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1、强基计划专题精编静电场1如图所示，在真空中，带电量为+Q的点电荷旁边有一个半径为R的薄壁金属球壳, 其球心o点到点电荷Q的距离为，在球心o点处放一个电量为+q的点电荷。已知静 电力常量为也求:(2)点电荷q所具有的电势能W为多少?(1) 点电荷Q受到的电场力F的大小;答案】(1)kQ(qd+QR)；(2)kqQ(d 2 R 2)2d 3d【详解】(1)点电荷Q使金属球壳发生静电感应，球壳外表面上的感应电荷分为两部分, 根据电像法可知，一部分感应电荷的像电荷带电量为Q = rQd像电荷到球心的距离为另一部分感应电荷均匀分布在球壳外表面，且带电量为RQ = Q = -Qdo点处点电荷使球壳内表面感
2、应出的电荷量为外表面感应出的电荷量为内表面的d与O点处的q对Q的合力为零，所以只有外表面均匀分布的q + Q以及像QQ电荷Q对Q有作用力，根据库仑定律可得F = k 5 kQ(q + Q ) = k RdQ2 k Q(qd + QR)(d x)2d 2(d 2 R 2)2d 3(2) 像电荷Q和点电荷Q在o点处的总电势贡献为零，球壳外表面均匀分布的q + Q以及内表面的电荷q在球心处的总电势贡献为kg+kq=kQ=kQR R R d所以点电荷q所具有的电势能为2. 平行板电容器极板1和2的面积均为S,水平固定放置，它们之间的距离为d ,接入 如图所示的电路中，电源的电动势记为U。不带电的导体薄
3、平板3的质量为m、尺寸与 电容器极板相同。平板3平放在极板2的正上方，且与极板2有良好的电接触。整个系 统置于真空室内，真空的介电常量为0。闭合电键K后，平板3与极板1和2相继碰 撞，上下往复运动。假设导体板之间的电场均可视为匀强电场；导线电阻和电源内阻足 够小，充放电时间可忽略不计；平板3与极板1或2碰撞后立即在极短时间内达到静电 平衡；所有碰撞都是完全非弹性的。重力加速度大小为g。（1）电源电动势U至少为多大？（2）求平板3运动的周期（用U和题给条件表示）。【答案】(1)【详解】警；（2）T - +12二1 :在平板3离开极板2之前,平板3的带电量为设平板3离开极板2之后,各板电荷面密度如
4、图a所示。由电荷守恒有设上、下两电容器各自两极板间电场的场强分别为、E2 （见图a）QE -11 0E 22 0E - E 12 d另外，两个串联电容器的总电势差为U,故Ex + E （d一x） = U2 1联立得E = Ux2极板1、2上电荷面密度分别为平板3受到的电场力（向上为正方向）为+ Q1S I 诗（2x d ）平板3受到的合力为 SU2/ 八F = Ftotale一 mg =-02 x + d 丿 一 mg2d 3因此平板3开始运动的条件为 SU2c-0一 mg 02d 26U =min2md 2 g S0平板3的加速度为 SU2（）a = 02 x + d 丿 一 g2md 3加
5、速度可以改写为vdva = dxvdv -（2x + d ）- g dx2md 3积分得（ SU 20、md 2 SU 2-0x 2md 3因此可以求出平板3运动的时间dt =dx SU2 0md 2 SU20x 2md 3d md,t =lni U ； S0（3 SU2 一 2mgd2）+ 2U*（2 SSU2 一 mgd2）000 SU2 一 2mgd20平板3与1接触后，带电量为由电荷守恒极板间场强为仍有联立得平板3受到合力为平板3受到竖直方向的合力为d dU 2d x加速度积分得速度Ftotal( SU 20、md 23 SU2 SU2o+ ox 一 mg2d2d363 SU2 SU2
6、0+-0x - g2md 2md 3+ 2g (d x) SU2 ( 7+ od xmd 3时间d md, lnU So（3s SU2 + 2mgd2）+ 2U2 S0Y 0SU 2 + mgd 2）0 SU 2 + 2mgd20最终可得运动周期为3. 物理学家密立根早在1911年就曾依据下述著名的油滴实验，推断自然界存在基元电 荷，并推算出了元电荷的带电量。下面我们追溯这个实验过程并提出问题，请同学们自 行推出结论。水平放置的两平行正对绝缘金属极板间的距离为d （如图），在上极板中间开一小孔, 使质量为m的微小带电油滴从小孔落到两极板中间；忽略空气浮力及金属板厚度，当极 板上没加电压时，经过
7、一段时间可观察到油滴以恒定速率耳在空气中缓慢降落。已知 空气阻力大小与速度大小成正比，设比例系数为k。（1）在极板上加电压U时（上极板为正），可测得油滴以恒定速率V2缓慢上升，试求 油滴所带电荷量q （设重力加速度为g,电荷量用d，U、k、V、v2等已知量表示）。（2）若在极板上不加电压，油滴在两极板间以恒定速率耳下降一定竖直距离所需时间 为G加了电压U后以恒定速率v2上升同一竖直距离所需时间为则油滴的电荷量可表示为A，试用已知量d、g、U、t1及油滴质量m来表示A的表达式。（3）撒去电压，使所考查的油滴又降落，并在两极板间照射X射线以改变油滴的电荷（1 1）量，再在极板上加电压U,重复测定油
8、滴的上升时间t2，即可发现一+ 始终是0.211 t 丿、1 2丿00535Js-i的整数倍，由此推论：一定存在基元电荷，试计算出基元电荷的电荷量（取2U=25V,位有效数字）。该实验中相关数据如下：d = 2.0x 10-2m， m = 3.2x 10“kg， = n.9s ,g = 9.8m/s2。【答案】（1） q = k（VUV2）d ；（2） A = mgdi ；（3） e = 1.6x 10-19C【详解】（1）当极板上未加电压时，油滴以恒定速率缓慢降落，满足试卷第5页，共17页mg = kv1当极板加上电压U时，油滴以恒定速率v2缓慢上升，受电场力、重力和阻力而平衡, 设油滴所带
9、电荷量为g,则有q U = mg + kvd2解得(mg + kv )d k (v + v ) 7q =2= r2 d(2) 当极板上未加电压时，油滴以恒定速率v1缓慢降落一定高度力，则h = vt11当极板加上电压U时，油滴以恒定速率v2缓慢上升相同高度力，则则有vt = v t1 1 2 2又因mg故可得mgtkt2v2代入q表达式可得12U+ mgt ) d_Ut )+ -T t丿2 /mgdt ( 11、比较以上两式可见A = mgdU，而式中a =罟在实验中为一定值，所以若发现- + 总是某一数值(0.00535Js-1)的整数倍，则可推得电荷量q也必为某一数值e的整数倍, 即有q=
10、ne (其中n为正整数)，亦即q为某一基元电荷e的整数倍。故有11 一取n=1, + = 0.00535Js-i,并将实验中相关数据代入可解得基兀电荷11 t丿、1 2e = 1.6 x 10-19C4. 金属内部有温度梯度时可以在其两端产生电动势,该效应被应用于热电偶温度计等。 为了分析此现象，现建立一个简单的经典玩具模型，如图a示：一厚度为2L、沿着尹、 z方向无限延展的金属平板，位于-L x L区域为真空，电场为零。 将金属内的导电电子视为在空间均匀的正电荷背景上运动的经典理想气体。没有温度梯 度时，呈电中性的金属内部的电子是完全均匀分布的，其数密度为n ；有温度梯度时， 0金属内的温度
11、是x的函数，T(x) = T +5T(x)，且15T(x)lT。在(局域)热平衡状态0 0下，金属内电子数密度n(x) = n +5n(x)会略微偏离n， 15n(x) ln。金属内部也会有0 0 0很小的沿x方向的电场E (x)。金属表面x = L内侧也分别有很小的面电荷密度Q和Q。x+-已知电子质量为加，所带电荷为-e(e 0)。忽略重力，玻尔兹曼常量为k。B(1) 粒子数密度n(x)的不均匀性会引起粒子的扩散。若在时间间隔dt内通过yz平面上面积为dA的粒子数为j dAdt，则j被称为粒子流密度。粒子扩散流密度j (x)满足斐克xxx(Fick)定律j (x) = -n(x)，式中D是扩
12、散系数D =型这里，c是已知常量。xdxn( x)在平衡状态下，金属内部应该没有净的电流，因此前述的电子扩散流会被内部电场产生 的漂移电流抵消。为简化起见，设金属的电阻率P是与n(x)、T(x)等无关的已知常量。 求金属板内部电场E (x)的表达式(用n(x)、T(x)、孚n(x)和其他常量表出)。xdx(2) 试由静电场高斯定理导出E (x)满足的微分方程:并利用(1)的结果消去电场E (x),导出n( x)满足的微分方程和边界条件。真空介电常量为 。(提示：净的电荷密度包含 正电荷背景)(3) 将(2)中方程线性化，即只保留5n、5T等小量的线性项，解出5n(x)(解中可 包含Q和Q )。
13、+ -(4) 假设金属内存在温度梯度，即5T(x)不为零，但在任意x处电子气(可视为理想气体)处于局域热平衡；电子气中的电子受到电场E (x)的作用，但厚度为dx的薄层内的电子气仍处于宏观的力学平衡状态。试导出T（x）满足的微分方程，并将其线性化。 再利用（3）的结果，求出T（x）。（5）根据（3）和（4）的结果，求出金属两端（x = -L和x = +L ）的电势差和温度差 的比值（即金属的Seebeck系数S） S =（貯:。附注：对金属温差电现象的正T （L） 一 T （一L）确分析必须考虑电子的量子效应，本题目中的简化经典模型并不适用于真实情况。cy +Q + (-e)J 2 En(x) - n 1/x = 0 ；(3)一 +-L0【答案】(1) E (x) = ep c丄乞n(x)；xn(x) dxn(x)=-九ey +y+2sinhcosh 匸+ u丿+2cosh；（4）见解析所示；（5）见解析所示【详解】（1）净电流为零的条件是ej (x) + E (x) = 0xp x因此E (x) = ep
