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1、湖南省长沙一中2015届高三上学期第一次月考数学试卷（理科） 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共5分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）集合M=1，2，N=1，2，3，P=x|x=ab，aM，bN，则集合P的元素个数为（）A3B4C5D62（5分）在索契冬奥会跳台滑雪空中技巧比赛赛前训练中，甲、乙两位队员各跳一次设命题p是“甲落地站稳”，q是“乙落地站稳”，则命题“至少有一位队员落地没有站稳”可表示为（）ApqBp（q）C（p）（q）D（p）（q）3（5分）如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则=（）ABCD4（5分）复数m（3+i）（2+i
2、）（mR，i为虚数单位）在复平面内对应的点不可能位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限5（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序若输入某个正整数n后，输出的S（31，72），则n的值为（） / A5B6C7D86（5分）已知x0是的一个零点，x1（，x0），x2（x0，0），则（）Af（x1）0，f（x2）0Bf（x1）0，f（x2）0Cf（x1）0，f（x2）0Df（x1）0，f（x2）07（5分）若将函数f（x）=sin2x+cos2x的图象向右平移个单位，所得图象关于y轴对称，则的最小正值是（）ABCD8（5分）已知x，yR，且命题p：xy，命题q：xy+sin（xy）0
3、，则p是q的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件9（5分）当实数x，y满足时，1ax+y4恒成立，则实数a的取值范围是（）ABCD10（5分）已知A（1，0），点B在曲线G：y=ln（x+1）上，若线段AB与曲线M：y=相交且交点恰为线段AB的中点，则称B为曲线G关于曲线M的一个关联点记曲线G关于曲线M的关联点的个数为a，则（）Aa=0Ba=1Ca=2Da2二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分把答案填在答题卡中对应题号后的横线上）11（5分）已知角的终边经过点（4，3），则sin（+）=12（5分）已知4a=，lgx=a，则x=13（5分）若f（x）
4、=，则满足f（x）0的x的取值范围是14（5分）已知，均为单位向量，且满足=0，则（+）（+）的最大值是15（5分）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一组数：1，1，2，3，5，8，13，其中从第三个数起，每一个数都等于他前而两个数的和该数列是一个非常美丽、和谐的数列，有很多奇妙的属性比如：随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越逼近黄金分割0.6180339887人们称该数列an为“斐波那契数列”若把该数列an的每一项除以4所得的余数按相对应的顺序组成新数列bn，在数列bn中第2014项的值是；数列bn中，第2014个值为1的项的序号是三、解答题（本大题共6小题，共75
5、分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16（12分）已知函数f（x）=2sinxcosx2sin2x+a，aR（）求函数f（x）的最小正周期；（）若函数f（x）有零点，求实数a的取值范围17（12分）已知圆内接四边形ABCD的边AB=1，BC=3，CD=DA=2（）求角C的大小和BD的长；（）求四边形ABCD的面积及外接圆半径18（12分）某工厂统计资料显示，产品次品率p与日产量n （件）（nN+，且1n98）的关系表如下：n123498p1又知每生产一件正品盈利a元，每生产一件次品损失元（a0）（1）将该厂日盈利额T（元）表示为日产量n（件）的一种函数关系式；（2）为了获得最大盈利，该厂
6、的日产量应定为多少件？（1.73）19（13分）数列an满足：a1=1，a2=2，an+2=（1+）an+sin2，nN+（）求数列an的通项公式；（）设bn=，Sn=b1+b2+bn，证明：Sn2（nN+）20（13分）如图，椭圆=1（ab0）与一等轴双曲线相交，M是其中一个交点，并且双曲线的顶点是该椭圆的焦点F1，F2，双曲线的焦点是椭圆的顶点A1，A2，MF1F2的周长为4（+1）设P为该双曲线上异于顶点的任一点，直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、D（）求椭圆和双曲线的标准方程；（）设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2，证明k1k2=1；（）是否存在常数，使得|AB|
7、+|CD|=|AB|CD|恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由21（13分）已知x=a、x=b是函数f（x）=lnx+（m+2）x（mR）的两个极值点，若4（）求实数m的取值范围；（）求f（b）f（a）的最大值湖南省长沙一中2015届高三上学期第一次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共5分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）集合M=1，2，N=1，2，3，P=x|x=ab，aM，bN，则集合P的元素个数为（）A3B4C5D6考点：元素与集合关系的判断 专题：集合分析：首先，根据aM，bN，逐一对a，b的取值情形进行
8、讨论，然后，求解x=ab的取值情形解答：解：当a=1，b=1时，x=1；当a=1，b=2时，x=2；当a=1，b=3时，x=3；当a=2，b=1时，x=2；当a=2，b=2时，x=4；当a=2，b=3时，x=6；根据集合的元素满足互异性，得P=1，2，3，4，6共5个元素故选C点评：本题重点考查集合中的元素性质，集合的列举法表示等，属于容易题2（5分）在索契冬奥会跳台滑雪空中技巧比赛赛前训练中，甲、乙两位队员各跳一次设命题p是“甲落地站稳”，q是“乙落地站稳”，则命题“至少有一位队员落地没有站稳”可表示为（）ApqBp（q）C（p）（q）D（p）（q）考点：复合命题 专题：简易逻辑分析：命题“
9、至少有一位队员落地没有站稳”表示“甲落地没有站稳”与“乙落地没有站稳至少一个发生”解答：解：设命题p是“甲落地站稳”，q是“乙落地站稳”，则命题“至少有一位队员落地没有站稳”表示p与q至少一个发生，即p与q至少一个发生，表示为（）p（q）故选：D点评：本题考查用简单命题表示复合命题的非命题，属于基础题3（5分）如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则=（）ABCD考点：向量的加法及其几何意义 专题：计算题分析：利用平行四边形法则做出向量，再进行平移，利用向量相等的条件，可得 解答：解：设，以OP、OQ为邻边作平行四边形，则夹在OP、OQ之间的对角线对应的向量即为向量，由和长度相等
10、，方向相同，故选 C点评：本题考查向量的加法及其几何意义，向量相等的条件，利用向量相等的条件是解题的关键4（5分）复数m（3+i）（2+i）（mR，i为虚数单位）在复平面内对应的点不可能位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限考点：复数的代数表示法及其几何意义 专题：数系的扩充和复数分析：根据复数的几何意义，即可得到结论解答：解：m（3+i）（2+i）=3m2+（m1）i，对应的坐标为（3m2，m1），当时，即，此时不等式无解，即复数在复平面内对应的点不可能位于第二象限，故选：B点评：本题主要考查复数的几何意义，利用复数的基本运算即可得到结论，比较基础5（5分）阅读如图所示的程序框图，
11、运行相应的程序若输入某个正整数n后，输出的S（31，72），则n的值为（）A5B6C7D8考点：程序框图 专题：算法和程序框图分析：根据框图的流程依次计算程序运行的结果，直到输出的S（31，72），确定跳出循环的k值，从而确定判断框的条件，可得答案解答：解：由程序框图知：第一次循环S=1+0=1，k=2；第二次循环S=1+21=3，k=3；第三次循环S=1+23=7，k=4；第四次循环S=1+27=15，k=5；第五次循环S=1+215=31k=6；第六次循环S=1+231=63，k=7；第七次循环S=1+263=127，k=8输出的S（31，72），跳出循环的k值为7，判断框的条件为k6故选
12、：B点评：本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程依次计算程序运行的结果是解答此类问题的常用方法6（5分）已知x0是的一个零点，x1（，x0），x2（x0，0），则（）Af（x1）0，f（x2）0Bf（x1）0，f（x2）0Cf（x1）0，f（x2）0Df（x1）0，f（x2）0考点：函数零点的判定定理 专题：计算题分析：已知x0是的一个零点，可令h（x）=，g（x）=，画出h（x）与g（x）的图象，判断h（x）与g（x）的大小，从而进行求解；解答：解：已知x0是的一个零点，x1（，x0），x2（x0，0），可令h（x）=，g（x）=，如下图：当0xx0，时g（x）h（x），h（x）g（x
13、）=0；当xx0时，g（x）h（x），h（x）g（x）=0；x1（，x0），x2（x0，0），f（x1）0，f（x2）0，故选C；点评：此题主要考查指数函数的图象及其性质，解题的过程中用到了分类讨论的思想，这是2015届高考的热点问题，是一道基础题；7（5分）若将函数f（x）=sin2x+cos2x的图象向右平移个单位，所得图象关于y轴对称，则的最小正值是（）ABCD考点：函数y=Asin（x+）的图象变换 专题：三角函数的求值分析：利用两角和的正弦函数对解析式进行化简，由所得到的图象关于y轴对称，根据对称轴方程求出的最小值解答：解：函数f（x）=sin2x+cos2x=sin（2x+）的图象向右平移的单位，所得图象是函数y=sin（2x+2），图象关于y轴对称，可得2=k+，即=，当k=1时，的最小正值是故选：C点评：本题考查三角函数的图象变换，考查正弦函数图象的特点，属于基础题8（5分）已知x，yR，且命题p：xy，命题q：xy+sin（x
