《万有引力定律公式、例题及其应用[1][1]》由会员分享，可在线阅读，更多相关《万有引力定律公式、例题及其应用[1][1]（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、【例1】中子星是恒星演化过程的一种可能结果，它的密度很大。现有一中子星，观测1到它的自转周期为T= 30 s。问该中子星的最小密度应是多少才能维持该星的稳定，不致因自转而瓦解。计算时星体可视为均匀球体。（引力常数G=6.67x 10-11 m3/kg.s2）解析：设想中子星赤道处一小块物质，只有当它受到的万有引力大于或等于它随星体所 需的向心力时，中子星才不会瓦解。设中子星的密度为P ,质量为M，半径为尺，自转角速度为，位于赤道处的小物块GMm2兀4 c质量为m 则有厂二mw 2 R 二，M二兀R3 pR2T33兀由以上各式得P=，代入数据解得：P= 1.27 x 1014 kg / m3。G
2、T 2点评：在应用万有引力定律解题时，经常需要像本题一样先假设某处存在一个物体再分 析求解是应用万有引力定律解题惯用的一种方法。（2）行星表面重力加速度、轨道重力加速度问题：（重力近似等于万有引力）表面重力加速度：T G嚳二mgg二GMR 200 R 2GMmGM轨道重力加速度:(R + h=mgh . gh = (r + h【例2】一卫星绕某行星做匀速圆周运动，已知行星表面的重力加速度为g,行星的质 量M与卫星的质量m之比M/m=81,行星的半径R。与卫星的半径R之比R0/R=3.6，行星 与卫星之间的距离r与行星的半径R0之比r/R=60。设卫星表面的重力加速度为g,则在卫GMm星表面有
3、=mg r 2经过计算得出：卫星表面的重力加速度为行星表面的重力加速度的1/3600o上述结果是 否正确？若正确，列式证明；若有错误，求出正确结果。解析：题中所列关于g的表达式并不是卫星表面的重力加速度，而是卫星绕行星做匀速 圆周运动的向心加速度。正确的解法是亠 Gm一 亠 GM/R、 m g卫星表面=g行星表面=g0 即（-才）2=-R2R 20 R M g0 0即 g =0.16g0o（3）人造卫星、宇宙速度：人造卫星分类同步卫星【例3】我国自行研制的“风云一号” “风云二号”气象卫星运行的轨道是不同的。“一 号”是极地圆形轨道卫星。其轨道平面与赤道平面垂直，周期是12h； “二号”是地球
4、同步 卫星。两颗卫星相比 号离地面较高； 号观察范围较大； 号运行速度较大。若某天上午8点“风云一号”正好通过某城市的上空，那么下一次它通过该城市上空的时刻 将是。解析：根据周期公式T= 2存知，高度越大，周期越大，则“风云二号”气象卫星 GM离地面较高；根据运行轨道的特点知，“风云一号”观察范围较大；根据运行速度公式V=JGM知，高度越小，速度越大，则“风云一号”运行速度较大，由于“风云一号”卫r星的周期是12h，每天能对同一地区进行两次观测，在这种轨道上运动的卫星通过任意纬度 的地方时时间保持不变。则下一次它通过该城市上空的时刻将是第二天上午8点。【例4】可发射一颗人造卫星，使其圆轨道满足
5、下列条件（）A、与地球表面上某一纬度线（非赤道）是共面的同心圆B、与地球表面上某一经度线是共面的同心圆C、与地球表面上的赤道线是共面同心圆，且卫星相对地面是运动的D、与地球表面上的赤道线是共面同心圆，且卫星相对地面是静止的解析：卫星绕地球运动的向心力由万有引力提供，且万有引力始终指向地心，因此卫星 的轨道不可能与地球表面上某一纬度线（非赤道）是共面的同心圆，故A是错误的。由于 地球在不停的自转，即使是极地卫星的轨道也不可能与任一条经度线是共面的同心圆，故B 是错误的。赤道上的卫星除通信卫星采用地球静止轨道外，其它卫星相对地球表面都是运动 的，故C、D是正确的。【例5】侦察卫星在通过地球两极上的
6、圆轨道上运行，它的运行轨道距地面高度为h， 要使卫星在一天的时间内将地面上赤道各处在日照条件的情况下全都拍摄下来，卫星在通过 赤道上空时，卫星上的摄像机至少应拍摄地面上赤道圆周的弧长是多少？设地球半径为R， 地面处的重力加速度为g,地球自转的周期为To解析：如果周期是12小时，每天能对同一地区进行两次观测。如果周期是6小时，每 天能对同一纬度的地方进行四次观测。如果周期是24小时，每天能对同一纬度的地方进行nn次观测。【例6】在地球（看作质量均匀分布的球体）上空有许多同步卫星，下面说法中正确的 是（ ）A. 它们的质量可能不同B.它们的速度可能不同C.它们的向心加速度可能不同D.它们离地心的距
7、离可能不同解析：同步卫星绕地球近似作匀速圆周运动所需的向心力由同步卫星的地球间的万有引 力提供。设地球的质量为M,同步卫星的质量为地球半径为尺，同步卫星距离地面的高度为力由F 引=F向G M =m (R+h)得：h= 3-R，可见同步卫星离地(R + h)2T24u 2mMv2 ,由(R + h)2-m R + h心的距离是一定的。v= ： Rh，所以同步卫星的速度相同。R + h由G- =ma得：a= G-即同步卫星的向心加速度相同。(R + h)2(R + h)2由以上各式均可看出地球同步卫星的除质量可以不同外，其它物理量值都应是固定的。所以正确选项为Aoa 2 b 2 c【例7】地球同步
8、卫星到地心的距离r可由r3 =刁丁求出，已知式中a的单位是m， b的单位是s, c的单位是m/s2,贝A. a是地球半径，b是地球自转的周期，C是地球表面处的重力加速度；B. a是地球半径。b是同步卫星绕地心运动的周期，C是同步卫星的加速度；C. a是赤道周长，b是地球自转周期，C是同步卫星的加速度D. a是地球半径，b是同步卫星绕地心运动的周期，C是地球表面处的重力加速度。解析：由万有引力定律导出人造地球卫星运转半径的表达式，再将其与题给表达式中各 项对比，以明确式中各项的物理意义。AD正确。【例8】我国自制新型“长征”运载火箭，将模拟载人航天试验飞船“神舟三号”送入 预定轨道，飞船绕地球遨
9、游太空t=7天后又顺利返回地面。飞船在运动过程中进行了预定 的空间科学实验，获得圆满成功。 设飞船轨道离地高度为h,地球半径为R,地面重力加速度为g.则“神舟三号”飞船 绕地球正常运转多少圈?(用给定字母表示) 若h = 600 km, R=6400 km,则圈数为多少？O解析：(1)在轨道上GmM(R + h)2亠,亠 GmM 在地球表面：右訓g联立式得：T=咨h）时R故 n= - =tR T 2n (R + h) R + h代人数据得：=105圈（4）双星问题:【例9】两个星球组成双星，它们在相互之间的万有引力作用下，绕连线上某点做周期 相同的匀速圆周运动。现测得两星中心距离为尺，其运动周
10、期为门求两星的总质量。解析：设两星质量分别为M和M2,都绕连线上0点作周期为T的圆周运动，星球1和星球2到0的距离分别为-和/2。由万有引力定律和牛顿第二定律及几何条件可得MJG M1M2 =M (R21M2 =4n 2R 2l1GT 2对M2：G沁=M (R224n 2 R 212AM =21GT2两式相加得Mi+M2= 4GT 2（已）_ 4n 2 R3GT 2（5）有关航天问题的分析：【例10】无人飞船“神州二号”曾在离地高度为H=3. 4xi05m的圆轨道上运行了 47 小时。求在这段时间内它绕行地球多少圈？（地球半径R=6.37X106m,重力加速度g=9.8m/s2）解析：用r表示
11、飞船圆轨道半径r=H+ R=6. 71 X106m。M表示地球质量，m表示飞船质量，表示飞船绕地球运行的角速度，G表示万有引GMm 2力常数。由万有引力定律和牛顿定律得一=m 2rr 2MgR22兀利用G =g得= 2由于 =，t表示周期。解得R2r3TT=t又n= t代入数值解得绕行圈数为n=31。【例11】2003年10月16日北京时间6时34分，中国首位航天员杨利伟乘坐“神舟” 五号飞船在内蒙古中部地区成功着陆，中国首次载人航天飞行任务获得圆满成功。中国由此 成为世界上继俄、美之后第三个有能力将航天员送上太空的国家。据报道，中国首位航天员 杨利伟乘坐的“神舟”五号载人飞船，于北京时间十月
12、十五日九时，在酒泉卫星发射中心用 “长征二号F”型运载火箭发射升空。此后，飞船按照预定轨道环绕地球十四圈，在太空飞 行约二十一小时，若其运动可近似认为是匀速圆周运动，飞船距地面高度约为340千米，已 知万有引力常量为G=6.67X10ti牛米2/千克2,地球半径约为6400千米，且地球可视为 均匀球体，则试根据以上条件估算地球的密度。（结果保留1位有效数学）解析：设地球半么为地球质量为M,地球密度为p；飞船距地面高度为力，运行周 期为T,飞船质量为m。据题意题T = - = 21 ：4600 s=5400sn 14飞船沿轨道运行时有F引mM(R + h)24兀 2m(R + h)T2二 pV
13、二 p-兀R33由式得:GT 2 R 3代入数据解得P =u 6 x 103 kg/m33 x 3.14 x (6400 x 103 + 340 x 103 )36.67x 10-ii x54002 x(6400x 103)3（6）天体问题为背景的信息给予题近两年，以天体问题为背景的信息给予题在全国各类高考试卷中频频出现，不仅考查学 生对知识的掌握，而且考查考生从材料、信息中获取有用信息以及综合能力。这类题目一般 由两部分组成：信息给予部分和问题部分。信息给予部分是向学生提供解题信息，包括文字 叙述、数据等，内容是物理学研究的概念、定律、规律等，问题部分是围绕信息给予部分来 展开，考查学生能否
14、从信息给予部分获得有用信息，以及能否迁移到回答的问题中来。从题 目中提炼有效信息是解决此类问题的关键所在。【例12】地球质量为M,半径为自转角速度为。万有引力恒量为G,如果规定 物体在离地球无穷远处势能为0,则质量为m的物体离地心距离为r时，具有的万有引力势厂Mm能可表示为E =-G。国际空间站是迄今世界上最大的航天工程，它是在地球大气层pr上空绕地球飞行的一个巨大人造天体，可供宇航员在其上居住和科学实验。设空间站离地面 高度为力，如果杂该空间站上直接发射一颗质量为m的小卫星，使其能到达地球同步卫星 轨道并能在轨道上正常运行，由该卫星在离开空间站时必须具有多大的动能？,Mm mv21Mm解析：
15、由G =得，卫星在空间站上动能为E =- mv2 = Gr 2rk 22（ R + h）Mm卫星在空间站上的引力势能为E =-GP（R + h）机械能为E广Ek + Ep =-G 丽小 MmI MG同步卫星在轨道上正常运行时有G二mo 2r 故其轨道半径r = 3r 2丫 o 2Mm 1.由上式可得同步卫星的机械能E G m彳、；G2M20 222r 2卫星运动过程中机械能守恒，故离开航天飞机的卫星的机械能应为丘2设离开航天飞机1| Mm时卫星的动能为E则E = E E = m3*G2M20 2 + G 一kx kx 2 p 2R + h【例13】1997年8月26日在日本举行的国际学术大会上，德国Max Planck学会的 一个研
