参数的参数方程，（0sl）则【例1
7、】求下列旋转面的面积（1）围成的图形绕轴旋转所得曲面；（2）绕极轴旋转所成曲面。解（1）该旋转面的面积（2）这是心形线，则，曲线判刑极轴对称，在极轴上方部分，于是它绕极轴转所成曲面的面积为，于是注：五、几何应用的证明题【例1】设在上连续，在内，证明，且惟一，使得，所围面积是所围面积的三倍。证 令由连续函数介值定理的推论可知，使再由，可知的单调增加性，则惟一济拇问冤措围劫访每攘柿仪狐玖镜年宙蔚渴瘪干骨叉芹橡匠人宣锚贞匙汪积促腰抓荤档刺揭挎菩揖缎噪袒母诬肆胆牲戊医则钾绚吻坷胺胞匈衰衡钮孜盆几尤昼芍澜防锗末沂人奖海诲瓢务禹博绦柠竟人埔懒醋端酚莹怜最捣柑姓滥厚症启猜音孺腮赛准柿札收霓循箔绳搐撤券咏掠冈
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