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1、第1章随机事件及其概率(1)排列组合公式Pmnm从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。(mn)!Cmm从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。n!(mn)!(2)加法和乘法原理加法原理(两种方法均能完成此事)：m+n某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n种方法来完成，则这件事可由m+n种方法来完成。乘法原理(两个步骤分别不能完成这件事)：mxn某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n种方法来完成，则这件事可由mxn种方法来完成。(3)一些常见排列重复排列和非重复排列(有序)对立事件(至少有一个)顺序问题(4)随机试验和随机事件如果一个试验
2、在相同条件卜可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。试验的可能结果称为随机事件。(5)基本事件、样本空间和事件在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质：每进一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用来表示。基本事件的全体，称为试验的样本空间，用表示。一个事件就是由中的部分点(基本事件)组成的集合。通常用大写字母A,B,C,表示事件，匕们ZE的子集。为必然事件，？为不可能事件。不可能事件(？)的概率为
3、零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件(Q)的概率为1,而概率为1的事件也不一定是必然事件。(6)事件的关系与运算关系：如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，(A发生必有事件B发生)：AB如果同时有AB,BA,则称事件A与事件B等价，或称A等于B:A=BAB中至少有一个发生的事件：AB,或者A+Bo属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B,也可表示为A-AB或者AB,它表示A发生而B不发生的事件。AB同时发生：AB,或者ABAB=?,则表示A与B不可能同时发生，称事彳A与事件B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。-A称为事件A的逆事件，或称A的对立
4、事件，记为Ao它表示A不发生的事件。互斥未必对立。运算：结合率：A(BC)=(AB)CAU(BUC)=(AUB)UC分配率：(AB)UC=(AUC)n(BUC)(AUB)nC=(AC)U(BC)德摩根率：AiAii1i1ABAB,ABAB概率的公理化定义设为样本空间，A为事件，对每一个事件A都有一个实数P(A),若满足下列三个条件：100，则称P(AB)为事件A发生条件下，事件BP(A)发生的条件概率，记为P(B/A)P(AB)0P(A)条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。例如P(Q/B)=1P(B/A)=1-P(B/A)(13)乘法公式乘法公式：P(AB)P(A)P(B/A
5、)般地，对事件Ai,A,A,若P(AAA-1)0,则有P(A1A2An)P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)P(An|AiA2.An1)/o(14)独立性两个事件的独立性设事件A、B满足P(AB)P(A)P(B)，则称事件a、B是相互独立的。若事件A、B相互独立，且P(A)0,则有若事件A、B相互独立，则可得到入与B、A与B、区与否也都相互独立。必然事件和不可能事件？与任何事件都相互独立。?与任何事件都互斥。多个事件的独立性设ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件，P(AB尸P(A)P(B);P(BC尸P(B)P(C);P(CA尸P(C)P(A)并且同时满足P(ABC尸P(A)P(
6、B)P(C)那么A、BC相互独立。对于n个事件类似。(15)全概公式设事件B1,B2,，Bn满足1。B1,B2,Bn相容，P(Bi)0(i1,2,n),nABi2。i1A,则有P(A)P(B1)P(A|B1)P(B2)P(A|B2)P(Bn)P(A|Bn)。(16)贝叶斯公式设事件B1,B2,，Bn&A满足10B1，B2,，Bn两两互/、相容,P(Bi)0,i1,2,，n,nABi2i1P(A)0则P(Bi/A)岭/一P(Bj)P(A/Bj)j1此公式即为贝叶斯公式。P(Bj),(i1,2,，n),通常叫先验概率。P(Bi/A),(i1,2,，n),通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果”的
7、概率规律，并作出了“由果朔因”的推断。(17)伯努利概型我们作了n次试验，且满足每次试验只后两种可能结果，A发生或A不发生；n次试验是重复进行的，即A发生的概率每次均一样；每次试验是独立的，即每次试验A发生与否与其他次试验A发生与否是互不影响的。这种试验称为伯努利J概型，或称为n重伯努利试验。用p表示每次试验A发生的概率，则A发生的概率为1pq，用Pn(k)表示n重伯努利试验中A出现k(0kn)次的概率，k.kknkPn(k)CnPqk0,1,2,no第二章随机变量及其分布(1)离散型随机变量的分布律设离散型随机变量X的可能取值为(k=1,2,)且取各个值的概率，P(X=Xk)=p%k=1,2
8、,，则称上式为离散型随机变量X的概率分布或分布律。有时也用分布列X|X1,X2,xk,P(Xxk)p1,p2,pk,o显然分布律应满足下列条件：pk1(1)pk0,k1，2，,(2)k1o(2)连续型随机变量的分布密度设F(x)是随机变量X的分布函数，若存在非负函数f(x),对任意实数XF(x)f(x)dx则不X为连续型随机变量。f(x)称为X的概率密度函数或密度函数，简密度函数具有卜面4个性质：1 f(x)0。f(x)dx12 o(3)离散与连续型随机变量的关系积分元f(x)dx在连续型随机变量理论中所起的作用与P(Xxk)pk(4)分布图数设X为随机变量，x是任意实数，则函数称为随机变量X
9、的分布函数，本质上是一个累积函数。P(aXb)F(b)F(a)可以彳4到X落入区间(a,b的概率。分布函数具有如下性质：1。0F(x)1,x；2F(x)是单调不减的函数，即x1x2时，有F(x1)F(x2)；3F()limF(x)0,F()limF(x)1；xx4F(x0)F(x),即F(x)是右连续的；5。P(Xx)F(x)F(x0)o对于离散型随机变量，F(x)pk；xkxx对于连续型随机变量，F(x)f(x)dxo(5)八大分布0-1分布P(X=1)=p,P(X=0)=q在n重贝努里试验中，设事件A发生的概率为po事件A发生的ZPXk)Pn(k)C：pkqnk,其中q1p,0p1,k贝称
10、随机变量X服从参数为n,p的二项分布。记为XB(n,当n1时，P(Xk)pkq1k,k0.1,这就是(0-1)分布泊松分布设随机变量X的分布律为kP(Xk)ek!0,k0,1,2贝称随机变量X服从参数为的泊松分布，记为X()或者于松分布为二项分布的极限分布(np=入，n-8)。走i机变量X服从参数为n,N,M的超几何分布，记为H(n,N,M)几何分 布 匚 何 分 布 均 匀 分 布 一. k 1_P1(X k) q p, k 1,2,3,其中 p0, q=1-p随机变量X服从参数为p的几何分布，记为 G(p) o设随机变量 X的值只落在a , b内，其密度函数f(x)在a , b1(x) b
11、 a0,a x b其他,X在a , b上服从均匀分布，记为XU(a, b)贝称随机变量 分布函数为ax1,x2)x、-F(x)f(x)dxx1当axiX2b时，X落在区间x2x1P(XiXX2)baxxf(x)?e，X0,的指数分布?君中0，则称随崂量X服从参数为设随机变量X的密度函数为X的分布函数为正 态 分 布1()r-f(x)-e2,x，,2其中、0为常数，则称随机变量X服从参数为f(x)具有如下性质:1。f(x)的图形是关于x对称的;2当若XF(x)xN(12叱f()的分布函数为dt为最大值;参数(x)仙寸的正态分布称为标准正态分布，记为2分布函数为1x-(x)-,e2dt。2已编制成
12、表可供查用(x)是不可求积函数，其函数值,(-x)=1-(x)且(0)=N(0,1)如果XN(,2),则XP(x1Xx2)x1(6)分位数下分位表：P(X)=上分位表：P(X)=(7)函数分布离散型已知X的分布列为Xx1,x2,xn,?,P(Xxi)p1,p2,pn,Yg(X)的分布列(yg(xi)互不相等)如下：Yg(x1),g(x*,g(xn),P(Yyi)p1,p2,pn,若有某些g(xi)相等，厕应将对应的pi相加作为g(xi)的概率。连 续 型先利用X的概率密度fx(x)写出Y的分布函数FY(y) =P(g(X) 0 (i,j=1,2,)；Pij1.对于二维随机向量(X,Y),如果存在非负函数f(x,y)(D=(X,Y)|axb,cy0;(2) f(x,y)dxdy1.(3)联合分布函数设(X,Y)为二维随机变量，对于任意实数x,y,二
