导数的概念

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1、导数樊加虎导数是近代数学中微积分的核心概念之一，是一种思想方法，这种思想方法 是人类智慧的骄傲.导数的概念这一节内容，大致分成四个课时，我主要针 对第三课时的教学，谈谈我的理解与设计，敬请各位专家斧正.一、教材分析1.1 编者意图 导数的概念分成四个部分展开，即：“曲线的切线”，“瞬 时速度”，“导数的概念”，“导数的几何意义”，编者意图在哪里呢？用前两部分 作为背景，是为了引出导数的概念；介绍导数的几何意义，是为了加深对导数的 理解.从而充分借助直观来引出导数的概念；用极限思想抽象出导数；用函数思 想拓展、完善导数以及在应用中巩固、反思导数，教材的显著特点是从具体经验 出发，向抽象和普遍发展

2、，使探究知识的过程简单、经济、有效.1.2 导数概念在教材的地位和作用 “导数的概念”是全章核心.不仅在于它 自身具有非常严谨的结构，更重要的是，导数运算是一种高明的数学思维，用导 数的运算去处理函数的性质更具一般性，获得更为理想的结果；把运算对象作用 于导数上，可使我们扩展知识面，感悟变量，极限等思想，运用更高的观点和更 为一般的方法解决或简化中学数学中的不少问题；导数的方法是今后全面研究微 积分的重要方法和基本工具，在在其它学科中同样具有十分重要的作用；在物理 学，经济学等其它学科和生产、生活的各个领域都有广泛的应用 .导数的出现推 动了人类事业向前发展.1.3 教材的内容剖析 知识主体结

3、构的比较和知识的迁移类比如下表 表 1. 知识主体结构比较对象内容本质符号语言数学思想现有认知结构曲线y=f(x)切线的斜率割线斜率 的极限k = lim 冬AxtO 心极限思想物体运动规 律S=s（t）物体的瞬时 速度平均速度 的极限Asv = lim At tO At极限思想 函数思想最近 发展 区函数y=f(x)导函数（导数）平均变化 率的极限y y = lim AyAxtO Ax极限思想 函数思想表 2. 知识迁移类比（导数像速度）已有认知结构最近发展区相似点物体在t0时刻的速度s(t + At) s(t )v = lim e90 At tOAt函数f(x)在x0处的导数 f( x )

4、 = lim f (xo +3 - f (xe) 0axtoAx特指 常数物体的任意时刻t的 速度s(t + At) s (t)v = limAt tOAt函数f(x)在开区间内 lim f (x + Ax) f (x) Ax tOAx泛指 是函数(变量)瞬时速度一般说成速度导函数一般说成导数名称对应 泛指v=v(t)y = f(x)关系对应v0=v|t=t0f(x )二 y 1 x 二 x0 0求法对应位移对时间的变化率函数对自变量的变化率本质对应通过比较发现：求切线的斜率和物体的瞬时速度，这两个具体问题的解决 都依赖于求函数的极限，一个是“微小直角三角形中两直角边之比”的极限，一个 是“位

5、置改变量与时间改变量之比”的极限，如果舍去问题的具体含义，都可以归 结为一种相同形式的极限，即“平均变化率”的极限.因此以两个背景作为新知的 生长点，不仅使新知引入变得自然，而且为新知建构提供了有效的类比方法.1.4 重、难点剖析重点：导数的概念的形成过程.难点：对导数概念的理解.为什么这样确定呢？导数概念的形成分为三个的层次：f(x)在点x0可导 ff(x)在开区间(a，b)内可导ff(x)在开区间(a，b)内的导函数f导数，这 三个层次是一个递进的过程，而不是专指哪一个层次，也不是几个层次的简单相 加，因此导数概念的形成过程是重点；教材中出现了两个“导数”， “两个可导”， 初学者往往会有

6、这样的困惑， “导数到底是个什么东西？一个函数是不是有两种导数呢？ ”，“导函数与导数是怎么统一的？ ”事实上：(1) f(x)在点x0处的导数是这一点xo到gx的变化率电的极限,是一个常数，区别于导函数.2)f(x)的导数是对开区间内任意点x而言，是x到x+Ax的变化率包的极限，是f(x) Ax在任意点的变化率，其中渗透了函数思想. (3)导函数就是导数！是特殊的函 数：先定义f(x)在x0处可导、再定义f(x)在开区间(a , b)内可导、最后定义 f(x)在开区间的导函数.(4) y= f(x)在x0处的导数就是导函数f(x)在x=x0处的 函数值，表示为y I x二x0这也是求f(x0

7、)的一种方法.初学者最难理解导数的概念， 是因为初学者最容易忽视或混淆概念形成过程中几个关键词的区别和联系，会出 现较大的分歧和差别，要突破难点，关键是找到“f(x)在点x0可导”、“f(x)在开区 间的导函数”和“导数”之间的联系，而要弄清这种联系的最好方法就是类比！用 “速度与导数”进行类比.二、目的分析2.1 学生的认知特点. 在知识方面，对函数的极限已经熟悉，加上两个具体 背景的学习，新知教学有很好的基础；在技能方面，高三学生，有很强的概括能 力和抽象思维能力；在情感方面，求知的欲望强烈，喜欢探求真理，具有积极的 情感态度.2.2 教学目标的拟定. 鉴于这些特点，并结合教学大纲的要求以

8、及对教材的 分析，拟定如下的教学目标:知识目标：理解导数的概念. 掌握用定义求导数的方法. 领悟函数思想和无限逼近的极限思想.能力目标：培养学生归纳、抽象和概括的能力.培养学生的数学符号表示和数学语言表达能力. 情感目标：通过导数概念的学习，使学生体验和认同“有限和无限对立统一” 的辩证观点.接受用运动变化的辩证唯物主义思想处理数学问题的积极态度.三、过程分析 设计理念：遵循特殊到一般的认知规律，结合可接受性和可操作性原则，把教学目标的落实融入到教学过程之中，通过演绎导数的形成，发展和应用过程， 帮助学生主动建构概念.3.1 引导激趣 设计意图：创设情景，提出课题.演示曲线的割线变切线的动态过

9、程，为学 生提供一个联想的“源”，从变量分析的角度，巧妙设问，把学习任务转移给学生.y切线y。Y=f(x)x跖 p 41M演示：曲线的切线割线x00 x T 0y T 0问题：割线的变化过程中，心与厶y有什么变化？空有什么含义？空在厶X0时是否存在 AxAx极限？3.2 概括抽象设计意图：回顾实际问题，抽象共同特征，自然提出：f(x)在x0处可导的定 义，完成“导数”概念的第一层次.曲线的切线的斜率抽象U舍去问题的具体含义归结为一种形式相同的极限lim空 即AxtO 心f（x0）= lim Ay = lim f （X + 巴）二 f （茅0AxtO A AxtOAX（在黑板上清晰完整的板书定义

10、，并要求学生表述、书写，以培养学生的 数学符号表示和数学语言表达能力.）3.3 互动导标设计意图：设置两个探究问题，分析不同结果的原因，并引导学生提出新 的问题或猜想，鼓励学生进行数学交流，激发学生进一步探究的热情，从而找 到推进解决问题的线索提出：f（x）在开区间（a , b）内可导的定义，完成“导 数概念”的第二个层次. 研究：函数y=2x+5在下列各点的变化率：（1）x=1， （2）x=2， （3）x=3 研究：函数y=x2在下列各点的变化率：（1）x=1， （2）x=2， （3）x=3 定义：函数f（x）在开区间（a，b）内每一点可导,就说f（x）在开区间（a，b）内可导.3.4 类比

11、拓展设计意图：回顾“瞬时速度的概念”，渗透类比思想和函数思想.让学生产生 联想，拓展出：f（x）在开区间（a , b）内的导函数的定义，完成“导数”概念的 第三层次.已有认知：物体在时刻.的速度：v = lim As = lim s（to + At） s（to）.O At t O At Att OAt物体在时刻t的速度 v二lim 二lim s（t + At） s（t）.t t 0 A t A t t 0A t新认知：函数f（x）在开区间（a，b）内每一点可导，就说f（x）在开区间（a，b）内可导.U点拨：映射-函数对于（a，b）内每一个确定的值x0，对应着一个确定的导数值f（x），这 样就在

12、开区间（a , b）内构成一个新函数U导函数（导数）八 x） = y 丄 lim 冬=lim f （X + 心）一 f （X）Axt0 Ax Ax t0Ax3.5 概念导析设计意图：引导学生用辨析和讨论的方式，反思导数概念的实质，从而突 破难点，促成学生形成合理的认知结构.辨析：(1)f(x0)与(f(x)y相等吗？(2)lim f (Xo + 2Ax) f (Xo)与 f(x0)相等吗？试讨论:f(x0)与 f(x) Ax tO心区别与联系.反思：“f(x)在点x0处的导数”，“f(x)在开区间(a , b)内的导函数”和“导 数”之间的区别和联系.板书：导数概念主体结构示意图f(x)在点x

13、0处可导f(x)在开区间(a，b)内可导f(x)在开区间(a，b)内的导函数导数3.6 回归体验体现“导数”的应用价值设计意图：通过随堂提问和讨论例题，增强师生互动，让学生在 “做”中 “学”，体验求导的结果表示的实际意义，体验导数运算的作用,体会用导数定义 求导的两种方法,产生认可和接受“导数”的积极态度,并养成规范使用数学符号 的习惯.想一想：(1)导数的本质是什么？你能用今天学过的方法去解决上次课的 问题吗？(第109页练习1、2,第111页练习1、2)有什么感想？(2) “切线的斜率”、 “物体的瞬时速度 ”的本质都是什么？怎样表示？k=广(x ) = y I x = x 或 k=广(

14、x)00vo s (t ) = s 11 = t 或 v= s (t)0 0 03）导数还可以解决实际生活中那些问题？你能举例说明吗？例题 A 组： 已知S=nr2，求Sr4 已知V二tR3，求V3R 已知 y=x2+3x 求（1） y ； （2）求 yr | x=2例题 B 组： 已知y ，求y，并思考y的定义域与函数在开区间可导的意义3.7 引导小结 设计意图：引导学生进行自我小结，用联系的观点将新学内容在知识结构、思想方法等方面进行概括，巩固新知，形成新的认知结构.知识结构：（1）导数的概念（语言表达；符号表示；“f（x）在点x0处的导数”，“导函数” 和“导数”之间的联系和区别.）；（2）主要数学思想：极限思想、函数思想；（3）用定义求导的方法，步骤；（4）导数的作用.3.8 分层作业设计意图：注意双基训练与发展能力相结合,设计递进式分层作业以满足不 同学生的多样化学习需求，使他们得到最全面的发展.把教材的第 112 页的关于 “可导必连续”的命题调整为选做题既不影响主体知识建构 ,又能满足学生的进一 步的探究需求.必 做 题:1. 教材第 114页，第 2， 3， 4 题.2. 若 f（x0）=a，（1）求 lim f（X 一巴）二 f（Xo）的值.AxtO心2)求 limAx T 0f (x + Ax) - f (x - Ax)00Ax的值.思 考 题